2020-2021学年上海市松江区高一上学期期末数学试题（解析版）

2020-2021学年上海市松江区高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．要证明命题“所有实数的平方都是正数”是假命题，只需（    ）

A．证明所有实数的平方都不是正数

B．证明平方是正数的实数有无限多个

C．至少找到一个实数，其平方是正数

D．至少找到一个实数，其平方不是正数

【答案】D

【分析】全称命题是假命题，则其否定一定是真命题，判断选项.

【详解】命题“所有实数的平方都是正数”是全称命题，若其为假命题，那么命题的否定是真命题，所以只需“至少找到一个实数，其平方不是正数.

故选：D

2．下列各组函数中，表示同一函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】两个函数要表示同一函数，需函数的三个要素相同，即只要定义域相同，对应关系都相同，两个函数就是同一函数，所以判断选项中两个函数的定义域和对应关系是否相同.

【详解】A.的定义域是，的定义域是，两个函数的定义域不相同，所以不是同一函数；

B.的定义域是，函数的定义域是，定义域不相同，不是同一函数；

C.的定义域是，的定义域是，函数的定义域不相同，不是同一函数；

D.，，两个函数的对应关系相同，函数的定义域也相同，所以两个函数是同一函数.

故选：D

3．已知正数均不为1，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】根据指数函数对数函数的概念，分析“”与“”的推出关系即可.

【详解】由题意知，，

当时，成立，

反之不成立，例如满足,推不出.

故“”是“”的充分不必要条件．

故选：A

4．已知当 时，函数 的图象与 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是

A．  B．

C．  D．

【答案】B

【详解】当时， ， 单调递减，且，单调递增，且 ，此时有且仅有一个交点；当时， ，在 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需 选B.

【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

二、填空题

5．已知集合，则__________．

【答案】

【分析】先求集合，再根据交集定义求.

【详解】，，所以.

故答案为：

6．若全集，，，则图中阴影部分所表示的集合为_________．

【答案】

【分析】解出集合，利用韦恩图可知阴影部分区域所表示的集合为，即可得解.

【详解】因为全集，，，

，

由图可知，阴影部分区域所表示的集合为.

故答案为：.

7．函数的定义域是__________．

【答案】

【分析】根据函数的形式，直接求函数的定义域.

【详解】根据函数的形式可知函数的定义域需满足，

解得：，所以函数的定义域是.

故答案为：

8．已知函数的图象经过点，则_______．

【答案】

【分析】根据题意求出，得出；再求出的反函数即可求解．

【详解】因为函数的图象经过点，所以，即，

，，即

【点睛】本题考查反函数，属于基础题．

9．用“二分法”求函数在区间内的零点时，取的中点，则的下一个有零点的区间是__________．

【答案】

【分析】计算出、、，利用零点存在定理可得出结论.

【详解】，，，，

因此，的下一个有零点的区间是.

故答案为：.

10．已知函数是定义域为R的偶函数，当时，则当时__________．

【答案】

【分析】设，则，代入的解析式， 由函数的奇偶性即可求解.

【详解】设，则，

由时，，

所以，

又函数为偶函数，即，

所以.

故答案为：

11．已知不等式的解集是，则不等式的解集是_.

【答案】

【分析】根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出、的值，再代入不等式求解集即可．

【详解】因为不等式的解集是，

的实数根为和，

解得；

不等式为，即，

解得，所以不等式的解集是．

故答案为

【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题．

12．若函数（且）的值域为，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】当x≤2时，y=﹣x+8≥6，

要使函数（a＞0且a≠1）的值域为[6，+∞），

则有x＞2时，函数y=logax+5≥6，

∴，解得1＜a≤2．

∴实数a的取值范围是（1，2]．

故答案为（1，2]．

13．已知函数是定义域为R的奇函数，满足，若，则__________．

【答案】1

【分析】据题意，分析可得，则有，即函数是周期为4的周期函数，结合奇函数的性质及周期可求.

【详解】因为，

所以，

所以，即函数是周期为4的周期函数.

所以,,

,

所以原式等于

故答案为：

【点睛】方法点睛：函数在定义域R上满足，可知函数图象关于对称，如果同时函数为奇函数，且关于直线对称，可推出函数为周期函数.

14．已知函数的图像恒过定点A，若点A在一次函数的图像上，其中，则的最小值是__________．

【答案】8

【分析】可得定点，代入一次函数得，利用展开由基本不等式求解.

【详解】由可得当时，，故，

点A在一次函数的图像上，，即，

，

，

当且仅当，即时等号成立，

故的最小值是8.

故答案为：8.

【点睛】本题考查基本不等式的应用，解题的关键是得出定点A，代入一次函数得出，利用“1”的妙用求解.

15．已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝－|x＋3|＋m.若函数f(x)的图像恒在函数g(x)图像的上方，则m的取值范围为________．

【答案】(－∞，5)

【分析】函数f(x)的图像恒在函数g(x)图像的上方，可转化为不等式|x－2|＋|x＋3|>m恒成立，利用不等式的性质求出|x－2|＋|x＋3|的最小值，就可以求出的范围.

【详解】函数f(x)的图像恒在函数g(x)图像的上方，

即为|x－2|>－|x＋3|＋m对任意实数x恒成立，

即|x－2|＋|x＋3|>m恒成立．

因为对任意实数x恒有|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5，

所以m<5，即m的取值范围是，

故答案为：.

【点睛】该题考查的是有关利用两个函数图象的关系，得出函数值的大小关系，之后将恒成立问题向最值靠拢，利用绝对值不等式的性质求得结果，属于简单题目.

16．设，表示不超过的最大整数，若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是___________．

【答案】

【解析】试题分析：，则；，则；，则；，则；，则；其中，由此可得时，可以找到实数，使，但当时，上述区间没有公共部分，故的最大值为.

【解析】取整函数.

三、解答题

17．已知，，若，求实数的值.

【答案】或

【分析】首先求出集合，列出集合的子集，然后对集合进行讨论求解即可．

【详解】，

或或或；

若，无解；

若，无解；

若，；

若，；

综上：或.

【点睛】本题主要考查了由集合的包含关系求参数值，属于集合中常见题型．

18．已知x是有理数，y是无理数，求证：是无理数．

【答案】证明过程见解析.

【分析】运用反证法进行证明即可.

【详解】假设是无理数不成立，即是有理数，

因为x是有理数，所以是互质的整数，

因为是有理数，所以是互质的整数，

因此，因为是整数，显然也是整数，

故y是有理数，这与已知y是无理数矛盾，故假设不成立，所以是无理数．

19．已知幂函数在上单调递增，函数．

（1）求的值；

（2）当时，、的值域分别为、，设命题：，命题：，若命题是成立的必要条件，求实数的取值范围．

【答案】（1）0；（2）．

【分析】（1）解方程检验即得解；

（2）求出，，解不等式组即得解.

【详解】（1）依题意得：∵为幂函数，∴，∴或，

当时，在上单调递减，舍去，

当时，在上单调递增，可取，所以.

（2）由（1）得，当时，，即，

当时，，即，

∵命题是成立的必要条件，∴，∴，∴，

∴的取值范围是．

【点睛】本题主要幂函数的定义和单调性，考查函数的值域的求法，考查指数函数的单调性和必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

20．给出关于函数的一些限制条件：①在上严格减函数；②在上是严格增函数；③是奇函数；④是偶函数；⑤，只在这些条件中，选择必需的条件，补充下面的问题中：

定义在R上的函数，若满足__________（填写你选定条件的序号），且，求不等式的解集．

（1）若不等式的解集是空集，请写出选定条件的序号，并说明理由；

（2）若不等式的解集是非空集合，请写出所有可能性的条件序号（不必说明理由）；

（3）求解问题（2）中选定条件下不等式的解集．

【答案】(1) ③④  ;   (2)  ①③；      ①④⑤；    ②③；  ②④⑤   ;(3) 若选择①③,  不等式的解集为;若选择①④⑤，不等式的解集为;若选择②③, 不等式的解集为;若选择②④⑤, 不等式的解集为 .

【分析】（1）由条件即恒成立，由，所以①，②不能选，由此可得答案.
(2)只选①，②不能解出不等式，由奇偶性的对称性结论结合①，②中选一个单调性，再结合原点处的函数值可得答案.
(3)对(2)中的各种情况由单调性结合奇偶性分别解不等式.

【详解】（1）若不等式的解集为空集，即恒成立.

由，所以函数不可能单调递增或单调递减，所以①，②都不能选.

选③④时，的表达式为，不等式的解集为空集.

所以选③④

（2）若不等式的解集是非空集合，可选择条件：

①③；      ①④⑤；    ②③；  ②④⑤

（3）若选择①③  

由是奇函数，则，所以，又，则

又在上严格减函数，则在上严格减函数

由，则或

解得 或，所以不等式的解集为

若选择①④⑤，

由是偶函数，由，则

又在上严格减函数，则在上严格增函数

由，则或

解得 且或，所以不等式的解集为

若选择②③  

由是奇函数，则，所以，又，则

又在上严格增函数，则在上严格减函数

由，则或

解得或，所以不等式的解集为

若选择②④⑤

由是偶函数，由，则

又在上严格增函数，则在上严格减函数

由，则或

解得 且或，所以不等式的解集为

【点睛】关键点睛：本题考查利用奇偶性和单调性解不等式，解答本题的关键是由奇偶性和单调性分析出所需的条件，利用当是偶函数时，在对称区间上的单调性相反，当是奇函数时，在对称区间上的单调性相同，解出不等式，属于中档题.

21．已知二次函数满足，若是的两个零点，且．

（1）求的解析式；

（2）若，求函数的值域：

（2）若不等式在上恒成立，求对数k的取值范围．

【答案】(1) (2) (3)

【分析】(1)利用函数的零点，求出对称轴，求出零点，然后求解f (z)的解析式；

(2)化简函数的解析式，利用基本不等式转化求解函数的值域；

(3)分离参数k后，转化为求函数的最值，利用指数函数性质及二次函数性质即可求解.

【详解】（1），是的两个零点，且，

的对称轴为，

可得，

设，

由得，

（2），

当时，，当且仅当 ，即时等号成立，

当时，，当且仅当 时等号成立,

所以的值域为.

（3）不等式在上恒成立，

即在上恒成立，

可化为在上恒成立，

令， ，

当时，，

所以，

【点睛】关键点点：待定系数法求二次函数的解析式，首先根据关系式确定对称轴，再根据零点的距离求出零点，根据条件选择交点式设出方程，代入点即可求出.