2020-2021学年天津市西青区高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2020-2021学年天津市西青区高一上学期期末数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年天津市西青区高一上学期期末数学试题  一、单选题1．已知全集，集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用补集和交集的定义可求得集合.【详解】已知全集，集合，，，因此，.故选：C.2．下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是递增函数的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数的解析式直接判断函数的奇偶性和单调性即可．【详解】对A:它不是奇函数也不是偶函数;对B: 是奇函数，它在区间上递增，在定义域内不能说是增函数；对C: 是增函数，它不是奇函数；对D:是奇函数，在定义域内是增函数．故选：D．3．设，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.【详解】求解二次不等式可得：或，据此可知：是的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.4．下列说法正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】根据已知条件结合不等式的性质可判断C正确；举反例可判断ABD错误.【详解】对于A，若，则，故A错误；对于B，若，则，故B错误；对于C，若，则，故C正确；对于D，若，则，故D错误.故选：C.5．设函数则（    ）A．在区间内均有零点.B．在区间内均无零点.C．在区间内无零点，在区间内有零点.D．在区间内有零点，在区间内无零点.【答案】C【分析】令，画出函数和的图像，观察两图像的交点所在的区间，即可得答案【详解】解：令，得，作出函数和的图像，如图所示根据图像可知，在区间内无零点，在区间内有零点，故选：C6．已知函数，则（    ）A．是偶函数，最大值为1 B．是偶函数，最大值为2C．是奇函数，最大值为1 D．是奇函数，最大值为2【答案】B【分析】利用诱导公式进行化简，得到，结合余弦函数的性质，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数，则，所以是偶函数；又由的最大值为1，的最大值为2；故选：B.【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式，以及余弦函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的诱导公式，以及三角函数的性质是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.7．设，，，则、、的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与、的大小关系，由此可得出、、的大小关系.【详解】，，，因此，.故选：A.8．对于函数,下列命题①函数图象关于直线对称; ②函数图象关于点(,0)对称;③函数图象可看作是把的图象向左平移个单位而得到;④函数图象可看作是把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍 (纵坐标不变)而得到;其中正确的命题的个数是( ▲ )A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】【解析】正弦函数的对称性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：综合题．分析：①把x=-代入函数的表达式，函数是否取得最大值，即可判定正误；②把x= ，代入函数，函数值是否为0，即可判定正误；③函数图象可看作是把y=sin2x的图象向左平移个 单位，推出函数的表达式是否相同，即可判定；④函数图象可看作是把y=sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，得到函数的表达式是否相同，即可判定正误．解答：解：①把x=-代入函数f（x）=sin（2x+）=0，所以，①不正确；②把x=，代入函数f（x）=sin（2x+）=0，函数值为0，所以②正确；③函数图象可看作是把y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数为f（x）=sin（2x+），所以不正确；④函数图象可看作是把y=sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数f（x）=sin（2x+），正确；故选C．点评：本题是基础题，考查三角函数的基本性质的应用，考查逻辑推理能力，常考题型．9．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在[1，2]上是减函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则（　　）A．f    B．f   C．f     D．f   【答案】A【分析】根据题意，分析可得f（﹣x）＝f（x+2），即函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，据此分析可得f（x）在区间[0，1]上是增函数，由α，β是锐角三角形的两个内角便可得出sinα＞cosβ，从而根据f（x）在（0，1）上是增函数即可得出f（sinα）＞f（cosβ），即可得答案．【详解】根据题意，定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），则有f（﹣x）＝f（x+2），即函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，又由函数f（x）在[1，2]上是减函数，则其在[0，1]上是增函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则α+β，则有αβ，则有sinα＞sin（β）＝cosβ，又由函数f（x）在[0，1]上是增函数，则f（sinα）＞f（cosβ）；故选A．【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性与周期性的综合应用，注意分析函数在（0，1）上的单调性．  二、填空题10．已知幂函数的图象过点，则_____________．【答案】（填亦可）【分析】设出幂函数解析式，根据点求得幂函数的解析式.【详解】由于为幂函数，设，将代入得，所以.故答案为（填亦可）【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，属于基础题.11．______.【答案】【分析】根据指数、对数的运算性质计算即可得答案.【详解】原式=.故答案为：12．命题“，，使得”的否定形式是__________．【答案】，，使【解析】因为“”的否定是“”，“”的否定是“”，“”的否定是“”，所以命题“，，使得”的否定形式是，，使，故答案为，，使．13．用长度为28米的篱笆围成一边靠墙的矩形花园，墙长为16米，则矩形花园面积的最大值是______平方米.【答案】98【分析】设与墙平行的篱笆长为米，表示出矩形花园面积，利用二次函数的性质可求出.【详解】设与墙平行的篱笆长为米，由题可得，则花园面积，，则当时，取得最大值为98，故矩形花园面积的最大值是98平方米.故答案为：98.14．已知函数，若对任意的、，，都有成立，则实数的取值范围是______.【答案】【分析】分析出函数为上的减函数，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】设，则，由可得，即，所以，函数为上的减函数.由于，由题意可知，函数在上为减函数，则，函数在上为减函数，则，且有，所以，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】关键点点睛：在利用分段函数的单调性求参数时，除了分析每支函数的单调性外，还应由间断点处函数值的大小关系得出关于参数的不等式组求解. 三、双空题15．函数的定义域为______；若，则______.【答案】        【分析】根据正切函数的性质可直接得出定义域，将化为关于的式子即可求出.【详解】可知的定义域为，，.故答案为：；. 四、解答题16．已知，.（1）求的值；（2）求的值；（3）若，，求.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】 ( 1 ) 根据同角的三角函数的关系即可求出； ( 2 ) 根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角差的余弦公式即可求出； ( 3 ) 由 β=[(α+β)−α] ，根据同角的三角函数的关系结合两角差的正弦公式即可求出．【详解】(1)
，... ( 2) .（3），...17．若，.（Ⅰ）若的解集为，求的值；（Ⅱ）求关于的不等式的解集.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）答案见解析.【分析】（Ⅰ），1为方程的两个根，用韦达定理构建方程解出来即可.（Ⅱ），分、、、和五种情况讨论即可【详解】（Ⅰ）的解集为，，1是的解..解得：（Ⅱ）当时，不等式的解为，解集为当时，分解因式的根为，.当时，，不等式的解为或；解集为.当时，，不等式的解为；解集为.当时，，不等式的解为；等式的解集为.当时，原不等式为，不等式的解集为.综上：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.18．已知函数过定点，函数的定义域为.（Ⅰ）求定点并证明函数的奇偶性；（Ⅱ）判断并证明函数在上的单调性；（Ⅲ）解不等式.【答案】（Ⅰ）定点为，奇函数，证明见解析；（Ⅱ）在上单调递增，证明见解析；（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）根据解析式可求得定点为，即可得的解析式，根据奇函数的定义，即可得证；（Ⅱ）利用定义法即可证明的单调性；（Ⅲ）根据的单调性和奇偶性，化简整理，可得，根据函数的定义域，列出不等式组，即可求得答案.【详解】（Ⅰ）函数过定点，定点为，，定义域为，.函数为奇函数.（Ⅱ）在上单调递增.证明：任取，且，则.，，，，，即，函数在区间上是增函数.（Ⅲ），即，函数为奇函数在上为单调递增函数，， ，解得：.故不等式的解集为：【点睛】解题的关键是熟练掌握函数奇偶性、单调性的定义，并灵活应用，在处理单调性、奇偶性综合问题时，需要注意函数所有的自变量都要在定义域内，方可求得正确答案.19．已知函数.（Ⅰ）函数是奇函数，当时，，求在上的解析式；（Ⅱ）若，当时，若的最大值为2，求的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.【分析】（Ⅰ）首先设，利用函数是奇函数，求函数的解析式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，讨论对称轴和定义域的关系，讨论函数的最大值，列式求的值.【详解】（Ⅰ）设则函数是奇函数，.（Ⅱ），.二次函数开口向下，对称轴，在时，的最大值为2，①当，即时，，解得；②当，即时，，解得（舍）或（舍）；③当，即时，，解得（舍）；综上所述，的值为1，即.【点睛】关键点点睛：本题第一问的关键是：因为重点求的解析式，所以设，而不要设；第二问的关键是讨论对称轴和定义域的关系，由函数在区间的单调性，求函数的最大值.20．已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数在上的单调递增区间；（Ⅲ）若是函数的一个零点，求实数的值及函数在上的值域.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【分析】利用三角恒等变换公式化简函数解析式，（1）利用周期公式求解；（2）利用换元法或整体代换法求函数单调递增区间；（3）利用换元法求判断函数单调性，并求值域.【详解】解：（Ⅰ），；（Ⅱ）法一：令；则.，的单调增区间为.，解得.函数在上的单调递增区间.法二：，，画数轴与所有区间取交集可知：.函数在上的单调递增区间；（Ⅲ）是函数的一个零点.解得：..，，当单调递减区间为.，解得在区间上为减函数.函数在上的单调递增区间，单调递减区间，，.函数在上的值域为.【点睛】对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ω x＋φ)的形式，则最小正周期为，最大值为，最小值为；奇偶性的判断关键是解析式是否为y＝Asin ωx或y＝Acos ωx的形式．