【2022版】专题12利用导数解决函数的单调性-高三数学万能解题模板（原卷+解析版）

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专题12 导数与函数的单调性问题

【高考地位】
在近几年的高考中，导数在研究函数的单调性中的应用是必考内容，它以不但避开了初等函数变形的难点，定义法证明的繁杂，而且使解法程序化，优化解题策略、简化运算，具有较强的工具性的作用. 导数在研究函数的单调性中的应用主要有两方面的应用：一是分析函数的单调性；二是已知函数在某区间上的单调性求参数的取值范围.在高考中的各种题型中均有出现，其试题难度考查相对较大.
类型一 求无参函数的单调区间
万能模板
内 容
使用场景
知函数的解析式判断函数的单调性
解题模板
第一步 计算函数的定义域；
第二步 求出函数的导函数；
第三步 若，则为增函数；若，则为减函数.
例1 【河北省衡水市枣强中学2020届高三下学期3月调研】已知函数.
（1）当时，判断的单调性；
【解析】（1）当时，，
第一步，计算函数的定义域：.
第二步，求出函数的导函数：

第三步，令，则在上为减函数，且
所以，当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减.
故递增区间为；递减区间为
【变式演练1】函数，的单调递增区间为__________．
【来源】福建省三明第一中学2021届高三5月校模拟考数学试题
【答案】；（区间两端开闭都可以）
【分析】
利用三角恒等变换得，再利用换元法设，利用导数和复合函数的单调性解不等式，即可得到答案；
【详解】
令，
设，则，
，
，，
，
，
在区间单调递增.
故答案为：.
【点睛】
本题考查复合函数的单调性与导数的结合，考查运算求解能力，求解时注意复合函数的单调性是同增异减的原则.
【变式演练2】已知函数，则不等式的解集为___________.
【来源】全国卷地区“超级全能生”2021届高三5月联考数学（文）试题（丙卷）
【答案】
【分析】
首先根据题意得到是偶函数，利用导数和奇偶性得到函数的单调区间，再利用单调性和奇偶性解不等式即可.
【详解】
因为，，
所以，所以是偶函数.
因为
当时，，所以在上单调递增.
又因为是偶函数，所以在上单调递减.
所以，即，
所以，即，解得或.
故答案为：.
【变式演练3】【黑龙江省哈尔滨六中2020届高三高考数学（文科）二模】已知函数，若，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求得函数单调性与奇偶性，再结合指数函数与对数函数的性质，得出，得到，进而得到，即可得到答案.
【详解】
由题意，函数的定义域为，
且，即，
所以函数是上的奇函数，
又由，所以函数为上的单调递减函数，
又因为，且，即，
所以，可得，
又由函数是上的奇函数，可得，
所以，即.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性与函数的单调性，以及指数函数与对数函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟练应用函数的基本性质，结合指数函数与对数函数的性质求得自变量的大小关系式解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
【变式演练4】【湖南省湘潭市2020届高三下学期第四次模拟考试】定义在上的连续函数，导函数为．若对任意不等于的实数，均有成立，且，则下列命题中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
构造函数，利用导数分析出函数在上单调递增，在上单调递减，并推导出函数的图象关于直线对称，进而可判断出各选项的正误.
【详解】
构造函数，则，
当时，.
当时，则，；
当时，则，.
所以，函数在上单调递增，在上单调递减.
又，所以，
即，故函数的图象关于直线对称．
对于A选项，，即，与的大小关系不确定，A选项错误；
对于B选项，，即，即，B选项正确；
对于C、D选项，，即，C、D选项错误.
故选：B．
【点睛】
本题考查利用构造函数法判断函数值的大小关系，根据导数不等式的结构构造新函数是解题的关键，考查推理能力，属于难题.


类型二 判定含参数的函数的单调性
万能模板
内 容
使用场景
函数的解析式中含有参数
解题模板
第一步 计算函数的定义域并求出函数的导函数；
第二步 讨论参数的取值范围，何时使得导函数按照给定的区间大于0或小于0；
第三步 根据导函数的符号变换判断其单调区间.
例2 【黑龙江省大庆市第四中学2020届高三下学期第四次检测】已知函数.
（1）讨论的单调性；
【解析】（1）第一步，计算函数的定义域并求出函数的导函数：
，
记.
第二步，讨论参数的取值范围，何时使得导函数按照给定的区间大于0或小于0：
当时，因为，所以，所以函数在上单调递增；
当时，因为，所以，函数在上单调递增；
当时，由，解得，
第三步，根据导函数的符号变换判断其单调区间：
所以函数在区间上单调递减，在区间和上单调递增.
【变式演练5】（主导函数是一次型函数）【福建省三明市2020届高三（6月份）高考数学（文科）模拟】已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
【解析】（1）因为，
所以，
当时，，即函数在单调递增；
当时，令，即，解得；
令，即，解得，
综上所述：当时，函数在单调递增；当时，函数在单调递增，在单调递减.
【变式演练6】（主导函数为类一次型）【山东省威海荣成市2020届高三上学期期中考试】已知函数.
（I）讨论的单调性；
【解析】（Ⅰ）函数的定义域为，且.
①当时，，函数在上单调递减；
②当时，令，可得；令，可得.
此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
【变式演练7】（主导函数为二次型）【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数，.
（1）讨论的单调性；
【解析】（1）函数的定义域为，.
令，.
①当时，即当时，对任意的，，则，
此时，函数在上单调递增；
②当时，即当时，
方程有两个不等的实根，设为、，且，
令，解得，.
解不等式，可得；
解不等式，可得或.
此时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.
综上所述，当时，函数的单调递增区间为，无递减区间；
当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；
【变式演练8】（主导函数是类二次型）【山西省太原五中2020届高三高考数学（理科）二模】已知函数，其中k∈R.
（1）当时，求函数的单调区间；
【解析】（1） ，
当时 ，令得，令 得，故 的单调递增区间为 的单调递减区间为
当时，令 得，或 ，
当时 ，当时 或；当 时； 的单调递增区间为 ；减区间为 .
当时 ，当时 ；当时 ；的单调递增区间为 ；
【变式演练9】已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【来源】江西省南昌市新建区第一中学2020-2021学年高三上学期期末考试数学（文）试题
【答案】A
【分析】
利用导数求出函数的单调递增区间为，进而可得出，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
因为的定义域为，，
由，得，解得，所以的递增区间为．
由于在区间上单调递增，则，
所以，解得.
因此，实数的取值范围是．
故选：A.
【点睛】
方法点睛：利用函数在区间上单调递增求参数，可转化为以下两种类型：
（1）区间为函数单调递增区间的子集；
（2）对任意的，恒成立.
同时也要注意区间左端点和右端点值的大小关系.
类型三 由函数单调性求参数取值范围
万能模板
内 容
使用场景
由函数单调性求参数取值范围
解题模板
第一步 计算函数的定义域并求出函数的导函数；
第二步 根据题意转化为相应的恒成立问题；
第三步 得出结论.
例3．【江苏省南通市2019-2020学年高三下学期期末】若在上是减函数，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】第一步：计算函数的定义域并求出函数的导函数：
因为，故可得，
第二步 根据题意转化为相应的恒成立问题：
因为在区间是减函数，故在区间上恒成立.
因为，故上式可整理化简为在区间上恒成立，
因为在区间上的最小值为，
第三步 得出结论：故只需-1.
故选：A.
【点睛】
本题考查根据函数的单调性，利用导数求解参数范围的问题，属基础题.
【变式演练11】（转化为任意型恒成立）【四川省绵阳市2020高三高考数学（文科）三诊】函数在上单调递增，则的最小值为（ ）
A．4 B．16 C．20 D．18
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数在上单调递增得：在上恒成立，转化成，结合线性规划知识求解即可
【详解】
因为函数在上单调递增，
所以
=在上恒成立．又，
所以在上恒成立．
记，
则，
整理得：，
把横坐标看作轴，纵坐标看作轴，作出不等式组表示的区域如下图，

令，则，
抛物线恰好过图中点，由线性规划知识可得：
当抛物线过点时，最小，此时取得最小值．
所以
故选B
【点睛】
本题主要考查了单调性与导数的关系，还考查了恒成立问题及线性规划求最值，考查计算能力及转化能力，属于中档题．
【变式演练12】（转化为变号零点）【山西省运城市2019-2020学年高三期末】已知函数在内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
函数的定义域为，，根据题意可得到，，从而可得答案．
【详解】
解：函数，定义域，
，
当时，，在上是增函数，不符合题意，
当 时，在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
函数在内不是单调函数，
，
，
故选：D ．
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，依题意得到是关键，也是难点所在，属于中档题．
【变式演练13】（直接给给定单调区间）【辽宁省六校协作体2019-2020学年高三下学期期中考试】已知函数的单调递减区间是，则的值为（ ）
A．-4 B．-2 C．2 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据的单调区间，得到导函数的零点，结合根与系数关系，求得的值.
【详解】
依题意，由于函数的单调递减区间是，
所以，是的两个零点，所以，
所以.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.
【变式演练14】（转化为存在型恒成立）【四川省仁寿第一中学北校区2019-2020学年高三月考】若f（x）2ax在（1，+∞）上存在单调递增区间，则a的取值范围是( )
A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，0） C．[0，+∞） D．（0，+∞）
【答案】D
【解析】
【分析】f(x)在(1,+∞)上存在单调递增区间,等价于>0在(1,+∞)上有解.因此结合的单调性求出其在(1,+∞)上的最值,即可得出结论.
【详解】f(x)2ax在(1,+∞)上存在单调递增区间,
只需>0在(1,+∞)上有解即可.
由已知得,该函数开口向下,对称轴为,
故在(1,+∞)上递减,
所以=2a>0,解得a>0.
故选:D.
【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用,难度不大.
【高考再现】
1．（2021·全国高考真题（理））设，，．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【解析】,
所以;
下面比较与的大小关系.
记,则,，
由于
所以当00.所以f(x)在(0,a−a2−42),(a+a2−42,+∞)单调递减，在(a−a2−42,a+a2−42)单调递增.
（2）由（1）知，f(x)存在两个极值点当且仅当a>2.
由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2−ax+1=0，所以x1x2=1，不妨设x11.由于
f(x1)−f(x2)x1−x2=−1x1x2−1+alnx1−lnx2x1−x2=−2+alnx1−lnx2x1−x2=−2+a−2lnx21x2−x2，
所以f(x1)−f(x2)x1−x2