新高考数学培优专练27 向量法求空间角
展开专题27 向量法求空间角
一、单选题
1．在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成角的大小是（ ）
A． B． C． D．
2．在长方体中，，，设交于点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图在棱长为2的正方体中，点是的中点，那么异面直线和所成的角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知点、、G、分别是正方体中棱、、、的中点，记二面角的平面角为，直线与平面所成角为，直线与直线所成角为，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在正四面体中，，记平面与平面､平面､平面，所成的锐二面角分别为､､，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在长方体中，，，是的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知两条异面直线的方向向量分别是，1，，，2，，则这两条异面直线所成的角满足（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
8．如图，四边形中，是等腰直角三角形，，是边长为2的正三角形，以为折痕，将向上折叠到的位置，使点在平面内的射影在上，再将向下折叠到的位置，使平面平面，形成几何体.
（1）点在上，若平面，求点的位置；
（2）求二面角的余弦值.
9．如图所示，在四棱锥中，，，，底面，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）在侧面内找一点，使平面；
（3）求直线与平面所成角的正弦.
10．如图所示，四棱锥中，侧面是边长为的正三角形且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点.
（1）求与底面所成角的大小；
（2）求证：平面；
（3）求二面角的余弦值.
11．如图，三棱柱中，平面平面，和都是正三角形，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
12．如图，在四棱锥中，底面中，，侧面平面，且，点在棱上，且．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值
13．如图，在底面为菱形的四棱锥中，，．
（1）证明：；
（2）若，点在线段上，且，求二面角的余弦值．
14．如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）在上是否存在一点，使得与所成角为？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．
15．已知如图①，在菱形中，且，为的中点，将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥.
（1）求证：平面平面；
（2）若为的中点，求二面角的余弦值.
16．如图，E为矩形边的中点，沿将向上翻折至，使得二面角为60°，且，.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面夹角的正弦值.
17．如图，长方体中，，，若在上存在点，使得平面.
（1）求的长；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
18．如图，三棱柱的侧面是边长为的正方形，面面，，，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）在线段上是否存在一点，使二面角为，若存在，求的长；若不存在，说明理由.
19．如图，在直三棱柱中，，
（1）求证：；
（2）求直线和所成角的大小；
（3）求直线和平面所成角的大小.
20．如图，已知三棱锥中，平面，，M、E分别为、的中点，N为的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值．
21．如图，三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，侧面为菱形，且平面平面，，为棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
22．在如图所示的几何体中，四边形为正方形，平面，，，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，确定点的位置；如果不存在，说明理由.
23．在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，平面平面ABCD，为等腰直角三角形，，AB=2.
（1）求证：平面平面PAC；
（2）设E为CD的中点，求二面角C-PB-E的余弦值.
24．已知长方体中，，，E为的中点.
（1）证明平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
25．如图，四边形为菱形，，四边形为矩形，平面平面，点在上，.
（1）证明：平面；
（2）若与平面所成角为60°，求二面角的余弦值.
26．如图，在边长为8的菱形中，，将沿折起，使点到达的位置，且二面角为60°.
（1）求证：；
（2）若点E为中点，求直线BE与平面所成角的正弦值.
27．如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点.
（1）求证：平面⊥平面；
（2）求平面与平面所成的锐二面角（是指不超过的角）的余弦值.
28．中，，，E，F分别是边，上的点，且，于H，，将沿折起，点A到达，此时满足面面．
（1）若，求直线与面所成角大小；
（2）若E，F分别为，中点，求锐二面角的余弦值；
（3）在（2）的条件下，求点B到面的距离．
29．如图，在梯形中，，，平面，四边形为矩形，点为线段的中点，且，.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
30．如图，四棱锥的底面为正方形，侧面底面．为等腰直角三角形，且．，分别为底边和侧棱的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
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