【2022版】专题06利用函数性质解决抽象函数不等式-高三数学万能解题模板（原卷+解析版）

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专题06 利用函数性质解决抽象函数不等式
【高考地位】
函数的单调性是函数的一个非常重要的性质，也是高中数学考查的重点内容。而抽象函数的单调性解函数不等式问题，其构思新颖，条件隐蔽，技巧性强，解法灵活，往往让学生感觉头痛。因此，我们应该掌握一些简单常见的几类抽象函数单调性及其应用问题的基本方法。
确定抽象函数单调性解函数不等式
万能模板
内 容
使用场景
几类特殊函数类型
解题模板
第一步 （定性）确定函数在给定区间上的单调性和奇偶性；
第二步 （转化）将函数不等式转化为的形式；
第三步 （去）运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“”，转化成一般的不等式或不等式组；
第四步 （求解）解不等式或不等式组确定解集；
第五步 （反思）反思回顾，查看关键点，易错点及解题规范.
例1 已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意给定的实数，且，不等式恒成立，则不等式的解集为__________．
【答案】.
【解析】第一步，（去）运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“”，转化成一般的不等式或不等式组：
若对于任意给定的实数，且，，不等式恒成立，等价为恒成立，即是定义在上的减函数，
第二步，（定性）确定函数在给定区间上的单调性和奇偶性：
又是定义在上的奇函数，所以，
第三步，（求解）解不等式或不等式组确定解集：
当时， ，所以，联立解得，当时， ，所以，无解，综上应填.
【变式演练1】若定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【来源】安徽省池州市第一中学2021届高三模拟考试（临门一脚）数学（理）试题
【答案】C
【分析】
首先将转化为或，根据函数单调性解和，进而可以求出结果.
【详解】
因为，
所以或，
因为在上单调递增，且，
所以，
因为在上为奇函数，
所以在上单调递增，且，
因此，
综上：不等式的解集为.
故选：C.
【变式演练2】【江西省赣州市部分重点中学2021届高三上学期期中考试文科】已知定义在上的函数满足且，其中是函数的导函数，e是自然对数的底数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
令，，利用导数可知在上为单调递减函数，将不等式化为且，再利用的单调性可解得结果.
【详解】
令，，
则，
因为，，所以，所以在上为单调递减函数，
当时，由可知，不满足；
当时，，所以可化为，即，
因为在上为单调递减函数，所以，
所以不等式的解集为.
故选：A
【变式演练3】定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数．
（1）求的值；
（2）求证：；
（3）解不等式．
【答案】（1）,；（2）证明见解析；（3）．
【解析】
试题分析：（1）利用赋值法可求,；（2）根据函数的奇偶性定义即可证明函数是偶函数；（3）根据函数奇偶性,利用数形结合可解得不等式的解集．
试题解析：解：（1）令，则，∴，令，则，∴
（2）令，则，∴
（3）据题意可知，函数图象大致如下：

，∴或，∴或.
考点：抽象函数及应用．
【变式演练4】定义在上的函数满足下列条件：①对任意，都有；②当时，有，求证：
（1）是奇函数；
（2）是单调递减函数；
（3），其中．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．
【解析】
试题分析：（1）由奇函数的定义及特殊值即可证明；（2）由单调性的定义,做差证明；（3）先由题中已知的恒等式赋值,得出要求数列的通项,再利用裂项求和的方法求得不等式左边的最简形式,最后比较左右两边的大小关系,即可得证．
试题解析：证明：（1）令代入，得到．
令，得，即．∴在上是奇函数．
（2）设，则
∵，∴，．
又，∴且，
∴，∴，∴，∴
所以在上是单调递减函数．
（3）

∴

∵，∴，∴．
故．
考点：1．抽象函数；2．函数的单调性,奇偶性；3．数列求和．
【高考再现】
1.【2020年高考浙江卷9】已知且，若在上恒成立，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路导引】对分与两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案．
【解析】当时，在上，恒成立，∴只需满足恒成立，此时，由二次函数的图象可知，只有时，满足，不满条件；

当时，在上，恒成立，∴只需满足恒成立，此时当两根分别为和，
（1）当时，此时，当时，不恒成立，

（2）当时，此时，若满足恒成立，只需满足


当时，此时，满足恒成立，

综上可知满足在恒成立时，只有，故选C ．
【专家解读】本题的特点是知识的灵活运用，本题考查了三次函数在给定区间上恒成立问题，考查数形结合及分类讨论思想，考查数学运算、数学直观、逻辑推理等学科素养．解题关键是合理分类，做到不重不漏．
2.【2020年高考北京卷6】已知函数，则不等式的解集是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】不等式化为在同一直角坐标系下作出y=2x，y=x+1的图象（如图），得不等式的解集是，故选C．

【专家解读】本题考查了简单指数不等式的解法，考查数形结合思想，考查数学运算、数学直观学科素养．解题关键是正确作出函数图象，利用图象解决问题．
3.【2020年高考山东卷8】若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路导引】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果．
【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：或或
解得或，所以满足的的取值范围是，故选D．
【专家解读】本题的特点是注重函数性质的应用，本题考查了函数的奇偶性、单调性，考查抽象不等式的解法，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思想方法，考查数学运算、直观想象、数学建模等学科素养．解题关键是正确应用函数的性质，转化为不等式组来求解．
4.【2017全国卷一理】函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】 D
【解析】 因为为奇函数，所以，
于是等价于|
又在单调递减


故选D
【2018年普通高等学校招生（江西卷）】已知f(x)是定义在(0，＋∞) 上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的0