福建省龙岩第一中学2020-2021学年高三上学期第三次月考数学试题

这是一份福建省龙岩第一中学2020-2021学年高三上学期第三次月考数学试题，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 满分：150分）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数，则的值( )
A.０ B. C.2 D.1
3．设入射光线沿直线射向直线，则被反射后，反射光线所在的直线方程是（ ）
A． B． C．D．
4．已知数列各项均大于，，“”是“数列成等比数列”的（ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．必要不充分条件 D．充分不必要条件
5. 已知函数，则其导函数的图像大致是( )
6．“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面点看楼顶点的仰角为30°，沿直线前进79米到达点，此时看点的仰角为45°，若，则楼高约为（ ）
A．65米B．74米C．83米D．92米
7．设，, 则（ ）
A.B.
C.D.
8．已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分
9．已知是上的奇函数，是上的偶函数，且当时，，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知平面向量、、为三个单位向量，且，若（），则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
11．如图，的三个内角对应的三条边长分别是，为钝角，，，，，则下列结论正确的有（ ）
A．B． C． D．的面积为
12．已知正方体棱长为，为上的动点，平面.下面说法正确的是（ ）
A．己知为中点，当的和最小时，为的中点
B．点与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大
C．点为的中点时，若平面经过点，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形
D．直线与平面所成角的正弦值范围为
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分).
13．已知等差数列的前项和满足，．则_________.
14．已知线段的端点B的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是_________.
15．在四面体中，底面，，、、、均为直角三角形，若该四面体最大棱长等于，则该四面体外接球的表面积为_________；该四面体体积的最大值为___________．（第一空2分，第二空3分）
16. 若函数在定义域D内满足，对任意的有，则称函数为“类单调递增函数”。下列函数是“类单调递增函数”的有___________（填写所有满足题意的函数序号）。
①②③④
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（本小题满分10分）已知圆经过点，，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）若过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程.
18．（本小题满分12分）已知数列是等差数列，其前项和为，，．
（1）求的通项公式
（2）从①，②两个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答．数列满足____________其前项和为，求使得恒成立的实数的最小值．
注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．
19.（本小题满分12分）已知中，，点在线段上，，．
（1）求的大小；
（2）求的面积．
20．（本小题满分12分）如图，三棱柱的侧面是边长为的正方形，面面，，，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）在线段上是否存在一点，使二面角为，若存在，求的长；若不存在，说明理由.
21.（本小题满分12分）
已知，是函数(>0)的两个相邻的零点.
(Ⅰ)若对任意，恒成立，求实数m的取值范围；
(Ⅱ)若关于x的方程在上有两个不同的解，求实数n的取值范围.
22．（本小题满分12分）已知函数.
（1）若函数在上为增函数，求的取值范围；
（2）若函数有两个不同的极值点，记作，，且，证明：.
龙岩一中2021届高三上学期第三次月考数学参考答案
1D 2C 3A 4D 5C 6B 7A 8C 9ACD 10ABC 11AC 12CD
13．，14．，15.（1）；（2） 16．①④.
16.解析：对于①，显然，即，是“类单调递增函数”；对于②，取，此时，，即，不是“类单调递增函数”；对于③，取，此时，即，不是“类单调递增函数”；对于④，，若，则
，若，则，
，即
，是“类单调递增函数”。所以是“类单调递增函数”的有①④。
17．解：（1）由题意设圆心的坐标为，
由，，可得的中点的坐标为，
因为，所以，即，分
解得，则圆心，分
半径， 分
所以圆的方程为分
（2）设直线的方程为，圆心到直线的距离分
由题知弦心距为，所以；分
解方程得：或分
所以直线的方程为或分
18. 解：（1）设的公差为，根据题意分
解得分
因此．分
（2）选择条件①：，分
所以 分
因为，因此，故的最小值为． 分
选择条件②：
由题意可得， 所以是首项为，公比为的等比数列，分
所以．分
因为，因此，故的最小值为．分
19．解：（1）∵，∴，分
（方法一）由正弦定理及得，，分
由正弦定理，可得，，分
∵，∴，分
即，得，∴；分
（方法二）由正弦定理，，得，
，分
∵，∴，分
即，得，∴；分
（2）∵，∴，
由余弦定理及得，
，化简得，分
∴，或（舍去），
∴的面积．分
20．（1）证明：连接交于，连接，
根据柱体的性质可知，所以四边形是平行四边形，分
所以是的中点，由于是的中点，所以，分
由于平面，平面，所以平面分
证明：因为，，
在三角形中由余弦定理得，分
所以，所以 分
因为面面，面面，
平面 分
解：因为四边形是正方形，所以，
又由（2）得平面 ，
故以为原点，建立如图所示空间直角坐标系.
假设线段上存在一点，使二面角为.设，
则，.
设平面的法向量为，
则，令则，所以分
由于平面，所以，是平面的一个法向量，分
所以，解得（负根舍去）分
所以在线段上存在一点，使二面角为，且分
21．（1）
……3分
由题意得，的最小正周期，，∴∴…4分
∵对任意，恒成立，∴……分
∵，∴∴∴，
∴，即实数m的取值范围为.……7分
（2）原方程可化为
即，……8分
令，
∵，∴…9分
∵关于x的方程在上有两个不同的解，
∴，解得√，即n的取值范围为……12分
22．解：（1）由题意可知，函数的定义域为，
， ……1分
因为函数在为增函数，所以在上恒成立，……2分
等价于在上恒成立，即，……3分
因为，所以，故的取值范围为. ……4分
（2）可知，所以，
因为有两极值点，所以， ……5分
欲证，等价于要证：，即，
所以，……6分
因为，所以原式等价于要证明：，①……7分
由，可得，则有，②……8分
由①②原式等价于要证明：，即证，
令，则，上式等价于要证， ……9分
令，则……10分
因为，所以，所以在上单调递增，
因此当时，，即.
所以原不等式成立，即. ……12分