还剩15页未读，
继续阅读
湖北省黄冈市蕲春县2020学年人教版九年级（上）期中数学试卷 含解析
展开
这是一份湖北省黄冈市蕲春县2020学年人教版九年级（上）期中数学试卷 含解析，共18页。试卷主要包含了下列方程是一元二次方程的是，抛物线y＝2，下列各点关于原点对称的是等内容，欢迎下载使用。
2020学年九年级（上）期中数学试卷
一．选择题（共8小题）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2+＝2 B．x2﹣5x﹣1＝0 C．x2﹣2x﹣3 D．2x﹣y＝0
2．若x2+x﹣m＝0的一个解是x＝1，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
3．抛物线y＝2（x+3）2+5的顶点坐标是（ ）
A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（3，﹣5） D．（﹣3，﹣5）
4．若x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两根，则x1•x2的值为（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣4 D．4
5．下列各点关于原点对称的是（ ）
A．（2，﹣2）→（2，2） B．（0，2）→（﹣2，0）
C．（a，﹣b）→（﹣a，b） D．（a，b）→（﹣a，b）
6．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB′C′，则下列说法中，不正确的是（ ）
A．AB＝AB' B．∠BAB'＝∠CAC' C．△ABC≌△AB'C' D．∠CAB'＝60°
7．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A．25m B．24m C．30m D．60m
8．如图，抛物线y1＝a（x+2）2﹣3与y2＝（x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：
①无论x取何值，y2的值总是正数；②a＝1；③当x＝0时，y2﹣y1＝4；④2AB＝3AC；
其中正确结论是（ ）
A． ①② B．②③ C．③④ D．①④
（第6题图） （第7题图） （第8题图）
二．填空题（共8小题）
9．方程x（x﹣5）＝0化成一般形式后，它的常数项是 ．
10．方程x2+mx﹣1＝0的根的判别式的值为20，则m的值是 ．
11．若二次函数y＝﹣x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0的一个解x1＝3，另一个解x2＝ ．
12．图形：①线段，②等边三角形，③平行四边形，④矩形，⑤梯形，⑥圆．其中既是轴对称图形又是中心对称图形的序号是 ．
13．某小区2019年的绿化面积为3000m2，计划2021年的绿化面积为4320m2，如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是 ．
14．已知抛物线y＝x2+4x上有两点P1（，y1），P2（﹣，y2），则y1与y2的大小关系为 ．
15．如图，AB是⊙O的直径，C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE＝ ．
16．如图，AB⊙O的直径，CD为⊙O的弦，若AB⊥CD于E，下列结论：①CE＝DE，②＝．
③＝，④AC＝AD．其中正确的有 （填序号）．
（第11题图） （第15题图） （第16题图）
三．解答题（共9小题）
17．解下列方程
（1）x2﹣2x﹣3＝0 （2）（2x﹣1）2＝（3﹣x）2．
18．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，＝．求证：OB平分∠ABC．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x12+x22＝6x1x2时，求m的值．
20．如图，四边形ABCD的∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC于E，△BEA旋转一定角度后能与△DFA重合．
（1）旋转中心是哪一点？旋转了多少度？
（2）若AE＝5cm，求四边形ABCD的面积．
21．如图，用长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场ABCD，已知墙长14m，设边AD的长为x（m），矩形ABCD的面积为y（m2）．
（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）当y＝108时，求x的值．
22． 某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？
23．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A沿AC边向C点以1cm/s的速度移动，在C点停止，点Q从C点开始沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，在B点停止．
（1）如果点P，Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟，使S△QPC＝8cm2？
（2）如果点P从点A先出发2s，点Q再从点C出发，经过几秒钟后S△QPC＝4cm2？
（3）如果点P、Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟后PQ＝BQ？
24．为了给同学们创造更好的学习环境，某校要对校园进行改造，现将改造工程承包给某公司，该公司甲、乙两个工程队合做这项工作需4个月完工，若先由甲队单独做3个月后，剩下的部分由乙队单独做还需6个月完工．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？
（2）若甲队工作一个月需费用3万元，乙队工作一个月需1万元，要使整个工程费不超过14万元，则乙队至少工作几个月？
25．综合与探究
如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4）．连接AC，BC，DB，DC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2+＝2 B．x2﹣5x﹣1＝0 C．x2﹣2x﹣3 D．2x﹣y＝0
【分析】直接利用一元二次方程的定义分别分析得出答案．
【解答】解：A、x2+＝2，含有分式，不合题意；
B、x2﹣5x﹣1＝0，是一元二次方程，符合题意；
C、x2﹣2x﹣3，是二次三项式，不是方程；
D、2x﹣y＝0，是二元一次方程，不合题意．
故选：B．
2．若x2+x﹣m＝0的一个解是x＝1，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【分析】把x＝1代入方程x2+x﹣m＝0得到一个关于m的一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：把x＝1代入方程x2+x﹣m＝0，
得：1+1﹣m＝0，
解得：m＝2．
故选：A．
3．抛物线y＝2（x+3）2+5的顶点坐标是（ ）
A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（3，﹣5） D．（﹣3，﹣5）
【分析】由抛物线的解析式可求得答案．
【解答】解：
∵y＝2（x+3）2+5，
∴抛物线顶点坐标为（﹣3，5），
故选：B．
4．若x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两根，则x1•x2的值为（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣4 D．4
【分析】利用根与系数的关系可得出x1•x2＝﹣5，此题得解．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两根，
∴x1•x2＝＝﹣5．
故选：A．
5．下列各点关于原点对称的是（ ）
A．（2，﹣2）→（2，2） B．（0，2）→（﹣2，0）
C．（a，﹣b）→（﹣a，b） D．（a，b）→（﹣a，b）
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，进而判断得出答案．
【解答】解：根据两个点关于原点对称，
则点（a，﹣b）关于原点对称的点的坐标是（﹣a，b）．
故选：C．
6．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB′C′，则下列说法中，不正确的是（ ）
A．AB＝AB' B．∠BAB'＝∠CAC'
C．△ABC≌△AB'C' D．∠CAB'＝60°
【分析】由旋转的性质可得△ABC≌△AB'C'，∠BAB'＝∠CAC'＝60°，AB＝AB'，即可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB′C′，
∴△ABC≌△AB'C'，∠BAB'＝∠CAC'＝60°，
∴AB＝AB'，∠CAB'＜∠BAB'＝60°，
故选：D．
7．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A．25m B．24m C．30m D．60m
【分析】根据题意，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AD＝DB＝20m，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202，
解得：r＝25m，
∴这段弯路的半径为25m
故选：A．
8．如图，抛物线y1＝a（x+2）2﹣3与y2＝（x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：
①无论x取何值，y2的值总是正数；
②a＝1；
③当x＝0时，y2﹣y1＝4；
④2AB＝3AC；
其中正确结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【分析】根据与y2＝（x﹣3）2+1的图象在x轴上方即可得出y2的取值范围；把A（1，3）代入抛物线y1＝a（x+2）2﹣3即可得出a的值；由抛物线与y轴的交点求出，y2﹣y1的值；根据两函数的解析式直接得出AB与AC的关系即可．
【解答】解：①∵抛物线y2＝（x﹣3）2+1开口向上，顶点坐标在x轴的上方，∴无论x取何值，y2的值总是正数，故本结论正确；
②把A（1，3）代入，抛物线y1＝a（x+2）2﹣3得，3＝a（1+2）2﹣3，解得a＝，故本结论错误；
③由两函数图象可知，抛物线y1＝a（x+2）2﹣3解析式为y1＝（x+2）2﹣3，当x＝0时，y1＝（0+2）2﹣3＝﹣，y2＝（0﹣3）2+1＝，故y2﹣y1＝+＝，故本结论错误；
④∵物线y1＝a（x+2）2﹣3与y2＝（x﹣3）2+1交于点A（1，3），
∴y1的对称轴为x＝﹣2，y2的对称轴为x＝3，
∴B（﹣5，3），C（5，3）
∴AB＝6，AC＝4，
∴2AB＝3AC，故本结论正确．
故选：D．
二．填空题（共8小题）
9．方程x（x﹣5）＝0化成一般形式后，它的常数项是 0 ．
【分析】根据题目中的式子，将括号去掉化为一元二次方程的一般形式，从而可以解答本题．
【解答】解：∵x（x﹣5）＝0，
∴x2﹣5x＝0，
∴方程x（x﹣5）＝0化成一般形式后，它的常数项是0，
故答案为：0．
10．方程x2+mx﹣1＝0的根的判别式的值为20，则m的值是 ±4 ．
【分析】根据根的判别式即可求出m的值．
【解答】解：由题意可知：△＝m2+4＝20，
∴m＝±4，
故答案为：±4
11．若二次函数y＝﹣x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0的一个解x1＝3，另一个解x2＝ ﹣1 ．
【分析】根据二次函数的图象与x轴的交点关于对称轴对称，直接求出x2的值．
【解答】解：由图可知，对称轴为x＝1，
根据二次函数的图象的对称性，
＝1，
解得，x2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．图形：①线段，②等边三角形，③平行四边形，④矩形，⑤梯形，⑥圆．其中既是轴对称图形又是中心对称图形的序号是 ①④⑥ ．
【分析】中心对称图形是绕一点旋转180°能重合的图形，轴对称图形是沿对称轴折叠后能重合的图形．
【解答】解：①既是轴对称图形又是中心对称图形；
②是轴对称图形；
③是中心对称图形；
④既是轴对称图形又是中心对称图形；
⑤是轴对称图形；
⑥既是轴对称图形又是中心对称图形；
∴既是轴对称图形又是中心对称图形的序号是①④⑥．
13．某小区2019年的绿化面积为3000m2，计划2021年的绿化面积为4320m2，如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是 20% ．
【分析】设每年绿化面积的增长率为x，根据该小区2019年及2021年的绿化面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设每年绿化面积的增长率为x，
依题意，得：3000（1+x）2＝4320，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
故答案为：20%．
14．已知抛物线y＝x2+4x上有两点P1（，y1），P2（﹣，y2），则y1与y2的大小关系为 y1＞y2 ．
【分析】先根据抛物线的解析式得出抛物线的开口向上，抛物线的对称轴x＝﹣2，再由二次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+4x中a＝1＞0，
∴此抛物线开口向上，对称轴x＝﹣＝﹣2，
∵点P1（，y1）到对称轴的距离大于P2（﹣，y2）到对称轴的距离，
∴y1＞y2．
故答案为：y1＞y2．
15．如图，AB是⊙O的直径，C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE＝ 40° ．
【分析】根据邻补角的概念求出∠BOE，根据圆心角、弧、弦的关系解答．
【解答】解：∠BOE＝180°﹣∠AOE＝120°，
∵C、D是的三等分点，
∴＝＝，
∴∠COE＝∠COD＝∠BOD＝120°×＝40°，
故答案为：40°．
16．如图，AB⊙O的直径，CD为⊙O的弦，若AB⊥CD于E，下列结论：①CE＝DE，②＝．③＝，④AC＝AD．其中正确的有 ①②③④ （填序号）．
【分析】根据垂径定理得到CE＝DE，＝，＝，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到AC＝AD，得到答案．
【解答】解：∵AB⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD，
∴CE＝DE，＝，＝，①②③正确，
∵＝，
∴AC＝AD，④正确，
故答案为：①②③④．
三．解答题（共9小题）
17．解下列方程
（1）x2﹣2x﹣3＝0
（2）（2x﹣1）2＝（3﹣x）2．
【分析】（1）首先把方程左边因式分解得到（x﹣3）（x+1）＝0，然后解两个一元一次方程即可；
（2）首先利用平方差公式分解因式得到（2x﹣1+3﹣x）（2x﹣1﹣3+x）＝0，然后整理方程，解两个一元一次方程即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1；
（2）∵（2x﹣1）2＝（3﹣x）2，
∴（2x﹣1+3﹣x）（2x﹣1﹣3+x）＝0，
∴（x+2）（3x﹣4）＝0，
∴x1＝﹣2 x2＝．
18．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，＝．求证：OB平分∠ABC．
【分析】连接OA，OC，再根据＝即可得出结论．
【解答】证明：连接OA，OC，
∵＝．
∴∠AOB＝∠BOC，
∵OA＝OB，OB＝OC，
∴∠ABO＝∠CBO，
即OB平分∠ABC．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x12+x22＝6x1x2时，求m的值．
【分析】（1）根据一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根，可得△≥0，据此求出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系求出x1+x2，x1•x2的值，代入x12+x22＝6x1x2求解即可．
【解答】解：（1）∵原方程有两个实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，
整理得：4﹣4m+4≥0，
解得：m≤2；
（2）∵x1+x2＝2，x1•x2＝m﹣1，x12+x22＝6x1x2，
∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝6x1•x2，
即4＝8（m﹣1），
解得：m＝．
∵m＝＜2，
∴符合条件的m的值为．
20．如图，四边形ABCD的∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC于E，△BEA旋转一定角度后能与△DFA重合．
（1）旋转中心是哪一点？旋转了多少度？
（2）若AE＝5cm，求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）根据旋转的定义即可得到旋转中心为点A，根据旋转的性质可得旋转角为90°；
（2）由AE⊥BC得到∠AEB＝90°，再根据旋转的性质得∠EAF＝∠BAD＝90°，AE＝AF，△ABE≌△ADF，易得四边形AECF为正方形，然后根据四边形ABCD的面积＝S正方形AECF求解．
【解答】解：（1）∵△DBA旋转一定角度后能与△DFA重合，
∴旋转中心为点A，旋转角等于∠BAD，即旋转角为90°；
（2）∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∵△BEA绕点A逆时针旋转90°得△DFA，
∴∠EAF＝∠BAD＝90°，AE＝AF，△ABE≌△ADF，
而∠C＝90°，
∴四边形AECF为正方形，
∴四边形ABCD的面积＝S正方形AECF＝52＝25（cm2）．
21．如图，用长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场ABCD，已知墙长14m，设边AD的长为x（m），矩形ABCD的面积为y（m2）．
（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）当y＝108时，求x的值．
【分析】（1）设养鸡场宽为x，则长为30﹣2x，由面积公式写出y与x的函数关系式即可；
（2）把y＝108代入函数关系式解答即可．
【解答】解：（1）设养鸡场宽为x，则长为30﹣2x，
根据题意，y＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x（8≤x≤15）
（2）当y＝108时，
∴﹣2x2+30x＝108
∴x1＝6，x2＝9
∵8≤x≤15
∴x＝9．
22．某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？
【分析】关系式为：每件服装的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）＝1600，为了减少库存，计算得到降价多的数量即可．
【解答】解：设每件服装应降价x元，根据题意，得：
（44﹣x）（20+5x）＝1600
解方程得 x＝4或x＝36，
∵在降价幅度不超过10元的情况下，
∴x＝36不合题意舍去，
答：每件服装应降价4元．
23．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A沿AC边向C点以1cm/s的速度移动，在C点停止，点Q从C点开始沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，在B点停止．
（1）如果点P，Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟，使S△QPC＝8cm2？
（2）如果点P从点A先出发2s，点Q再从点C出发，经过几秒钟后S△QPC＝4cm2？
（3）如果点P、Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟后PQ＝BQ？
【分析】本题可设P出发xs后，S△QPC符合已知条件：
在（1）中，AP＝xm，PC＝（6﹣x）m，QC＝2xm；
在（2）中，AP＝xm，PC＝（6﹣x）m，QC＝2（x﹣2）m，进而可列出方程，求出答案；
在（3）中，PC＝（6﹣x）m，QC＝2xm，BQ＝8﹣2x，利用勾股定理和PQ＝BQ列出方程，求出答案．
【解答】解：（1）P、Q同时出发，经过x秒钟，S△QPC＝8cm2，由题意得，
（6﹣x）•2x＝8，
∴x2﹣6x+8＝0，
解得：x1＝2，x2＝4．
经2秒点P到离A点1×2＝2cm处，点Q离C点2×2＝4cm处，经4s点P到离A点1×4＝4cm处，点Q点C点2×4＝8cm处，经验证，它们都符合要求．
答：P、Q同时出发，经过2s或4s，S△QPC＝8cm2．
（2）设P出发ts时S△QPC＝4cm2，则Q运动的时间为（t﹣2）秒，由题意得：
（6﹣t）•2（t﹣2）＝4，
∴t2﹣8t+16＝0，
解得：t1＝t2＝4
因此经4秒点P离A点1×4＝4cm，点Q离C点2×（4﹣2）＝4cm，符合题意．
答：P先出发2s，Q再从C出发2s后，S△QPC＝4cm2．
（3）设经过x秒钟后PQ＝BQ，则PC＝（6﹣x）m，QC＝2xm，BQ＝8﹣2x，
（6﹣x）2+（2x）2＝（8﹣2x）2，
解得x1＝﹣10+8，x2＝﹣10﹣8（不合题意，舍去）
答：经过﹣10+8秒钟后PQ＝BQ．
24．为了给同学们创造更好的学习环境，某校要对校园进行改造，现将改造工程承包给某公司，该公司甲、乙两个工程队合做这项工作需4个月完工，若先由甲队单独做3个月后，剩下的部分由乙队单独做还需6个月完工．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？
（2）若甲队工作一个月需费用3万元，乙队工作一个月需1万元，要使整个工程费不超过14万元，则乙队至少工作几个月？
【分析】（1）由甲队1个月完成的工作乙队需2个月才能完成，可设甲队单独完成这项工程需要x个月，则乙队单独完成这项工程需要2x个月，根据甲、乙两个工程队合做这项工作需4个月完工，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设乙队工作了y个月，则甲队工作了＝天，根据总费用＝每个月所需费用×工作时间（月数）结合整个工程费不超过14万元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲队单独完成这项工程需要x个月，则乙队单独完成这项工程需要2x个月，
依题意，得：+＝1，
解得：x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意，
∴2x＝12．
答：甲队单独完成这项工程需要6个月，乙队单独完成这项工程需要12个月．
（2）设乙队工作了y个月，则甲队工作了＝天，
依题意，得：3×+1×y≤14，
解得：y≥8．
答：乙队至少工作8个月．
25．综合与探究
如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4）．连接AC，BC，DB，DC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由抛物线交点式表达，即可求解；
（2）利用S△BDC＝HD×OB，即可求解；
（3）分BD是平行四边形的一条边、BD是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）由抛物线交点式表达式得：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8）＝ax2﹣2ax﹣8a，
即﹣8a＝6，解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+6；
（2）点C（0，6），将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：y＝﹣x+6，
如图所示，过点D作y轴的平行线交直线BC与点H，
设点D（m，﹣m2+m+6），则点H（m，﹣m+6）
S△BDC＝HD×OB＝2（﹣m2+m+6+m﹣6）＝2（﹣m2+3m），
S△ACO＝××6×2＝，
即：2（﹣m2+3m）＝，
解得：m＝1或3（舍去1），
故m＝3；
（3）当m＝3时，点D（3，），
①当BD是平行四边形的一条边时，
如图所示：M、N分别有三个点，
设点N（n，﹣n2+n+6）
则点N的纵坐标为绝对值为，
即|﹣n2+n+6|＝，
解得：n＝﹣1或3（舍去）或1，
故点N（N′、N″）的坐标为（﹣1，）或（1，﹣）或（1﹣，﹣），
当点N（﹣1，）时，由图象可得：点M（0，0），
当N′的坐标为（1，﹣），由中点坐标公式得：点M′（，0），
同理可得：点M″坐标为（﹣，0），
故点M坐标为：（0，0）或（，0）或（﹣，0）；
②当BD是平行四边形的对角线时，
点B、D的坐标分别为（4，0）、（3，）
设点M（m，0），点N（s，t），
由中点坐标公式得：，而t＝﹣s2+s+6，
解得：t＝，s＝﹣1，m＝8，
故点M坐标为（8，0）；
故点M的坐标为：（0，0）或（，0）或（﹣，0）或（8，0）．
2020学年九年级（上）期中数学试卷
一．选择题（共8小题）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2+＝2 B．x2﹣5x﹣1＝0 C．x2﹣2x﹣3 D．2x﹣y＝0
2．若x2+x﹣m＝0的一个解是x＝1，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
3．抛物线y＝2（x+3）2+5的顶点坐标是（ ）
A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（3，﹣5） D．（﹣3，﹣5）
4．若x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两根，则x1•x2的值为（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣4 D．4
5．下列各点关于原点对称的是（ ）
A．（2，﹣2）→（2，2） B．（0，2）→（﹣2，0）
C．（a，﹣b）→（﹣a，b） D．（a，b）→（﹣a，b）
6．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB′C′，则下列说法中，不正确的是（ ）
A．AB＝AB' B．∠BAB'＝∠CAC' C．△ABC≌△AB'C' D．∠CAB'＝60°
7．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A．25m B．24m C．30m D．60m
8．如图，抛物线y1＝a（x+2）2﹣3与y2＝（x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：
①无论x取何值，y2的值总是正数；②a＝1；③当x＝0时，y2﹣y1＝4；④2AB＝3AC；
其中正确结论是（ ）
A． ①② B．②③ C．③④ D．①④
（第6题图） （第7题图） （第8题图）
二．填空题（共8小题）
9．方程x（x﹣5）＝0化成一般形式后，它的常数项是 ．
10．方程x2+mx﹣1＝0的根的判别式的值为20，则m的值是 ．
11．若二次函数y＝﹣x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0的一个解x1＝3，另一个解x2＝ ．
12．图形：①线段，②等边三角形，③平行四边形，④矩形，⑤梯形，⑥圆．其中既是轴对称图形又是中心对称图形的序号是 ．
13．某小区2019年的绿化面积为3000m2，计划2021年的绿化面积为4320m2，如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是 ．
14．已知抛物线y＝x2+4x上有两点P1（，y1），P2（﹣，y2），则y1与y2的大小关系为 ．
15．如图，AB是⊙O的直径，C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE＝ ．
16．如图，AB⊙O的直径，CD为⊙O的弦，若AB⊥CD于E，下列结论：①CE＝DE，②＝．
③＝，④AC＝AD．其中正确的有 （填序号）．
（第11题图） （第15题图） （第16题图）
三．解答题（共9小题）
17．解下列方程
（1）x2﹣2x﹣3＝0 （2）（2x﹣1）2＝（3﹣x）2．
18．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，＝．求证：OB平分∠ABC．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x12+x22＝6x1x2时，求m的值．
20．如图，四边形ABCD的∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC于E，△BEA旋转一定角度后能与△DFA重合．
（1）旋转中心是哪一点？旋转了多少度？
（2）若AE＝5cm，求四边形ABCD的面积．
21．如图，用长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场ABCD，已知墙长14m，设边AD的长为x（m），矩形ABCD的面积为y（m2）．
（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）当y＝108时，求x的值．
22． 某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？
23．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A沿AC边向C点以1cm/s的速度移动，在C点停止，点Q从C点开始沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，在B点停止．
（1）如果点P，Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟，使S△QPC＝8cm2？
（2）如果点P从点A先出发2s，点Q再从点C出发，经过几秒钟后S△QPC＝4cm2？
（3）如果点P、Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟后PQ＝BQ？
24．为了给同学们创造更好的学习环境，某校要对校园进行改造，现将改造工程承包给某公司，该公司甲、乙两个工程队合做这项工作需4个月完工，若先由甲队单独做3个月后，剩下的部分由乙队单独做还需6个月完工．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？
（2）若甲队工作一个月需费用3万元，乙队工作一个月需1万元，要使整个工程费不超过14万元，则乙队至少工作几个月？
25．综合与探究
如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4）．连接AC，BC，DB，DC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2+＝2 B．x2﹣5x﹣1＝0 C．x2﹣2x﹣3 D．2x﹣y＝0
【分析】直接利用一元二次方程的定义分别分析得出答案．
【解答】解：A、x2+＝2，含有分式，不合题意；
B、x2﹣5x﹣1＝0，是一元二次方程，符合题意；
C、x2﹣2x﹣3，是二次三项式，不是方程；
D、2x﹣y＝0，是二元一次方程，不合题意．
故选：B．
2．若x2+x﹣m＝0的一个解是x＝1，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【分析】把x＝1代入方程x2+x﹣m＝0得到一个关于m的一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：把x＝1代入方程x2+x﹣m＝0，
得：1+1﹣m＝0，
解得：m＝2．
故选：A．
3．抛物线y＝2（x+3）2+5的顶点坐标是（ ）
A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（3，﹣5） D．（﹣3，﹣5）
【分析】由抛物线的解析式可求得答案．
【解答】解：
∵y＝2（x+3）2+5，
∴抛物线顶点坐标为（﹣3，5），
故选：B．
4．若x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两根，则x1•x2的值为（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣4 D．4
【分析】利用根与系数的关系可得出x1•x2＝﹣5，此题得解．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两根，
∴x1•x2＝＝﹣5．
故选：A．
5．下列各点关于原点对称的是（ ）
A．（2，﹣2）→（2，2） B．（0，2）→（﹣2，0）
C．（a，﹣b）→（﹣a，b） D．（a，b）→（﹣a，b）
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，进而判断得出答案．
【解答】解：根据两个点关于原点对称，
则点（a，﹣b）关于原点对称的点的坐标是（﹣a，b）．
故选：C．
6．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB′C′，则下列说法中，不正确的是（ ）
A．AB＝AB' B．∠BAB'＝∠CAC'
C．△ABC≌△AB'C' D．∠CAB'＝60°
【分析】由旋转的性质可得△ABC≌△AB'C'，∠BAB'＝∠CAC'＝60°，AB＝AB'，即可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB′C′，
∴△ABC≌△AB'C'，∠BAB'＝∠CAC'＝60°，
∴AB＝AB'，∠CAB'＜∠BAB'＝60°，
故选：D．
7．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A．25m B．24m C．30m D．60m
【分析】根据题意，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AD＝DB＝20m，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202，
解得：r＝25m，
∴这段弯路的半径为25m
故选：A．
8．如图，抛物线y1＝a（x+2）2﹣3与y2＝（x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：
①无论x取何值，y2的值总是正数；
②a＝1；
③当x＝0时，y2﹣y1＝4；
④2AB＝3AC；
其中正确结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【分析】根据与y2＝（x﹣3）2+1的图象在x轴上方即可得出y2的取值范围；把A（1，3）代入抛物线y1＝a（x+2）2﹣3即可得出a的值；由抛物线与y轴的交点求出，y2﹣y1的值；根据两函数的解析式直接得出AB与AC的关系即可．
【解答】解：①∵抛物线y2＝（x﹣3）2+1开口向上，顶点坐标在x轴的上方，∴无论x取何值，y2的值总是正数，故本结论正确；
②把A（1，3）代入，抛物线y1＝a（x+2）2﹣3得，3＝a（1+2）2﹣3，解得a＝，故本结论错误；
③由两函数图象可知，抛物线y1＝a（x+2）2﹣3解析式为y1＝（x+2）2﹣3，当x＝0时，y1＝（0+2）2﹣3＝﹣，y2＝（0﹣3）2+1＝，故y2﹣y1＝+＝，故本结论错误；
④∵物线y1＝a（x+2）2﹣3与y2＝（x﹣3）2+1交于点A（1，3），
∴y1的对称轴为x＝﹣2，y2的对称轴为x＝3，
∴B（﹣5，3），C（5，3）
∴AB＝6，AC＝4，
∴2AB＝3AC，故本结论正确．
故选：D．
二．填空题（共8小题）
9．方程x（x﹣5）＝0化成一般形式后，它的常数项是 0 ．
【分析】根据题目中的式子，将括号去掉化为一元二次方程的一般形式，从而可以解答本题．
【解答】解：∵x（x﹣5）＝0，
∴x2﹣5x＝0，
∴方程x（x﹣5）＝0化成一般形式后，它的常数项是0，
故答案为：0．
10．方程x2+mx﹣1＝0的根的判别式的值为20，则m的值是 ±4 ．
【分析】根据根的判别式即可求出m的值．
【解答】解：由题意可知：△＝m2+4＝20，
∴m＝±4，
故答案为：±4
11．若二次函数y＝﹣x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0的一个解x1＝3，另一个解x2＝ ﹣1 ．
【分析】根据二次函数的图象与x轴的交点关于对称轴对称，直接求出x2的值．
【解答】解：由图可知，对称轴为x＝1，
根据二次函数的图象的对称性，
＝1，
解得，x2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．图形：①线段，②等边三角形，③平行四边形，④矩形，⑤梯形，⑥圆．其中既是轴对称图形又是中心对称图形的序号是 ①④⑥ ．
【分析】中心对称图形是绕一点旋转180°能重合的图形，轴对称图形是沿对称轴折叠后能重合的图形．
【解答】解：①既是轴对称图形又是中心对称图形；
②是轴对称图形；
③是中心对称图形；
④既是轴对称图形又是中心对称图形；
⑤是轴对称图形；
⑥既是轴对称图形又是中心对称图形；
∴既是轴对称图形又是中心对称图形的序号是①④⑥．
13．某小区2019年的绿化面积为3000m2，计划2021年的绿化面积为4320m2，如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是 20% ．
【分析】设每年绿化面积的增长率为x，根据该小区2019年及2021年的绿化面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设每年绿化面积的增长率为x，
依题意，得：3000（1+x）2＝4320，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
故答案为：20%．
14．已知抛物线y＝x2+4x上有两点P1（，y1），P2（﹣，y2），则y1与y2的大小关系为 y1＞y2 ．
【分析】先根据抛物线的解析式得出抛物线的开口向上，抛物线的对称轴x＝﹣2，再由二次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+4x中a＝1＞0，
∴此抛物线开口向上，对称轴x＝﹣＝﹣2，
∵点P1（，y1）到对称轴的距离大于P2（﹣，y2）到对称轴的距离，
∴y1＞y2．
故答案为：y1＞y2．
15．如图，AB是⊙O的直径，C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE＝ 40° ．
【分析】根据邻补角的概念求出∠BOE，根据圆心角、弧、弦的关系解答．
【解答】解：∠BOE＝180°﹣∠AOE＝120°，
∵C、D是的三等分点，
∴＝＝，
∴∠COE＝∠COD＝∠BOD＝120°×＝40°，
故答案为：40°．
16．如图，AB⊙O的直径，CD为⊙O的弦，若AB⊥CD于E，下列结论：①CE＝DE，②＝．③＝，④AC＝AD．其中正确的有 ①②③④ （填序号）．
【分析】根据垂径定理得到CE＝DE，＝，＝，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到AC＝AD，得到答案．
【解答】解：∵AB⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD，
∴CE＝DE，＝，＝，①②③正确，
∵＝，
∴AC＝AD，④正确，
故答案为：①②③④．
三．解答题（共9小题）
17．解下列方程
（1）x2﹣2x﹣3＝0
（2）（2x﹣1）2＝（3﹣x）2．
【分析】（1）首先把方程左边因式分解得到（x﹣3）（x+1）＝0，然后解两个一元一次方程即可；
（2）首先利用平方差公式分解因式得到（2x﹣1+3﹣x）（2x﹣1﹣3+x）＝0，然后整理方程，解两个一元一次方程即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1；
（2）∵（2x﹣1）2＝（3﹣x）2，
∴（2x﹣1+3﹣x）（2x﹣1﹣3+x）＝0，
∴（x+2）（3x﹣4）＝0，
∴x1＝﹣2 x2＝．
18．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，＝．求证：OB平分∠ABC．
【分析】连接OA，OC，再根据＝即可得出结论．
【解答】证明：连接OA，OC，
∵＝．
∴∠AOB＝∠BOC，
∵OA＝OB，OB＝OC，
∴∠ABO＝∠CBO，
即OB平分∠ABC．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x12+x22＝6x1x2时，求m的值．
【分析】（1）根据一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根，可得△≥0，据此求出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系求出x1+x2，x1•x2的值，代入x12+x22＝6x1x2求解即可．
【解答】解：（1）∵原方程有两个实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，
整理得：4﹣4m+4≥0，
解得：m≤2；
（2）∵x1+x2＝2，x1•x2＝m﹣1，x12+x22＝6x1x2，
∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝6x1•x2，
即4＝8（m﹣1），
解得：m＝．
∵m＝＜2，
∴符合条件的m的值为．
20．如图，四边形ABCD的∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC于E，△BEA旋转一定角度后能与△DFA重合．
（1）旋转中心是哪一点？旋转了多少度？
（2）若AE＝5cm，求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）根据旋转的定义即可得到旋转中心为点A，根据旋转的性质可得旋转角为90°；
（2）由AE⊥BC得到∠AEB＝90°，再根据旋转的性质得∠EAF＝∠BAD＝90°，AE＝AF，△ABE≌△ADF，易得四边形AECF为正方形，然后根据四边形ABCD的面积＝S正方形AECF求解．
【解答】解：（1）∵△DBA旋转一定角度后能与△DFA重合，
∴旋转中心为点A，旋转角等于∠BAD，即旋转角为90°；
（2）∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∵△BEA绕点A逆时针旋转90°得△DFA，
∴∠EAF＝∠BAD＝90°，AE＝AF，△ABE≌△ADF，
而∠C＝90°，
∴四边形AECF为正方形，
∴四边形ABCD的面积＝S正方形AECF＝52＝25（cm2）．
21．如图，用长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场ABCD，已知墙长14m，设边AD的长为x（m），矩形ABCD的面积为y（m2）．
（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）当y＝108时，求x的值．
【分析】（1）设养鸡场宽为x，则长为30﹣2x，由面积公式写出y与x的函数关系式即可；
（2）把y＝108代入函数关系式解答即可．
【解答】解：（1）设养鸡场宽为x，则长为30﹣2x，
根据题意，y＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x（8≤x≤15）
（2）当y＝108时，
∴﹣2x2+30x＝108
∴x1＝6，x2＝9
∵8≤x≤15
∴x＝9．
22．某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？
【分析】关系式为：每件服装的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）＝1600，为了减少库存，计算得到降价多的数量即可．
【解答】解：设每件服装应降价x元，根据题意，得：
（44﹣x）（20+5x）＝1600
解方程得 x＝4或x＝36，
∵在降价幅度不超过10元的情况下，
∴x＝36不合题意舍去，
答：每件服装应降价4元．
23．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A沿AC边向C点以1cm/s的速度移动，在C点停止，点Q从C点开始沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，在B点停止．
（1）如果点P，Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟，使S△QPC＝8cm2？
（2）如果点P从点A先出发2s，点Q再从点C出发，经过几秒钟后S△QPC＝4cm2？
（3）如果点P、Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟后PQ＝BQ？
【分析】本题可设P出发xs后，S△QPC符合已知条件：
在（1）中，AP＝xm，PC＝（6﹣x）m，QC＝2xm；
在（2）中，AP＝xm，PC＝（6﹣x）m，QC＝2（x﹣2）m，进而可列出方程，求出答案；
在（3）中，PC＝（6﹣x）m，QC＝2xm，BQ＝8﹣2x，利用勾股定理和PQ＝BQ列出方程，求出答案．
【解答】解：（1）P、Q同时出发，经过x秒钟，S△QPC＝8cm2，由题意得，
（6﹣x）•2x＝8，
∴x2﹣6x+8＝0，
解得：x1＝2，x2＝4．
经2秒点P到离A点1×2＝2cm处，点Q离C点2×2＝4cm处，经4s点P到离A点1×4＝4cm处，点Q点C点2×4＝8cm处，经验证，它们都符合要求．
答：P、Q同时出发，经过2s或4s，S△QPC＝8cm2．
（2）设P出发ts时S△QPC＝4cm2，则Q运动的时间为（t﹣2）秒，由题意得：
（6﹣t）•2（t﹣2）＝4，
∴t2﹣8t+16＝0，
解得：t1＝t2＝4
因此经4秒点P离A点1×4＝4cm，点Q离C点2×（4﹣2）＝4cm，符合题意．
答：P先出发2s，Q再从C出发2s后，S△QPC＝4cm2．
（3）设经过x秒钟后PQ＝BQ，则PC＝（6﹣x）m，QC＝2xm，BQ＝8﹣2x，
（6﹣x）2+（2x）2＝（8﹣2x）2，
解得x1＝﹣10+8，x2＝﹣10﹣8（不合题意，舍去）
答：经过﹣10+8秒钟后PQ＝BQ．
24．为了给同学们创造更好的学习环境，某校要对校园进行改造，现将改造工程承包给某公司，该公司甲、乙两个工程队合做这项工作需4个月完工，若先由甲队单独做3个月后，剩下的部分由乙队单独做还需6个月完工．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？
（2）若甲队工作一个月需费用3万元，乙队工作一个月需1万元，要使整个工程费不超过14万元，则乙队至少工作几个月？
【分析】（1）由甲队1个月完成的工作乙队需2个月才能完成，可设甲队单独完成这项工程需要x个月，则乙队单独完成这项工程需要2x个月，根据甲、乙两个工程队合做这项工作需4个月完工，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设乙队工作了y个月，则甲队工作了＝天，根据总费用＝每个月所需费用×工作时间（月数）结合整个工程费不超过14万元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲队单独完成这项工程需要x个月，则乙队单独完成这项工程需要2x个月，
依题意，得：+＝1，
解得：x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意，
∴2x＝12．
答：甲队单独完成这项工程需要6个月，乙队单独完成这项工程需要12个月．
（2）设乙队工作了y个月，则甲队工作了＝天，
依题意，得：3×+1×y≤14，
解得：y≥8．
答：乙队至少工作8个月．
25．综合与探究
如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4）．连接AC，BC，DB，DC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由抛物线交点式表达，即可求解；
（2）利用S△BDC＝HD×OB，即可求解；
（3）分BD是平行四边形的一条边、BD是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）由抛物线交点式表达式得：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8）＝ax2﹣2ax﹣8a，
即﹣8a＝6，解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+6；
（2）点C（0，6），将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：y＝﹣x+6，
如图所示，过点D作y轴的平行线交直线BC与点H，
设点D（m，﹣m2+m+6），则点H（m，﹣m+6）
S△BDC＝HD×OB＝2（﹣m2+m+6+m﹣6）＝2（﹣m2+3m），
S△ACO＝××6×2＝，
即：2（﹣m2+3m）＝，
解得：m＝1或3（舍去1），
故m＝3；
（3）当m＝3时，点D（3，），
①当BD是平行四边形的一条边时，
如图所示：M、N分别有三个点，
设点N（n，﹣n2+n+6）
则点N的纵坐标为绝对值为，
即|﹣n2+n+6|＝，
解得：n＝﹣1或3（舍去）或1，
故点N（N′、N″）的坐标为（﹣1，）或（1，﹣）或（1﹣，﹣），
当点N（﹣1，）时，由图象可得：点M（0，0），
当N′的坐标为（1，﹣），由中点坐标公式得：点M′（，0），
同理可得：点M″坐标为（﹣，0），
故点M坐标为：（0，0）或（，0）或（﹣，0）；
②当BD是平行四边形的对角线时，
点B、D的坐标分别为（4，0）、（3，）
设点M（m，0），点N（s，t），
由中点坐标公式得：，而t＝﹣s2+s+6，
解得：t＝，s＝﹣1，m＝8，
故点M坐标为（8，0）；
故点M的坐标为：（0，0）或（，0）或（﹣，0）或（8，0）．
相关试卷
2023-2024学年湖北省黄冈市蕲春县八年级（下）期中数学试卷（含解析）： 这是一份2023-2024学年湖北省黄冈市蕲春县八年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学九年级上册湖北省黄冈市蕲春县九年级（上）期中数学试卷： 这是一份数学九年级上册湖北省黄冈市蕲春县九年级（上）期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了填空题．，选择题，解答题．等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省黄冈市蕲春县七年级（上）期中数学试卷： 这是一份2022-2023学年湖北省黄冈市蕲春县七年级（上）期中数学试卷，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
