期中测试

一、选择题(每题4分，共40分)

1．将方程3x2－8x＝10化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数，一次项系数，常数项分别是(　　)

A．3，－8，－10  B．3，－8，10  C．3，8，－10  D．－3，－8，－10

2．用配方法解方程x2－2x－5＝0时，原方程应变形为(　　)

A．(x＋1)2＝6    B．(x＋2)2＝9    C．(x－1)2＝6      D．(x－2)2＝9

3．在下列四个图案中，不是中心对称图形的是(　　)

4．将二次函数y＝(x－1)2－2的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后顶点为(　　)

A．(1，3)       B．(2，－1)      C．(0，－1)    D．(0，1)

5．如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为(　　)

A．35°        B．40°         C．50°        D．65°

第5题图                        第6题图

6．如图，已知长方形的长为10cm，宽为4cm，则图中阴影部分的面积为(　　)

A．20cm2      B．15cm2        C．10cm2       D．25cm2

7．某共享单车公司第一个月投放1000辆单车，第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的是(　　)

A．1000(1＋x)2＝1000＋440      B．1000(1＋x)2＝440

C．440(1＋x)2＝1000            D．1000(1＋2x)＝1000＋440

8．如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m.水面下降2.5m，水面宽度增加(　　)

第8题图

A．1m        B．2m      C．3m      D．6m

9．已知二次函数y＝(a－1)x2＋3ax＋1图象上的四个点的坐标为(x1，m)，(x2，m)，(x3，n)，(x4，n)，其中m＜n.下列结论可能正确的是(　　)

A．若a＞，则x1＜x2＜x3＜x4                 B．若a＞，则x4＜x1＜x2＜x3

C．若a＜－，则x1＜x3＜x2＜x4           D．若a＜－，则x3＜x2＜x1＜x4

10．一元二次方程：M：ax2＋bx＋c＝0；N：cx2＋bx＋a＝0，其中ac≠0，a≠c，以下四个结论：

①如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根；

②如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同；

③如果m是方程M的一个根，那么是方程N的一个根；

④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1.

正确的个数是(　　)

A．1       B．2       C．3         D．4

二、填空题(每题5分，共30分)

11．若点A(2，1)与点B是关于原点O的对称点，则点B的坐标为________．

12．△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x＋15＝0的根，则△ABC的周长是________．

13．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是________．

第13题图            第15题图                 第16题图

14．二次函数y＝－2x2－3x＋k的图象在x轴下方，则k的取值范围是________．

15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AB的中点，E，F分别为边AC，BC上的点，且

AE＝AD，BF＝BD，若DE＝2，DF＝4，则AB的长为________．

16．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(－1，0)，对称轴为直线

x＝2，下列结论：①4a＋b＝0；②9a＋c＞3b；③若点A(－3，y1)，B（-，）C（，）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；④若方程a(x＋1)(x－5)＝－3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜－1＜5＜x2.其中正确结论的序号是________．

三、解答题(共80分)

17．(8分)解方程：

(1)x2－x－6＝0;              (2)(x＋2)2＝2x(x＋2)．

18．(8分)已知关于x的方程x2＋2x＋a－2＝0.

(1)若方程有一根为1，求a的值；

(2)若a＝1，求方程的两根．

19．(8分)已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根．

(1)求k的取值范围；

(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．

20．(10分)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－4，3)、B(－3，1)、C(－1，3)．

第20题图

(1)请按下列要求画图：

①将△ABC先向右平移4个单位长度、再向上平移2个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；

②△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2；

(2)在(1)中所得的△A1B1C1和△A2B2C2关于点M成中心对称，请直接写出对称中心M点的坐标．

21．(10分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点P为△ABC内一点．连接PA，PB，PC，求PA＋PB＋PC的最小值．小华的解题思路：以点A为旋转中心，将△APB顺时针旋转60°得到△AMN，那么就将求PA＋PB＋PC的值转化为求PM＋MN＋PC的值，连接CN，当点P，M落在CN上时，此题可解．

第21题图

(1)请判断△APM的形状，并说明理由；

(2)请你参考小华的解题思路，证明PA＋PB＋PC＝PM＋MN＋PC；

(3)当AC＝BC＝2时，求PA＋PB＋PC的最小值．

22．(12分)已知某种产品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查发现，该产品每降价1元，每星期可多卖出20件，由于供货方的原因销量不得超过380件，设这种产品每件降价x元(x为整数)，每星期的销售利润为w元．

(1)求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)该产品销售价定为每件多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？

(3)该产品销售价在什么范围时，每星期的销售利润不低于6000元，请直接写出结果．

23．(12分)在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝AB＝4，D，E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α(0°<α≤180°)，记直线BD1与CE1的交点为P.

第23题图

(1)如图1，当α＝90°时，线段BD1的长等于________，线段CE1的长等于________；(直接填写结果)

(2)如图2，当α＝135°时，求证：BD1＝CE1，且BD1⊥CE1；

(3)①设BC的中点为M，则线段PM的长为________；

②点P到AB所在直线的距离的最大值为________．(直接填写结果)

24．(12分)已知，点M为二次函数y＝－(x－b)2＋4b＋1图象的顶点，直线y＝mx＋5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B.

(1)判断顶点M是否在直线y＝4x＋1上，并说明理由；

(2)如图1，若二次函数的图象也经过点A，B，且mx＋5＞－(x－b)2＋4b＋1，根据图象，写出x的取值范围；

(3)如图2，点A坐标为(5，0)，点M在△AOB内，若点C（，）D（，）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．

图1         图2

                                           第24题图

答案

1．A　2.C　3.B　4.B　5.C　6.A　7.A　8.B　9.B　10.C 

11.(－2，－1)　12.8　13.7m　14.k<－　15.4　16. ①④　

17.(1)x2－x－6＝0，(x－3)(x＋2)＝0，x1＝3，x2＝－2；　(2)(x＋2)2＝2x(x＋2)，(x＋2)2－2x(x＋2)＝0，(x＋2)(x＋2－2x)＝0，x1＝－2，x2＝2.　

18.(1)将x＝1代入方程得1＋2＋a－2＝0，解得a＝－1;

 (2)将a＝1代入方程得x2＋2x－1＝0，∵a＝1，b＝2，c＝－1，∴x1＝－1＋，x2＝－1－.　

19.(1)由题意得Δ＝4－4(2k－4)＞0，∴k＜.　

(2)∵k为正整数，∴k＝1，2.当k＝1时，方程x2＋2x－2＝0的根x＝－1±不是整数；当k＝2时，方程x2＋2x＝0的根x1＝－2，x2＝0都是整数，综上所述，k＝2.　

20.(1)画图略，　(2)(2，1)　

21. (1)△APM为等边三角形，

理由如下：∵AP＝AM，∠PAM＝60°，∴△APM为等边三角形；

　(2)证明：由旋转的性质，得PB＝MN，

又∵△APM为等边三角形，∴PM＝PA，∴PA＋PB＋PC＝PM＋MN＋PC.　

(3)连接BN，易知△ABN是等边三角形，∴NB＝NA.

又∵AC＝BC＝2，∴NC是AB的垂直平分线，垂足为Q.

又∵∠ACB＝90°，∴AB＝2，CN＝CQ＋NQ＝＋×2＝＋.

当P，M在NC上时，PA＋PB＋PC有最小值，∴PA＋PB＋PC的最小值为＋.　

22. (1)w＝(20－x)(300＋20x)＝－20x2＋100x＋6000，

∵300＋20x≤380，∴x≤4，且x为整数；　

(2)w＝－20x2＋100x＋6000＝－20＋6125，

∵－20≤0，且x为小于等于4的整数，

∴当x＝2或x＝3时有最大利润6120元，即当定价为57或58元时有最大利润6120元；　

(3)由w≥6000，求得0≤x≤5，由(1)知x≤4，∴0≤x≤4.∴不低于56元且不高于60元时，每星期利润不低于6000元．　

第23题图

23．(1)2　2　(2)证明：当α＝135°时，如图，

∵Rt△AD1E1是由Rt△ADE绕点A逆时针旋转135°得到，

∴AD1＝AE1，∠D1AB＝∠E1AC＝135°，在△D1AB和△E1AC中，

∵

∴△D1AB≌△E1AC(SAS)，

∴BD1＝CE1，且∠D1BA＝∠E1CA，记直线BD1与AC交于点F，

∴∠BFA＝∠CFP，∴∠CPF＝∠FAB＝90°，∴BD1⊥CE1.　

(3)①2　②1＋　

24.(1)点M为二次函数y＝－(x－b)2＋4b＋1图象的顶点，所以M的坐标是(b，4b＋1)，把x＝b代入y＝4x＋1，得y＝4b＋1，所以点M在直线y＝4x＋1上；

　(2)如图1，直线y＝mx＋5交y轴于点B，所以B点坐标为(0，5)，又B在抛物线上，所以5＝－(0－b)2＋4b＋1＝5，解得b＝2，二次函数的解析式是y＝－(x－2)2＋9，当y＝0时，－(x－2)2＋9＝0，解得x1＝5，x2＝－1，所以A(5，0)，由图象，得当mx＋5＞－(x－b)2＋4b＋1时，x的取值范围是x＜0或x＞5；

　(3)如图2，因为直线y＝4x＋1与直线AB交于点E，与y轴交于F，由A(5，0)，B(0，5)得，直线AB的解析式为y＝－x＋5，联立EF，AB解析式得方程组解得所以点E，F(0，1)，点M在△AOB内，所以0＜b＜，当点C，D关于抛物线的对称轴对称时，b－＝－b，所以b＝，且二次函数图象开口向下，顶点M在y＝4x＋1上，综上：①当0＜b＜时，y1＞y2，②当b＝时，y1＝y2，③当＜b＜时，y1＜y2.

图1           图2

第24题图