山东省潍坊市2022届高三上学期期中模拟试卷（11月）数学含答案

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 2021～2022学年高三第一学期期中模拟试卷数　　学(满分：150分　考试时间：120分钟)2021．11 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．1. 已知集合A＝{x|1<x<5}，B＝{x∈N|－1<x≤3}，则A∩B＝(　　)　A. (1，3]    B. (－1，5)    C. {2，3}    D. {1，2，3}2. 我们称可同时存在于一个指数函数与一个对数函数的图象上的点为“和谐点”，则四个点M(1，1)，N(2，1)，P(2，2)，Q(2，－3)中“和谐点”的个数为(　　)A. 1    B. 2    C. 3    D. 43. 已知sin 2α＝－，则sin 2(α＋)＝(　　)A.  B. C. D. 4. 函数f(x)＝的图象大致为(　　)5. 为庆祝中国共产党成立100周年，某学校组织“红心向党”歌咏比赛，前三名被甲、乙、丙获得．下面三个结论：“甲为第一名，乙不是第一名，丙不是第三名”中只有一个正确，由此可推得获得第一、二、三名的依次是(　　)A. 甲、乙、丙    B. 乙、丙、甲C. 丙、甲、乙    D. 乙、甲、丙6. 若函数f(x)＝(x2＋ax＋2)·ex在R上无极值，则实数a的取值范围是(　　)A. (－2，2)    B. (－2，2)C. [－2，2]    D. [－2，2]7. 已知x>0，y>0，x＋2y＝1，则的最小值为(　　)A. 4＋4B. 12    C. 8＋4D. 168. “迪拜世博会”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜举行，中国馆建筑名为“华夏之光”，外观取型中国传统灯笼，寓意希望和光明．它的形状可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个中国馆的实心模型，已知模型内层底面直径为12 cm，外层底面直径为16 cm，且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为20 cm的球面上．此模型的体积为(　　)A. 304π cm3    B. 840π cm3    C. 912π cm3    D. 984π cm3二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9. 某位同学10次考试的物理成绩y与数学成绩x如下表所示： 数学成绩x76827287937889668176物理成绩y808775a1007993688577参考数据： xi＝800.已知y与x线性相关，且y关于x的回归直线方程为y＝1.1x－5，则下列说法正确的是(　　)A. a＝86B. y与x正相关C. y与x的相关系数为负数D. 若数学成绩每提高5分，则物理成绩估计能提高5.5分10. 下列四个函数中，以π为周期且在(0，)上单调递增的偶函数有(　　)A.  y＝cos |2x|    B. y＝|tan x|C. y＝sin |x|    D. y＝lg |sin x|11. 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，下列结论正确的有(　　)A. 异面直线CA1与B1D1所成角的大小为B. 若E是直线AC上的动点，则D1E∥平面A1BC1C. 与此正方体的每个面都有公共点的截面的面积最小值是D. 若此正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截正方体所得截面面积的最大值是12. 下列结论正确的有(　　)A.  若a＝sin，b＝－log2(sin)，c＝2－sin，则b>c>aB. 若a>0，aa＝(9a)6a，则loga3a＝C. 若xy≠0，2x＝18y＝9xy，则x－y＝1D. 若a，b，c，d均为正整数，logab＝，logcd＝，a－c＝9，则b＋d＝157三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知X～B(3，)，且Y＝－5X＋2，则Y的方差为________．14. 为迎接2022年北京冬奥会，将4名志愿者分配到花样滑冰、速度滑冰2个项目进行培训，每名志愿者分配到1个项目，每个项目至少分配到1名志愿者，则不同的分配方案共有________种．(用数字作答)15. 若函数f(x)＝则f(2 022)＝________．16. 学生小雨欲制作一个有盖的圆柱形容器，满足以下三个条件：① 可将八个半径为20 mm的乒乓球分两层放置在里面；② 每个乒乓球都和其相邻的四个球相切；③ 每个乒乓球与该容器的底面(或上盖)及侧面都相切，则该容器的高为________mm.四、 解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. (本小题满分10分)已知函数f(x)＝2x＋k·2－x(k为常数，k∈R)是R上的奇函数．(1) 求实数k的值；(2) 若函数y＝f(x)在区间[1，m]上的值域为[n，]，求m＋n的值．
18. (本小题满分12分)已知命题p：“∀m∈R，关于x的方程x2＋mx＋m＋3＝0有两个不相等的负实根”是假命题．(1) 求实数m的取值集合M；(2) 在(1)的条件下，设不等式(x－a)(x－2)<0的解集为N，其中a≠2.若x∈N是x∈M的充分条件，求实数a的取值范围．
19. (本小题满分12分)在①asin B＝b；②△ABC的面积S△ABC＝bc；③bc＝b2＋c2－a2这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解决该问题．问题：在△ABC中，它的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为锐角，b＋c＝6，________．(1) 求a的最小值；(2) 若D为BC上一点，且满足AD＝CD＝2BD，判断△ABC的形状．注： 如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20. (本小题满分12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，点B1在底面ABC内的射影恰好是点C，点D是AC的中点，且满足DA＝DB.(1) 求证：AB⊥平面BCC1B1；(2) 已知AC＝2BC＝2，直线BB1与底面ABC所成角的大小为，求二面角CBDC1的大小．
21. (本小题满分12分)2021年7月18日第30届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重举行．为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1) 求频率分布直方图中m的值，并估计这50名学生成绩的中位数；(2) 在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记ξ为3人中成绩在[80，90)的人数，求ξ的分布列和数学期望；(3) 转化为百分制后，规定成绩在[90，100]的为A等级，成绩在[70，90)的为B等级，其他为C等级．以样本估计总体，用频率代替概率，从所有参加生物学竞赛的同学中随机抽取100人，其中获得B等级的人数设为η，记B等级的人数为k的概率为P(η＝k)，写出P(η＝k)的表达式，并求出当k为何值时，P(η＝k)最大？
22. (本小题满分12分)已知a∈R，函数f(x)＝ln x＋a(1－x)，g(x)＝ex.(1) 讨论f(x)的单调性；(2) 过原点分别作曲线y＝f(x)和y＝g(x)的切线l1和l2，求证：存在a>0，使得切线l1和l2的斜率互为倒数；(3) 若函数h(x)＝x2＋a－f(x)的图象与x轴交于两点A(x1，0)，B(x2，0)，且0<x1<x2.设x0＝λx1＋μx2，其中常数λ，μ满足条件λ＋μ＝1，μ≥λ>0，试判断函数h(x)在点M(x0，h(x0))处的切线斜率的正负，并说明理由． 
(电子稿下载邮箱：zgk_001@163.com   密码：zGkzgk001)2021～2022学年高三第一学期期中模拟试卷(潍坊)数学参考答案及评分标准 1. C　2. A　3. B　4. A　5. B　6. D　7. C　8. C　9. ABD　10. BD　11. BC　12. ACD13. 18　14. 14　15. －　16. 40＋2017. 解：(1) 因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即2－x＋k·2－(－x)＝－2x－k·2－x对∀x∈R恒成立，(2分)整理得(k＋1)(2x＋2－x)＝0对∀x∈R恒成立，即k＋1＝0，解得k＝－1.(5分)(2) 由f(x)＝2x－2－x，可知f(x)是[1，m]上的增函数，(6分)所以f(x)min＝f(1)＝21－2－1＝＝n，(7分)f(x)max＝f(m)＝2m－2－m＝，解得m＝2，(9分)故m＋n＝2＋＝.(10分)18. 解：(1) 解方程x2＋mx＋m＋3＝0有两个不相等的负实根，则解得m＞6.(4分)因为p是假命题，所以集合M＝{m|m≤6}．(6分)(2) 因为x∈N是x∈M的充分条件，所以N⊆M.(7分)①当a＞2时，集合N＝{x|2＜x＜a}，因为N⊆M，所以a≤6，所以2＜a≤6.(9分)②当a＜2时，集合N＝{x|a＜x＜2}，此时N⊆M恒成立，所以a＜2时符合题意．(11分)综上，a的取值范围是{a|a≤6且a≠2}．(12分)19. 解：选①：由正弦定理得sin A·sin B＝sin B.因为sin B≠0，所以sin A＝.(2分)因为A为锐角，所以A＝.(3分)选②：因为S△ABC＝bc·sin A＝bc，所以sinA＝.(2分)因为A为锐角，所以A＝.(3分)选③：由余弦定理得cos A＝＝＝.(2分)因为A为锐角，所以A＝.(3分)(1) 在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc·cos A＝(b＋c)2－3bc＝36－3bc.因为bc≤()2＝9，当且仅当b＝c＝3时取得等号，(5分)所以36－3bc≥36－27，即a2≥9，解得a≥3，所以a的最小值为3.(6分)(2) 由题意，设∠ACD＝θ，θ∈(0，)，因为AD＝CD，所以∠CAD＝θ.在△ABD中，∠BAD＝－θ，B＝－θ.由正弦定理得＝，因为AD＝2BD，(8分)所以2sin (－θ)＝sin (－θ)，即cos θ－sin θ＝cos θ＋sin θ，所以sin θ－cos θ＝0，即sin (θ－)＝0.(10分)又－＜θ－＜，所以θ－＝0，即θ＝，所以C＝，B＝，所以△ABC为直角三角形．(12分)20. (1) 证明：因为点B1在底面ABC内的射影恰好是点C，所以B1C⊥底面ABC.因为AB⊂底面ABC，所以B1C⊥AB.(2分)在△ABC中，因为点D是AC的中点，且DA＝DB，所以△ABC是直角三角形，即AB⊥BC.因为B1C∩BC＝C，所以AB⊥平面BCC1B1.(4分)(2) 解：因为B1C⊥底面ABC，且直线BB1与底面ABC所成角的大小为，所以∠B1BC＝，所以B1C＝.(5分)过点B作平面ABC的垂线BE，以B为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，0，0)，D(，，0)，C(1，0，0)，B1(1，0，)，C1(2，0，)，(7分)所以＝(，，0)，BC1＝(2，0，).设平面BDC1的法向量n＝(x，y，z)，则令z＝－2，解得x＝，y＝－1，此时n＝(，－1，－2).(9分)显然CB1是平面BCD的一个法向量，CB1＝(0，0，).(10分)因为cos 〈CB1，n〉＝＝＝－，(11分)由图可知二面角CBDC1是锐角，因此二面角CBDC1的大小为.(12分)21. 解：(1) 由(0.004＋0.022＋0.030＋0.028＋m＋0.004)×10＝1，解得m＝0.012.(1分)因为前两组的频率之和为0.04＋0.22＝0.26＜0.50，前三组的频率之和为0.04＋0.22＋0.30＝0.56＞0.50.设中位数为x0，则x0∈[60，70)，所以0.26＋(x0－60)×0.030＝0.50，解得x0＝68(分).(3分)(2) 因为50人中成绩在[70，80)共有0.28×50＝14人，成绩在[80，90)共有0.12×50＝6人，成绩在[90，100]共有0.04×50＝2人，所以[70，80)抽取了7人，[80，90)抽取了3人，[90，100]抽取了1人，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝＝，P(ξ＝2)＝＝＝，P(ξ＝3)＝＝，所以ξ的分布列为 ξ0123P(7分)数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.另解：因为ξ～H(11，3，3)，所以E(ξ)＝n＝3×＝.(8分)(3) [70，90)的频率为0.28＋0.12＝0.4，由题意知η～B(100，0.4)，(9分)所以P(η＝k)＝C×0.4k×0.6100－k(0≤k≤100，k∈N).(10分)法一：作商法＝＝×＞1，解得k＜39.4.法二：作差法P(η＝k＋1)－P(η＝k)＝C×0.4k＋1×0.699－k－C×0.4k×0.6100－k＝×(39.4－k)＞0，解得k＜39.4.所以，当k≤39时，P(η＝k＋1)＞P(η＝k)，即P(η＝40)＞P(η＝39)＞…＞P(η＝0)；当k≥40时，P(η＝k＋1)＜P(η＝k)，即P(η＝40)＞P(η＝41)＞…＞P(η＝100).(11分)所以P(η＝k)max＝P(η＝40)，即当k＝40时，P(η＝k)最大．(12分)22. (1) 解：f′(x)＝－a(x＞0)，若a≤0，则f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无单调递减区间；(1分)若a＞0，则当x∈(0，)时，f′(x)＞0；当x∈(，＋∞)时，f′(x)＜0.此时函数在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减．(2分)(2) 证明：设切线l2的方程为y＝k2x，切点为(x2，ex2)，g′(x)＝ex，故ex2＝，所以x2＝1，k2＝e.结合题意知切线l1的斜率k1＝＝，则切线l1的方程为y＝x.设切线l1与曲线y＝f(x)的切点为(x1，y1)，f′(x)＝－a，所以－a＝　①.(3分)因为f(x1)＝x1，即ln x1＋a(1－x1)＝x1　②.(4分)由①②消去x1得ea－1－a－＝0.(5分)令φ(x)＝ex－1－x－，则φ′(x)＝ex－1－1.当x∈(0，1)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(0，1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递增．因为φ(1)＝－＜0，φ(2)＝e－2－＞0，故存在a0∈(1，2)使得φ(a0)＝0.(6分)将a＝a0代入①式解得x1＝＞0，故存在a＝a0＞0，使得切线l1和l2的斜率互为倒数．(7分)(3) 解：h(x)＝ax－ln x＋x2，h′(x)＝a－＋2x，由题意知两式相减得a(x1－x2)－(ln x1－ln x2)＋(x－x)＝0，所以a＝－(x1＋x2).(8分)又因为μ≥λ＞0，μ＋λ＝1，所以μ＝1－λ，0＜λ≤.所以h′(x0)＝h′(λx1＋μx2)＝a－＋2(λx1＋μx2)＝＋(2λ－1)(x1－x2)－.(9分)易知其中(2λ－1)(x1－x2)≥0，所以只需研究：－的正负，可先判断ln －的正负．令t＝，t∈(0，1)，ln －＝ln t－.(10分)设H(t)＝ln t－，t∈(0，1)，H′(t)＝＝.因为μ≥λ＞0，0＜t＜1，所以t－1＜0，λ2t－μ2＜0，所以H′(t)＞0在(0，1)上恒成立．H(t)在(0，1)上单调递增，H(t)＜H(1)＝0，(11分)即ln －＜0.因为x1－x2＜0，所以－＞0.结合(2λ－1)(x1－x2)≥0，可知h′(x0)＞0，即在点M(x0，h(x0))处的切线斜率为正．(12分)