2020-2021学年天津市河西区高一上学期期末数学试题（解析版）

2020-2021学年天津市河西区高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．是（    ）

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第三象限角 D．第四象限角

【答案】C

【分析】由，判断出的终边所在的象限，进而可得出结论.

【详解】，为第三象限角，则是第三象限角.

故选：C.

2．设，则下列运算正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据指数的运算性质，直接判断即可得解.

【详解】对A，，故A错误；

对B，，故B正确；

对C，，故C错误；

对D，，故D错误.

故选：B.

3．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合.

【详解】因为对数函数为增函数，当时，，即，

因为指数函数为减函数，当时，，即，

因此，.

故选：A.

4．已知扇形的周长为12cm，圆心角为4rad，则此扇形的弧长为      （    ）

A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm

【答案】C

【分析】设扇形所在圆的半径为，得到，解得，即可得到扇形的弧长，得到答案.

【详解】由题意，设扇形所在圆的半径为，则扇形的弧长为，

所以，解得，所以扇形的弧长为，

故选C.

【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式的应用，其中解答中熟记扇形的弧长公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

5．若，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据指数、对数、幂函数的单调性，可求出当时，函数，，的值域，进而可得出的大小关系.

【详解】根据指数函数的单调性，可知当时，；

根据幂函数的单调性，可知当时，；

根据对数函数的单调性，可知当时，，

所以.

故选：A.

6．在下列区间中，方程的解所在的区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设函数，结合导函数判断单调性，利用根的存在性定理即可判定其解所在区间.

【详解】设函数，

所以是增函数，

，，

方程的解所在的区间为.

故选：B

7．已知，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】在等式两边同时平方可求得的值，然后利用二倍角的余弦公式可求得的值.

【详解】，，

两边平方后得：，即，，，

，，

则.

故选：A.

【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式求值，同时也考查了同角三角函数平方关系的应用，考查计算能力，属于中等题.

8．某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是（    ）

A．16小时 B．20小时

C．24小时 D．28小时

【答案】C

【分析】首先根据题意得到，，从而得到，再将代入即可得到答案.

【详解】由题意得①，②.

将①代入②得，则，

当时，.

故选：C

【点睛】本题主要考查指数函数的实际应用，属于简单题.

9．已知函数的最小正周期为，的图象关于轴对称，且在区间上单调递增，则函数在区间上的值域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，利用辅助角公式化简得，根据最小正周期求出，由函数的对称性和单调性，得出和，从而得出，最后利用整体法求出的值域.

【详解】解：由题可知，函数，

则，

由于的最小正周期为，

，

，

又已知的图象关于轴对称，

，，则，

在区间上单调递增，

可以令，此时，

则函数，

所以在区间上，则，，

得，，所以，，

即的值域为，.

故选：A．

【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，涉及函数的单调性、周期、对称性和值域，还运用辅助角公式进行化简，考查化简运算能力.

二、填空题

10．______________.

【答案】

【分析】根据诱导公式，直接求余弦值即可得解.

【详解】，

故答案为：.

11．若，则________．

【答案】64

【分析】利用对数的运算性质以及指数式与对数式的互化即可求解.

【详解】

.

故答案为：64

【点睛】本题考查了对数的运算性质以及指数式与对数式的互化，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

12．将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标和纵坐标都变为原来的倍，则所得图象的函数解析式为______________.

【答案】

【分析】利用三角函数图象变换原则求出每一步变换后所得函数的解析式，由此可得出结果.

【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到，

再将图象上每个点的横坐标和纵坐标都变为原来的倍，所得函数的解析式为.

故答案为：.

13．若函数(，且)，在上的最大值比最小值大，则______________.

【答案】或.

【分析】分和两种情况，根据指数函数的单调性确定最大值和最小值，根据已知得到关于实数的方程求解即得.

【详解】若，则函数在区间上单调递减，

所以，，

由题意得，

又，故；

若，则函数在区间上单调递增，

所以，，

由题意得，

又，故.

所以的值为或.

【点睛】本题考查函数的最值问题，涉及指数函数的性质，和分类讨论思想，属基础题，关键在于根据指数函数的底数的不同情况确定函数的单调性.

14．如图，某地一天从时的温度变化曲线近似满足函数，则这段曲线的函数解析式为______________．

【答案】，

【分析】根据图象得出该函数的最大值和最小值，可得，，结合图象求得该函数的最小正周期，可得出，再将点代入函数解析式，求出的值，即可求得该函数的解析式.

【详解】由图象可知，，，，，

从题图中可以看出，从时是函数的半个周期，则，.

又，，得，取，

所以，．

故答案为：，．

【点睛】本题考查由图象求函数解析式，考查计算能力，属于中等题.

15．已知函数.若存在2个零点，则的取值范围是__________

【答案】

【分析】由有两个零点，得与的图像有两个交点，再用数形结合的方法求出的取值范围.

【详解】解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，

也就是函数有两个零点，此时满足，即，

故答案为：.

【点睛】本题主要考查函数的零点与方程的解等知识，考查数学运算能力，可用数形结合的方式求解，属于基础题型.

三、解答题

16．已知，.

（1）求的值；

（2）求的值；

（3）求的值.

【答案】(1)；(2) ;(3).

【分析】(1)利用二倍角的正切公式求解即可；

(2)将分子分母同除得到，代值求解即可；

(3)先求得，再用两角差的正弦公式求解即可.

【详解】(1)

(2)

(3)

17．已知函数()是奇函数.

（1）求实数m的值；

（2）求不等的解集.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用奇函数的性质，，即可得解；

（2）分析法得出函数的单调性，利用单调性解不等式即可.

【详解】（1）由的定义域为，

可得，

可得；

（2）由（1）知，

由为增函数，所以为增函数，且，

所以为减函数，可得在上为减函数，

由，可得，

由，

即，

由在上为减函数，

所以，即，所以或，

故解集为.

18．已知函数

（1）求的最小正周期；

（2）讨论在区间上的单调性；

【答案】（1）.（2）在区间上单调递增；在区间上单调递减.

【分析】（1）根据题意，利用三角恒等变换化简为标准正弦型三角函数，利用最小正周期求解公式即可求得结果；

（2）先求得在上的单调增区间，结合区间，即可求得结果.

【详解】（1）依题意，

所以.

（2）依题意，令，，

解得，

所以的单调递增区间为，.

设，，易知，

所以当时，在区间上单调递增；

在区间上单调递减.

【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简三角函数解析式，以及用公式法求正弦型三角函数的最小正周期，用整体法求正弦型三角函数的单调区间，属综合中档题.