新高考数学培优专练35 利用二项分布期望方差公式求解期望方差

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专题35 利用二项分布期望方差公式求解期望方差
一、单选题
1．在一个箱子中装有大小形状完全相同的有4个白球和3个黑球，现从中有放回地摸取5次，每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为X，黑球个数Y，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
有放回地摸出一个球，它是白球的概率是，它是黑球的概率是，因此，，由二项分布的均值与方差公式计算后可得结论．
【详解】
有放回地摸出一个球，它是白球的概率是，它是黑球的概率是，因此，，
∴，，
，．
故选：C
【点睛】
结论点睛：本题考查二项分布，掌握二项分布的概念是解题关键．变量，则，．
2．已知随机变量X服从二项分布，即，且，，则二项分布的参数n，p的值为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】
利用离散型随机变量的期望与方差公式，转化求解即可.
【详解】
解：随机变量X服从二项分布，即，且，，
可得，，解得，，
故选：D.
【点睛】
此题考查离散型随机变量的期望与方差公式的应用，考查二项分布的性质，属于基础题
3．若随机变量服从二项分布，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用公式即可.
【详解】
随机变量服从二项分布

故选：D.
【点睛】
本题考查二项分布的方差，牢记常用的结论和公式有利于快速解题.
4．若随机变量服从二项分布，则的期望（ ）
A．0.6 B．3.6 C．2.16 D．0.216
【答案】B
【分析】
随机变量服从二项分布，则.
【详解】
解：服从二项分布，，
故选：B.
【点睛】
考查求二项分布的期望，基础题.
5．若随机变量，且，则（ ）
A．64 B．128 C．36 D．32
【答案】C
【分析】
根据二项分布期望的计算公式列方程，由此求得的值，进而求得方差，然后利用方差的公式，求得的值.
【详解】
随机变量，且，
所以，所以，
，
.
故选：C.
【点睛】
本小题主要考查二项分布期望和方差计算公式，属于基础题.
6．一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
利用小虫等概率地向前或向后爬行，可知随机变量，且向前或向后爬行1个单位的概率均为，结合二项分布公式求概率，根据、即可判断各选项的正误；
【详解】
由题意知：设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均为，
∴爬行次后小虫一共向前爬行次，则向后爬行次，有；故，则：
1、，，故A、B正确；
2、，，即，有，故C错误；
3、，即，有，故D正确；
故选：C
【点睛】
本题考查了利用二项分布公式求概率，及求随机变量的期望、方差，进而判断选项正误；
7．某同学参加学校篮球选修课的期末考试，老师规定每个同学罚篮20次，每罚进一球得5分，不进记0分，已知该同学罚球命中率为60%，则该同学得分的数学期望和方差分别为（ ）.
A．60，24 B．80，120 C．80，24 D．60，120
【答案】D
【分析】
根据二项分布的期望和方差的计算公式进行计算，由此判断出正确选项.
【详解】
设该同学次罚篮，命中次数为，则，
所以，，
所以该同学得分的期望为，
方差为.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查二项分布的期望和方差的计算，属于基础题.
8．已知随机变量，若，，则（ ）
A．54 B．9 C．18 D．27
【答案】A
【分析】
根据随机变量，，，由求解.
【详解】
因为随机变量，，，
所以，解得，
所以．
故选：A
【点睛】
本题主要考查随机变量的期望和方差，属于基础题.
9．已知随机变量服从二项分布，且，则（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
【答案】C
【分析】
先由和二项分布的期望计算公式求得，再根据二项分布方差计算公式，可得选项.
【详解】
因为，所以，故．
故选：C.
【点睛】
本题考查二项分布的期望和方差的计算公式，属于基础题.
10．为响应国家“足球进校园”的号召，某校成立了足球队，假设在一次训练中，队员甲有10次的射门机会，且他每次射门踢进球的概率均为0.6，每次射门的结果相互独立，则他最有可能踢进球的个数是（ ）
A．5 B．6
C．7 D．8
【答案】B
【分析】
由题意知踢进球的个数，然后由二项分布的期望公式求解.
【详解】
因为他每次射门踢进球的概率均为0.6，射门10次，每次射门的结果相互独立，
所以踢进球的个数
所以他最有可能踢进球的个数是，
故选：B
【点睛】
本题主要考查二项分布的期望的求法，属于基础题.

二、多选题
11．下列判断正确的是（ ）
A．若随机变量服从正态分布，，则
B．已知直线平面，直线平面，则“”是“”的必要不充分条件
C．若随机变量服从二项分布：，则
D．是的充分不必要条件
【答案】ACD
【分析】
根据正态分布的对称性可判断选项A；由线面垂直可以得线线垂直，， ，与位置关系不确定，无法得到，可判断选项B；根据二项分布均值公式求解可判断选项C；由可得到，但反之不成立，可判断选项D.
【详解】
对于A ：随机变量服从正态分布，所以正态密度曲线关于直线对称，又因为，所以，所以，故选项A正确；
对于B：若， ，则，又因为，所以，若，当时，与位置关系不确定，所以无法得到，所以“”是“”的充分不必要条件，故选项B不正确；
对于C：因为随机变量服从二项分布，所以，故选项C正确；
对于D：由可得到，但，时得不到，故选项D正确.
故选：ACD
【点睛】
本题考查正态分布的概率，二项分布的期望，线面之间的关系，不等式的性质，属于中档题.

三、解答题
12．某单位在2020年8月8日“全民健身日”举行了一场趣味运动会，其中一个项目为投篮游戏．游戏的规则如下：每个参与者投篮3次，若投中的次数多于未投中的次数，得3分，否则得1分．已知甲投篮的命中率为，且每次投篮的结果相互独立．
（1）求甲在一次游戏中投篮命中次数的分布列与期望；
（2）若参与者连续玩次投篮游戏获得的分数的平均值不小于2，即可获得一份大奖．现有和两种选择，要想获奖概率最大，甲应该如何选择？请说明理由．
【答案】（1）分布列见解析，；（2）甲选择玩10次投篮游戏的获奖概率最大．理由见解析.
【分析】
（1）由题意得3次投篮命中的次数再根据二项分布求的分布列和期望；（2）首先分布计算当和时，计算得3分的次数，再根据二项分布求概率，比较大小.
【详解】
（1）由题意知．
则，
，
，
，
所以的分布列为

0
1
2
3





．
（2）由（1）可知在一次游戏中，甲得3分的概率为，得1分的概率为．
若选择，此时要能获得奖品，则需10次游戏的总得分不小于20．
设10次游戏中，得3分的次数为，则，即．
易知，故此时获奖的概率．
若选择，此时要能获得奖品，则需15次游戏的总得分不小于30．
设15次游戏中，得3分的次数为，则，，又，所以．
易知，故此时获奖的概率．
因为，所以甲选择玩10次投篮游戏的获奖概率最大．
【点睛】
方法点睛：求解二项分布问题的“四关”：一是“判断关”，即判断离散型随机变量是否服从二项分布；二是“公式关”，即利用，求出取各个值时的概率；三是“分布列关”，列出表格，得离散型随机变量的分布列；四是“结论关”，分别利用公式，求期望、方差．
13．近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2016年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.
（1）完成下面列联表，并通过计算说明是否可以在犯错误概率不超0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？

对商品好评
对商品非好评
合计
对服务好评



对服务非好评



合计



参考数据及公式如下：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(，其中)
（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量：
①求对商品和服务全好评的次数的分布列(概率用组合数算式表示)；
②求的数学期望和方差.
【答案】（1）列联表见解析，可以在犯错误概率不超0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关；（2）①分布列见解析；②，.
【分析】
（1）根据题中数据即可完善列联表，计算出卡方值，和10.828比较，即可判断；
（2）①可得X的取值可以是0，1，2，3，4，5，且，计算出取不同值的概率，即可得出分布列；
②利用期望和方差公式即可求出.
【详解】
（1）由题可得列联表如下：

对商品好评
对商品非好评
合计
对服务好评
80
70
150
对服务非好评
40
10
50
合计
120
80
200
所以，
所以可以在犯错误概率不超0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关；
（2）①每次购物时，对商品和服务全好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5，
则，，，
，，，
则分布列如下：

0
1
2
3
4
5







②，
，.
【点睛】
关键点睛：本题考查分布列的求解，解题的关键是判断出变量服从二项分布，知道二项分布的概率求法以及期望方差公式.
14．中国华为手机的芯片均从台积电､联发科､高通三个外国公司进口，设其进口数量的频率如图.

（1）若用分层抽样的方法从库存的芯片中取枚芯片，属于台积电的芯片有几枚？
（2）在（1）的条件下，从取出的枚芯片中任取枚，设这枚中属于台积电的芯片数为，求的分布列和数学期望；
（3）在华为公司海量库存中任取枚芯片，其中属于台积电的芯片数为，求的数学期望.
【答案】（1）芯片有5枚；（2）分布列答案见解析，数学期望：；（3）.
【分析】
（1）根据频率分布图求解即可；
（2）根据超几何分布模型，写出随机变量的分布列，并求出期望值；
（3）根据二项分布性质求解即可.
【详解】
解：（1）用分层抽样的方法从库存的芯片中取枚芯片，属于台积电的芯片有枚，
有，得，即用分层抽样的方法从库存的芯片中取枚芯片，属于台积电的芯片有5枚；
（2）在（1）的条件下，的可能取值为，且的分布列符合超几何分布,
，，
，，
所以所求分布列为：

0
1
2
3





所以；
（3）抽取1枚芯片，属于台积电的概率为，且海量库存中任取枚芯片，其中属于台积电的芯片数为，则服从二项分布，所以.
【点睛】
本题主要考查超几何分布与二项分布，掌握两种分布的特点及区别是关键，难度一般.一般地，若，则，.
15．疫情过后，为促进居民消费，某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到500元则可参加一轮抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案.在一个不透明的盒子中装有6个质地均匀且大小相同的小球，其中2个红球，4个白球，搅拌均匀.
方案一：顾客从盒子中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得50元的返金券，若抽到白球则获得30元的返金券，可以有放回地抽取3次，最终获得的返金券金额累加.
方案二：顾客从盒子中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得100元的返金券，若抽到白球则不获得返金券，可以有放回地抽取3次，最终获得的返金券金额累加.
（1）方案一中，设顾客抽取3次后最终可能获得的返金券的金额为X，求X的分布列；
（2）若某顾客获得抽奖机会，试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望，并以此判断应该选择哪种抽奖方案更合适.
【答案】（1）答案见解析；（2）方案一数学期望为（元），方案二数学期望为100（元）；方案一.
【分析】
（1）先由题意，得到方案一和方案二中单次抽到红球的概率为，抽到白球的概率为，确定X的可能取值，再分别求出对应的概率，即可得出分布列；
（2）先由（1）得出选择方案一时最终获得返金券金额的数学期望；选择方案二时，设摸到红球的次数为Y，最终可能获得返金券金额为Z元，根据题意，得到，求出对应的期望，比较大小，即可得出结果.
【详解】
（1）由题意易知，方案一和方案二中单次抽到红球的概率为，抽到白球的概率为，
依题意，X的取值可能为90，110，130，150.
且，
，
其分布列为
X
90
110
130
150
p




（2）由（1）知选择方案一时最终获得返金券金额的数学期望为
（元），
选择方案二时，设摸到红球的次数为Y，最终可能获得返金券金额为Z元，
由题意可知，，得

由可知，该顾客应该选择方案一抽奖.
【点睛】
思路点睛：
求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）.
16．某校随机调查了80位学生，以研究学生中爱好羽毛球运动与性别的关系，得到下面的数据表：

爱好
不爱好
合计
男
20
30
50
女
10
20
30
合计
30
50
80
（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查了本校的3名学生、设这3人中爱好羽毛球运动的人数为，求的分布列和期望值：
（2）根据表中数据，能否有充分证据判定爱好羽毛球运动与性别有关联？若有，有多大把握？
附：

0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】（1）分布列详见解析；期望为（人）；（2）没有.
【分析】
（1）的可能取值为，随机变量服从二项分布，运用独立重复实验公式求出概率后列出分布列，运用二项分布求出期望；
（2）根据列联表，利用公式计算出临界值，与临界值表进行比较，即可得出结论.
【详解】
（1）的可能取值为，随机变量服从二项分布，
任一学生爱好羽毛球运动的概率为，故
，，
，，
的分布列为

0
1
2
3





（人）
（2），
故没有充分证据判定爱好羽毛球运动与性别有关联.
【点睛】
本题考查二项分布的应用以及独立重复实验解决实际问题，独立性检验计算出临界值与临界值表进行比较解决实际问题.

17．网上订外卖已经成为人们日常生活中不可或缺的一部分. M外卖平台（以下简称M外卖）为了解其在全国各城市的业务发展情况，随机抽取了100个城市，调查了M外卖在今年2月份的订单情况，并制成如下频率分布表.
订单：（单位：万件）




频率
0.04
0.06
0.10
0.10
订单：（单位：万件）





频率
0.30
0.20
0.10
0.08
0.02
（1）由频率分布表可以认为，今年2月份M外卖在全国各城市的订单数（单位：万件）近似地服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表），为样本标准差，它的值已求出，约为3.64，现把频率视为概率，解决下列问题：
①从全国各城市中随机抽取6个城市，记今年2月份M外卖订单数Z在区间内的城市数为，求的数学期望（取整数）；
②M外卖决定在该月订单数低于7万件的城市开展“订外卖，抢红包”的营销活动来提升业绩，据统计，开展此活动后城市每月外卖订单数将提高到平均每月9万件的水平，现从全国2月订单数不超过7万件的城市中采用分层抽样的方法选出100个城市开展营销活动，若每接一件外卖订单平均可获纯利润5元，但每件外卖订单平均需送出红包2元，则M外卖在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利多少万元？
（2）现从全国开展M外卖业务的所有城市中随机抽取100个城市，若抽到K个城市的M外卖订单数在区间内的可能性最大，试求整数k的值.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.
【答案】（1）①；②万元；（2）.
【分析】
（1）①先由频率分布表求出样本平均数，得到，求出，再由题意，得到，根据二项分布的期望公式，即可得出结果；
②根据分层抽样，分别得出订单数在区间和的城市数，计算出不开展营销活动所得利润，以及开展营销活动所得利润，即可得出结果；
（2）根据题意，由正态分布，先求出随机抽取1个城市的外卖订单数在区间内的概率为，得到抽到K个城市的M外卖订单数在区间内的概率为，为使其最大，列出不等式组求解，即可得出结果.
【详解】
（1）①由频率分布表可得，样本平均数为
，
所以，
因此
，
由题意，可得，所以的数学期望为；
②由分层抽样知，这100个城市中每月订单数在区间内的有个，
则每月订单数在区间内的有个，
若不开展营销活动，则一个月的利润为（万元），
若开展营销活动，则一个月的利润为（万元），
因此M外卖在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利万元；
（2）因为
，
即随机抽取1个城市的外卖订单数在区间内的概率为，
则从全国开展M外卖业务的所有城市中随机抽取100个城市，抽到K个城市的M外卖订单数在区间内的概率为，
为使若抽到K个城市的M外卖订单数在区间内的可能性最大，
只需，
即，即，解得，
则，
又为整数，所以.
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查正态分布求指定区间的概率，考查由二项分布的概率计算公式求概率的最值，解题关键在于熟记正态分布的对称性，二项分布的概念以及二项分布的概率计算公式，考查学生的计算能力，属于中档题.
18．某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n名学生进行调查，将调查得到的学生日均课余读书时间分成，，，，，六组，绘制成如图所示的频率分布直方图，将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人.

（1）求p和n的值；
（2）根据已知条件和下面表中两个数据完成下面的列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关？

非读书之星
读书之星
总计
男



女

10
55
总计



（3）将本次调查所得到有关事件发生的频率视为其发生的概率，现从该地区大量学生中.随机抽取20名学生参加读书与文学素养的研讨会，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量X，求X的数学期望.
附：，其中.

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】（1），；（2）填表见解析；没有；（3）人.
【分析】
（1）由频率和为1可求出的值，再由抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人可求出的值；
（2）由题意完成列联表，利用公式求出，再结临界值表进行判断即可；
（3）将频率视为概率，即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为，由题意可知，从而可求出
【详解】
（1），解得：，
所以.
（2）因为，所以“读书之星”有，
从而列联表如下图所示：

非读书之星
读书之星
总计
男
30
15
45
女
45
10
55
总计
75
25
100
将列联表中的数据代入公式计算得，
因为，所以没有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关.
（3）将频率视为概率，即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为.
由题意可知，所以（人）.
【点睛】
此题考查频率分布直方图，考查频率的求法，考查离散型数学期望的求法，考查二项分布，考查分析问题的能力，属于中档题

19．《开讲啦》是中国首档青年电视公开课，节目邀请“中国青年心中的榜样”作为演讲嘉宾，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养.为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台分别在､两个地区调在了45和55共100名观众，得到如下的列联表：

非常满意
满意
合计

30

45



55
合计


100
已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众是“非常满意”的观众的概率为0.65.
（1）完成上述表格，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为观众的满意程度与所在地区有关系？
（2）若以抽样调查的频率作为概率，从地区所有观众中随机抽取3人，设抽到的观众“非常满意”的人数为，求的分布列和数学期望.
附表：

0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
其中随机变量.
【答案】（1）表格答案详见解析，在犯错误的概率不超过0.1的前提下不能认为观众的满意程度与所在地区有区别；（2）分布列答案详见解析，数学期望.
【分析】
（1）根据已知完善列联表，计算出的值，由此判断在犯错误的概率不超过0.1的前提下不能认为观众的满意程度与所在地区有区别.
（2）设抽到的观众“非常满意”的人数为，服从二项分布，由此能求出的分布列和数学期望.
【详解】
（1）依题意得列联表为：

非常满意
满意
合计

30
15
45

35
20
55
合计
65
35
100
，
所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下不能认为观众的满意程度与所在地区有区别.
（2）从地区随机抽取1人，抽到的观众“非常满意”的概率为，
随机抽取3人，的可能取值为0，1，2，3，，
，
，
，
，
的分布列为：

0
1
2
3





.
【点睛】
本题考查了独立性检验的应用，用频率估计概率，考查概率的求法及应用，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
20．某几位大学生自主创办了一个服务公司提供两种民生消费产品(人们购买时每次只买其中一种)服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买的概率为，购买的概率为.第一次购买产品的人第二次购买产品的概率为，购买产品的概率为.第一次购买产品的人第二次购买产品的概率为，购买产品的概率也是.
（1）求某人第二次来，购买的是产品的概率；
（2）记第二次来公司购买产品的个人中有个人购买产品，求的分布列并求
【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：.
【分析】
（1）根据题中条件，由相互独立事件的概率计算公式，即可求出结果；
（2）根据题中条件，得到，分别求出取不同值时，对应的概率，即可得出分布列，由二项分布的期望计算公式，即可求出结果.
【详解】
（1）依题意可得：某人第二次来购买的是产品的概率
（2）依题意可得：
；；
；；
分布列如下表：










.
【点睛】
本题主要考查求相互独立事件的概率，考查求二项分布的分布列及期望，属于常考题型.
21．某中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，才能取得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，（见下表），且每一门课程是否合格相互独立，
课 程
初等代数
初等几何
初等数论
微积分初步
合格的概率




（1）求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；
（2）记表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求的分布列（只需列式无需计算）及期望.
【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，期望为.
【分析】
（1） 分别记甲对这四门课程考试合格为事件，则“甲能修得该课程学分”的概率为，由独立事件的概率公式可计算出概率．
（2）由（1）知每个人获得复赛资格的概率是，的取值依次为，～，由二项分布概率公式计算了概率得分布列，再由二项分布的期望公式计算出期望．
【详解】
（1） 分别记甲对这四门课程考试合格为事件，则“甲能修得该课程学分”的概率为，事件相互独立，

(2)， ，
，
因此，的分布列如下：










因为～
所以
【点睛】
本题考查相互独立事件同时发生的概率公式，随机变量的概率分布列和数学期望，考查二项分布．旨在考查学生的数据处理能力，运算求解能力．
22．华为手机的“麒麟970”芯片在华为处理器排行榜中最高主频2.4GHz，同时它的线程结构也做了很大的改善，整个性能及效率至少提升了50%，科研人员曾就是否需采用西门子制程这一工艺标准进行了反复比较，在一次实验中，工作人员对生产出的50片芯片进行研究，结果发现使用了该工艺的30片芯片有28片线程结构有很大的改善，没有使用该工艺的20片芯片中有12片线程结构有很大的改善.
（1）用列联表判断：这次实验是否有99.5%的把握认为“麒麟970”芯片的线程结构有很大的改善与使用西门子制程这一工艺标准有关？
（2）在“麒麟970”芯片的线程结构有很大的改善后，接下来的生产制作还需对芯片的晶圆依次进行金属溅镀，涂布光阻，蚀刻技术，光阻去除这四个环节的精密操作，进而得到多晶的晶圆，生产出来的多晶的晶圆经过严格的质检，确定合格后才能进入下一个流程.如果生产出来的多晶的晶圆在质检中不合格，那么必须依次对前四个环节进行技术检测并对所有的出错环节进行修复才能成为合格品.在实验的初期，由于技术的不成熟，生产制作的多晶的晶圆很难达到理想状态，研究人员根据以往的数据与经验得知在实验生产多晶的晶圆的过程中，前三个环节每个环节生产正常的概率为，每个环节出错需要修复的费用均为200元，第四环节生产正常的概率为，此环节出错需要修复的费用为100元，问：一次试验生产出来的多晶的晶圆要成为合格品大约还需要消耗多少元费用？（假设质检与检测过程不产生费用）
参考公式：，.
参考数据：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001

2.072
2.076
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】（1）列联表见解析，有99.5%的把握；（2）225元.
【分析】
（1）根据表中数据，列出列联表，计算出观测值，再利用独立性检验的基本思想即可求解.
（2）计算出X的可能取值为，再根据二项分布求出概率，列出X分布列，求出数学期望，即可.
【详解】
（1）由题意列联表为：

使用工艺
不使用工艺
合计
合格
28
12
40
不合格
2
8
10
合计
30
20
50

故，
故有99.5%的把握认为“麒麟970”芯片的线性结构有很大的改善与使用西门子制程这一工艺技术有关.
（2）设表示检测到第i个环节有问题（，2，3，4），X表示成为一个合格的多晶的晶圆需消耗的费用，则X的可能取值为：0，100，200，300，400，500，600，700，
表明四个环节均正常，
表明第四环节有问题，
表明前三环节有一环节有问题，
表明前三环节有一环节及第四环节有问题，
表明前三环节有两环节有问题，
表明前三环节有两环节及第四环节有问题，
表明前三环节有问题
表明四个环节均有问题.
费用X分布列为：
X
0
100
200
300
400
500
600
700
P









故
（元），
故大约需要耗费225元.
【点睛】
本题考查了列联表、独立性检验的基本思想、数学期望，考查了考生的分析能力、计算能力，属于基础题.


23．为提升销量，某电商在其网店首页设置了一个“勇闯关，贏红包”的游戏小程序，其游戏规则如下：在网页上设置三个翻牌关卡，每个关卡翻牌结果只有两种：Pass（通过）与Fail（失败），若买家通过这三关，则认为闯关成功；若三关均未通过或只通过三关中的一关，则游戏失败；若三关中恰好通过两关，则允许参加复活环节．复活环节有两个翻牌关卡，若两关均通过，也认为闯关成功，否则认为闯关失败．假定买家每一关通过的概率均为，且各关卡之间是否通过相互独立．
（1）求某买家参加这个游戏闯关成功的概率；
（2）若闯关成功，则买家可赢得50元的购物红包．若闯关失败．则可获得10元红包，红包均可直抵在该网店购物的货款．某日有8100人参与了游戏且均在该网店消费．
（ⅰ）求该日所有买家所获红包总金额的数学期望：
（ⅱ）假定该电商能从未中奖的买家的购物中平均获利8元/人，从中奖的买家的购物中平均获利120元/人（均不含所发红包在内）．试从数学期望的角度判断该电商这一日通过游戏搞促销活动是否合算，并说明理由.
【答案】（1）；（2）（ⅰ）101000元；（ⅱ）合算，理由见解析.
【分析】
（1）分买家通过三关和买家参加复活环节并闯关成功分别求出概率并求和.
（2）（ⅰ）由（1）可知，一名买家闯关成功的概率，则，而，可求出答案.
(ii) 设电商该日剔除红包款后盈利元，则，可得出答案.
【详解】
解：（1）买家通过三关的概率为，
买家参加复活环节并闯关成功的概率为，
所以买家闯关成功的概率．
（2）（ⅰ）由（1）可知，一名买家闯关成功的概率，
设这8100名买家中闯关成功的人数为，
则，
且，
所以的数学期望为，
所以该日所有买家所获红包总金额的数学期望为
元．
（ⅱ）设电商该日剔除红包款后盈利元，
则元，
由此可见，该电商该日通过游戏搞促销活动盈利较多，很合算．
【点睛】
本题考查独立事件的概率，考查二项分布的期望，和利用期望分析实际问题，属于中档题.
24．《最强大脑》是大型科学竞技类真人秀节目，是专注传播脑科学知识和脑力竞技的节目．某机构为了了解学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关，对某高中200名学生进行了问卷调查，得到如下2×2列联表：

喜欢《最强大脑》
不喜欢《最强大脑》
合计
男生
70


女生

30

合计




已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢《最强大脑》的概率为0.6．
（1）判断是否有90%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关？
（2）从上述不喜欢《最强大脑》的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人调查其喜欢的节目类型，用表示3人中女生的人数，求的分布列及数学期望.
参考公式及数据：
P (K2 ≥ k0)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
k0
0.46
0.71
1.32
2.07
2.71
3.84
5.024
6.635
7.879
10.828

【答案】（1）没有90%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关；（2）分布列见解析，.
【分析】
（1）由200×0.6=120以及表中数据即可完善列联表，计算观测值，再利用独立性检验的基本思想即可求解.
（2）根据分层抽样的抽样比可得随机变量的取值可能为0，1，2，3，再根据二项分布求出概率，得到的分布列，再利用数学期望的计算公式即可求解.
【详解】
（1）由200×0.6=120及已知数据知满足题意的2×2列联表如下表所示：

喜欢《最强大脑》
不喜欢《最强大脑》
合计
男生
70
50
120
女生
50
30
80
合计
120
80
200

由列联表中数据，得到.
因此没有90%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关；
（2）由题意知，从不喜欢《最强大脑》的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，其中女生有3人，男生有5人，随机变量的取值可能为0，1，2，3，
，，
，.
的分布列为
X
0
1
2
3
P





.
【点睛】
本题考查了独立性检验的基本思想、二项分布以及数学期望，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

25．为抗击“新冠肺炎”，全国各地“停课不停学”，各学校都开展了在线课堂，组织学生在线学习，并自主安排时间完成相应作业为了解学生的学习效率，某在线教育平台统计了部分高三备考学生每天完成数学作业所需的平均时间，绘制了如图所示的频率分布直方图.

（1）如果学生在完成在线课程后每天平均自主学习时间（完成各科作业及其他自主学习）为5小时，估计高三备考学生每天完成数学作业的平均时间占自主学习时间的比例（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（结果精确到0.01）；
（2）为了进一步了解学生的学习效率，平台随机选择100位高三备考学生进行一次测试，记选择的学生中每天完成数学作业的时间不超过45分钟的人数为，以统计的频率作为概率，求的期望.
【答案】（1）0.18（2）28
【分析】
（1）由频率分布直方图计算出高三备考学生每天完成数学作业的平均时间的平均值，即可得解；
（2）由题意可知，利用二项分布期望的公式即可直接得解.
【详解】
（1）高三备考学生每天完成数学作业的平均时间的平均值的估计值为
，
所以完成数学作业的平均时间占自主学习时间的比例估计值为.
（2）以统计的频率作为概率，每个高三备考学生每天完成数学作业的时间不超过45分钟的概率为0.28，所以，得.
【点睛】
本题考查了利用频率分布直方图求平均数，考查了二项分布期望的求解，属于中档题.
26．在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，大于等于分的选手将直接参加竞赛选拔赛.已知成绩合格的名参赛选手成绩的频率分布直方图如图所示，其中的频率构成等比数列.

（1）求的值；
（2）估计这名参赛选手的平均成绩；
（3）根据已有的经验，参加竞赛选拔赛的选手能够进入正式竞赛比赛的概率为，假设每名选手能否通过竞赛选拔赛相互独立，现有名选手进入竞赛选拔赛，记这名选手在竞赛选拔赛中通过的人数为随机变量，求的分布列和数学期望.
【答案】(1) ；(2)84；(3)分布列见解析，1.
【分析】
(1)利用频率分布直方图的性质列式求解即可.
(2) 利用频率分布直方图求平均数的方法求解即可.
(3)易得随机变量满足二项分布,再根据二项分布的分布列与数学期望求解即可.
【详解】
解:(1)由题意,得
解得
(2)估计这名选手的平均成绩为.
(3)由题意知,,
则可能取值为,
所以
所以的分布列为















故的数学期望为.
【点睛】
本题主要考查了频率分布直方图的运用与二项分布的分布列与数学期望,属于中等题型.
27．2020年全球暴发新冠肺炎疫情，其最大特点是人传人，传播快，病亡率高．通过佩戴口罩可以有效地降低病毒传染率．在某高风险地区，公共场合未戴口罩被感染的概率是，戴口罩被感染的概率是，现有在公共场合活动的甲、乙、丙、丁、戊5个人，每个人是否被感染相互独立．
（1）若他们都未戴口罩，求其中恰有3人被感染的概率．
（2）若他们中有3人戴口罩，设5人中被感染的人数为，求：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
附：对于两个随机变量、，有．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ），（ⅱ）．
【分析】
（1）利用事件恰好发生k次的的概率公式可得答案；
（2）分情况计算当被感染的两人都未戴口罩、只有一人戴口罩、都戴口罩的概率，再根据互斥事件概率加法公式求得；分别求戴口罩的3人被感染的人数、未戴口罩的2人被感染的人数的期望可得答案.
【详解】
（1）若他们都未戴口罩，则恰有3人被感染的概率是
．
（2）（ⅰ）当被感染的两人都未戴口罩时，；
当被感染的两人中，只有一人戴口罩时，；
当被感染的两人都戴口罩时，．
所以．
（ⅱ）设戴口罩的3人被感染的人数为，则，
设未戴口罩的2人被感染的人数为则，
所以．
【点睛】
本题考查二项分布、互斥事件的概率计算公式，概率的实际应用．
28．顺义某商场举行有奖促销活动，顾客购买满一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有8个红球、4个黑球的甲箱和装有6个红球、6个黑球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖，若没有红球，则不获奖.
（Ⅰ）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（Ⅱ）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见解析，1.
【分析】
（Ⅰ）记“甲箱中摸出红球”为事件A，“乙箱中摸出红球”为事件B，利用古典概型的概率求法求得和，然后由相互独立事件的概率分都是红球和只有1个红球两种情况讨论求解.
（Ⅱ）先求出“在一次抽奖中，获得一等奖的概率”，由随机变量，X的所有可能取值为0，1，2，3，然后分别求得其相应的概率，列出分布列再利用数学期望公式求解..
【详解】
（Ⅰ）记“甲箱中摸出红球”为事件A，“乙箱中摸出红球”为事件B，
则，
根据题意，摸出的2个球中，都是红球或只有1个红球，
所以顾客抽奖1次能获奖的概率为.
（Ⅱ）在一次抽奖中，获得一等奖的概率为，
随机变量，X的所有可能取值为0，1，2，3，
，，
，.
∴X的分布列为

数学期望.
【点睛】
本题主要考查独立事件的概率和离散型随机变量的分布列，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
29．高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展，据统计，在2018年这一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次．为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本．得到下表(单位：人次)：

（1）在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率；
（2）在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X．以频率作为概率．求X的分布列和数学期望；
（3）如果甲将要从A市出发到B市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是 飞机？并说明理由.
【答案】（1）（2）见解析（3）乘坐高铁，见解析
【分析】
（1）根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；
（2）依题意可知服从二项分布，先计算出随机选取1人次，此人为老年人概率是，所以，即，即可求出的分布列和数学期望；
（3）可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机．
【详解】
（1）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为，
由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，
所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率；
（2）由题意，的所有可能取值为：0，1，2，
因为在2018年从市到市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人
为老年人概率是，
所以，
，
，
所以随机变量的分布列为：

0
1
2





故；
（3）从满意度的均值来分析问题如下：
由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：，
乘坐飞机的人满意度均值为：，
因为，
所以建议甲乘坐高铁从市到市．
【点睛】
本题主要考查分层抽样的应用、古典概型的概率计算、以及离散型随机变量的分布列和期望的计算，解题关键是对题意的理解，概率模型的判断，属于中档题．
30．在我国抗疫期间，素有“南抖音，北快手”之说的小视频除了给人们带来生活中的快乐外，更在于传递了一种正能量，为抗疫起到了积极的作用，但一个优秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，某同学学习利用“快影”软件将已拍摄的素材进行制作，每次制作分三个环节来进行，其中每个环节制作合格的概率分别为，，，只有当每个环节制作都合格才认为一次成功制作，该小视频视为合格作品.
（1）求该同学进行3次制作，恰有一次合格作品的概率；
（2）若该同学制作10次，其中合格作品数为，求的数学期望与方差；
（3）该同学掌握技术后制作的小视频被某广告公司看中，聘其为公司做广告宣传，决定试用一段时间，每天制作小视频(注：每天可提供素材制作个数至多40个)，其中前7天制作合格作品数与时间如下表：(第天用数字表示)
时间()
1
2
3
4
5
6
7
合格作品数()
3
4
3
4
7
6
8

其中合格作品数()与时间()具有线性相关关系，求关于的线性回归方程(精确到0.01)，并估算第14天能制作多少个合格作品(四舍五入取整)？
(参考公式，，参考数据：.)
【答案】（1）；（2），；（3），个.
【分析】
（1）根据题意可直接求出制作一次视频成功的概率，进而可以求出该同学进行三次制作，恰有一次合格作品的概率；
（2）首先判断出，从而可以利用二项分布的期望与方差公式直接求出随机变量的数学期望与方差；
（3）根据题干给出的公式直接计算 、 ，即可求出对应的回归方程，令，即可故算出第14天能制作13个合格作品.
【详解】
（1）由题意知：制作一次视频成功的概率为，
所以该同学进行3次制作，恰有一次合格作品的概率.
（2）根据题意可得：，
所以，，
（3）根据表格数据可计算出：
，，
所以 ，
所以，
所以关于的线性回归方程为，
令，得，
即估计第14天能制作13个合格作品.
【点睛】
本题主要考查了事件与概率、随机变量与分布列，及统计案例.