2021年福建省龙岩高三一模数学试卷及答案

这是一份2021年福建省龙岩高三一模数学试卷及答案，共24页。
1.假设某10张奖券中有1张，奖品价值100元，有二等奖3张，每份奖品价值50元；其余6张没有奖.现从这10张奖券中任意抽取2张，获得奖品的总价值不少于其数学期望的概率为 .
2.已知对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
3.在平面上，将两个半圆弧和、两条直线和围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，过作的水平截面，所得截面面积为，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为 。
4.已知是定义在上的增函数, 且的图像关于点对称. 若实数x, y满足不等式, 则的取值范围___________.
5.已知一玻璃杯杯口直径6cm, 杯深8cm. 如图所示, 其轴截面截杯壁所得曲线是抛物线的一部分, 一个玻璃小球放入玻璃杯中, 若小球能够碰到杯底, 求小球半径的范围(不记玻璃杯的玻璃厚度).
二．选择题：
6.已知O是外接圆的圆心, A,B,C为的内角, 若, 则m的值为 答 [ ]
A. 1B. C. D.
7.已知点列均为函数的图像上，点列满足，若数列中任意连续三项能构成三角形的三边，则的取值范围为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
8.过圆的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足则直线AB有（ ）
（A） 0条 （B） 1条 （C） 2条 （D） 3条
三．解答题：
9.已知直线是双曲线的一条渐近线，点都在双曲线上，直线AM与轴相交于点P，设坐标原点为O.
（1）设点M关于y轴相交的对称点为N，直线AN与y轴相交于点Q，问：在轴上是否存在定点T，使得若存在，求出点T的坐标;若不存在，请说明理由.
（2）若过点的直线与双曲线C交于R,S两点，且，试求直线的方程.
10.已知双曲线, 设过点的直线l的方向向量为.
当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时, 求直线l的方程及l与m的距离;
证明: 当时, 在双曲线C的右支上不存在点Q, 使之到直线l的距离为.
11.已知集合M是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数k，对定义域中的任意x，等式＝＋恒成立．
（1）判断一次函数＝ax＋b(a≠0)是否属于集合M；
（2）证明函数＝属于集合M，并找出一个常数k；
（3）已知函数＝( a＞1)与y＝x的图象有公共点，证明＝∈M．
12.设函数和都是定义在集合上的函数,对于任意的，都有
成立，称函数与在上互为“函数”.
（1）函数与在上互为“函数”，求集合；
（2）若函数(与在集合上互为 “函数”,
求证：；
（3）函数与在集合且，上互为“
函数”，当时,，且在上是偶函数,求函数
在集合上的解析式.
13.设数列的前项和为，且
（1）求出的值，并求出及数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）设，在数列中取出项，按照原来的
顺序排列成一列，构成等比数列，若对任意的数列，均有，试求的最小值.
14.已知数列的各项均为正数，其前项的和为，满足（），其中为正常数，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正整数，使得当时，恒成立？若存在，求出使结论成立的的取值范围和相应的的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）若，设数列对任意，都有
，问数列是不是等差数列？若是，请求出其通项公式；若不是，请说明理由．
15.已知抛物线上横坐标为4的点到焦点的距离等于5。
（1）求抛物线的方程。
（2）设直线与抛物线交于两点，且，是弦的中点，过做平行于轴的直线交抛物线于点，得到；在分别过弦的中点作平行于轴的直线交抛物线于点，得到三角形；按此方法继续下去。
解决如下问题：
①求证：；②计算的面积；③根据的面积的计算结果，写出的面积；请设计一种求抛物线与线段所围成封闭图形面积的方法，并求出封闭图形的面积。
1.假设某10张奖券中有1张，奖品价值100元，有二等奖3张，每份奖品价值50元；其余6张没有奖.现从这10张奖券中任意抽取2张，获得奖品的总价值不少于其数学期望的概率为 .
2.已知对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
3.在平面上，将两个半圆弧和、两条直线和围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，过作的水平截面，所得截面面积为，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为 。
4.已知是定义在上的增函数, 且的图像关于点对称. 若实数x, y满足不等式, 则的取值范围___________.
解: 由对称性可知, 由单调性可知时, ; 时, ;
由, 则,
结合草图可知到6的距离不超过比到6的距离,
即, 整理得,
其几何意义是以为圆心, 1为半径的圆(及其内部),
而即为该区域内点到原点距离的平方, 结合图形可知, 故其取值范围为.
5.已知一玻璃杯杯口直径6cm, 杯深8cm. 如图所示, 其轴截面截杯壁所得曲线是抛物线的一部分, 一个玻璃小球放入玻璃杯中, 若小球能够碰到杯底, 求小球半径的范围(不记玻璃杯的玻璃厚度).
解: 如图建系, 抛物线方程为抛物线,
小圆与抛物线的接触点即为抛物线上到圆心C距离最短的点,
由小球能碰到杯底, 则有,
设在抛物线上,
设小球的半径为r, 则圆心的坐标为,
,
由, 即当时, 最小, 故,
所以.
选择题：
6.已知O是外接圆的圆心, A,B,C为的内角, 若, 则m的值为 答 [ B ]
A. 1B. C. D.
解: 不妨设外接圆的半径为1, 如图建立直角坐标系,
则有,
故可设, ,
结合诱导公式得,
则,
由,
得,
又, , 上式化为,
整理得, 故选B.
7.已知点列均为函数的图像上，点列满足，若数列中任意连续三项能构成三角形的三边，则的取值范围为（ B ）
（A） （B）
（C） （D）
8.过圆的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足则直线AB有（ ）
（A） 0条 （B） 1条 （C） 2条 （D） 3条
三．解答题：
9.已知直线是双曲线的一条渐近线，点都在双曲线上，直线AM与轴相交于点P，设坐标原点为O.
（1）设点M关于y轴的对称点为N，直线AN与y轴相交于点Q，问：在轴上是否存在定点T，使得若存在，求出点T的坐标;若不存在，请说明理由.
（2）若过点的直线与双曲线C交于R,S两点，且，试求直线的方程.
10.已知双曲线, 设过点的直线l的方向向量为.
当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时, 求直线l的方程及l与m的距离;
证明: 当时, 在双曲线C的右支上不存在点Q, 使之到直线l的距离为.
(1)解: 双曲线C的渐近线, 即,
直线l的方程为,
直线l与m的距离为.
(2)证法一: 设过原点且平行于l的直线,
则直线l与b的距离, 当时, ,
又双曲线C的渐近线方程为,
双曲线C的右支在直线b的右下方,
双曲线C的右支上的任意点到直线l的距离大于,
故在双曲线C的右支上不存在点Q, 使之到直线l的距离为.
证法二: 假设双曲线右支上存在点到直线l的距离为,
则,
由(1)得,
设,
当时, ,
,
将代入(2)得(),
, , , ,
方程()不存在正根, 即假设不成立,
故在双曲线C的右支上不存在点Q, 使之到直线l的距离为.
11.已知集合M是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数k，对定义域中的任意x，等式＝＋恒成立．
（1）判断一次函数＝ax＋b(a≠0)是否属于集合M；
（2）证明函数＝属于集合M，并找出一个常数k；
（3）已知函数＝( a＞1)与y＝x的图象有公共点，证明＝∈M．
解：（1）若＝ax＋b∈M，则存在非零常数k，对任意x∈D均有＝akx＋b＝＋，即a(k－1)x＝恒成立，得无解，所以M．
（2）＝＋，则＝，k＝4，k＝2时等式恒成立，所以＝∈M．
（3）因为y＝( a＞1)与y＝x有交点，由图象知，y＝与y＝必有交点．
设＝，则＝＝＋＝＋，所以∈M．
12.设函数和都是定义在集合上的函数,对于任意的，都有
成立，称函数与在上互为“函数”.
（1）函数与在上互为“函数”，求集合；
（2）若函数(与在集合上互为 “函数”,
求证：；
（3）函数与在集合且，上互为“
函数”，当时,，且在上是偶函数,求函数
在集合上的解析式.
（1）由得
化简得，，或………2
解得或，，即集合………2分
(若学生写出的答案是集合的非空子集，扣1分，以示区别。)
（2）证明：由题意得，（且），变形得，，由于且， ，因为，所以，即
（3）当，则，由于函数在上是偶函数
则，所以当时，
由于与函数在集合上“ 互为函数”
所以当，恒成立,
对于任意的()恒成立,即，所以,
即，所以,
当（）时,
，所以当时，
13.设数列的前项和为，且
（1）求出的值，并求出及数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）设，在数列中取出项，按照原来的
顺序排列成一列，构成等比数列，若对任意的数列，均有，试求的最小值.
14.已知数列的各项均为正数，其前项的和为，满足（），其中为正常数，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正整数，使得当时，恒成立？若存在，求出使结论成立的的取值范围和相应的的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）若，设数列对任意，都有
，问数列是不是等差数列？若是，请求出其通项公式；若不是，请说明理由．
解：（1）由题设知，，解得．…………（1分）
由两式作差得，，即，（2分）
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，……（3分）
所以（）．…………（4分）
（2），……（5分）而，
由题意，， …………（6分）所以，
① 当时，，则，即，
解得（舍去）；…………（7分）
② 当时，，则，即，
解得或（舍去）．此时存在满足题意的．…………（8分）
综上，当时，存在的最小值为,使恒成立．（10分）
（3）令，则，因为，所以．……（11分）
因为 ． ①
所以 （）② （13分）
因为的公比，所以在②的两边同乘以得，
（） ③ ……（15分）
①减去③得，，所以（），………………（17分）
因为，所以是等差数列，其通项公式为．…………（18分）
15.已知抛物线上横坐标为4的点到焦点的距离等于5。
（1）求抛物线的方程。
（2）设直线与抛物线交于两点，且，是弦的中点，过做平行于轴的直线交抛物线于点，得到；在分别过弦的中点作平行于轴的直线交抛物线于点，得到三角形；按此方法继续下去。
解决如下问题：
①求证：；②计算的面积；③根据的面积的计算结果，写出的面积；请设计一种求抛物线与线段所围成封闭图形面积的方法，并求出封闭图形的面积。
[解]：
（1）由抛物线定义得：
。
（2）①
。②，，，求得点，
③由②知。第此作图产生个三角形，每一个三角形的面积是上一个面积的，所以是一个公比为的等比数列。令为第此作图产生的个三角形的面积和，前此作图所有三角形的面积和为。抛物线与线段所围成封闭图形面积
。