新高考数学培优专练36 利用正态分布的对称性求概率或参数值

专题36 利用正态分布的对称性求概率或参数值

一、多选题

1．给出下列命题，其中正确命题为（    ）

A．若回归直线的斜率估计值为，样本点中心为，则回归直线的方程为

B．随机变量，若，，则

C．随机变量服从正态分布，，则

D．对于独立性检验，随机变量的观测值值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大

2．若随机变量，，其中，下列等式成立有(    )

A． B．

C． D．

3．已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为，若使标准分X服从正态分布N，则下列说法正确的有(    ).

参考数据：①；②；③

A．这次考试标准分超过180分的约有450人

B．这次考试标准分在内的人数约为997

C．甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为

D．

4．下列判断正确的是（    ）

A．若随机变量服从正态分布，，则

B．已知直线平面，直线平面，则“”是“”的必要不充分条件

C．若随机变量服从二项分布：，则

D．是的充分不必要条件

5．下列说法中正确的是（    ）

A．设随机变量X服从二项分布，则

B．已知随机变量X服从正态分布且，则

C．；

D．已知随机变量满足，，若，则随着x的增大而减小，随着x的增大而增大

6．下列说法正确的有（    ）

A．已知随机变量服从正态分布，若，则

B．设随机变量服从正态分布，若，则

C．设随机变量，则等于

D．某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为

二、单选题

7．下列说法正确的是（    ）

A．命题“，”的否定形式是“，”

B．若平面，，，满足，则

C．随机变量服从正态分布（），若，则

D．设是实数，“”是“”的充分不必要条件

8．若随机变量服从正态分布，则（    ）

A． B． C． D．

9．已知随机变量，，则（    ）

A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8

10．己知随机变量，若，则等于（    ）

A． B． C． D．

11．已知随机变量，若，则的值为（    ）

A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.6

12．已知随机变量服从正态分布，若，则（    ）

A． B． C． D．

13．已知随机变量，且，则（    ）

A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5

14．设随机变量，若，则（    ）

A． B． C． D．

15．已知，若，则（    ）

A． B．0 C．1 D．2

16．设随机变量，且，则实数的值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

17．设随机变量，函数有零点的概率是0.5，则等于（    ）

A．1 B．2 C．3 D．不确定

18．新型冠状病毒肺炎的潜伏期X（单位：日）近似服从正态分布：，若，则可以估计潜伏期大于等于11天的概率为（    ）

A．0.372 B．0.256 C．0.128 D．0.744

19．2019年1月28日至2月3日（腊月廿三至腊月廿九）我国迎来春运节前客流高峰，据统计，某区火车站在此期间每日接送旅客人数X（单位：万）近似服从正态分布，则估计在此期间，至少有5天该车站日接送旅客超过10万人次的概率为（    ）

A． B． C． D．

20．已知随机变量，若，则（    ）

A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.7

21．若随机变量，且，则等于（　　）

A． B． C． D．

22．设这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是(    )

A． B．

C． D．

23．红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的病毒感染风险.为防控新冠肺炎，某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，从已经生产出的测温门中随机取出一件，则其测量体温误差在区间内的概率为（    ）

（附：若随机变量服从正态分布，则，）

A． B． C． D．

24．某校在一次月考中共有800人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分．现已知同学甲的数学成绩为90分，学校排名为720，同学乙的数学成绩为120分，那么他的学校排名约为（    ）

A．60 B．70 C．80 D．90

25．已知随机变量服从正态分布，且，则（    ）

A．0.84 B．0.68 C．0.32 D．0.16

26．某校高二期末考试学生的数学成绩（满分150分）服从正态分布，且，则（    ）

A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1

27．已知随机变量服从正态分布，若，则（    ）

A． B． C． D．

28．已知随机变量服从正态分布，，（    ）

A． B． C． D．

29．某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩近似服从正态分布，且.该市某校有350人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于85分的人数为（    ）

A．140 B．105 C．70 D．35

30．已知某批零件的长度误差（单位：mm）服从正态分布，若，，现从中随机抽取一件，其长度误差落在区间内的概率（　　）

A． B． C． D．

31．已知随机变量，，那么的值为（    ）

A． B． C． D．

三、解答题

32．第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA-V200W ，已知这种球的质量指标ξ (单位:g )服从正态分布N (270， ).比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛(采取5局3胜制)，最后靠积分选出最后冠军积分规则如下:比赛中以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分;而在比赛中以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p(0<p<1).

（1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在(260，265]内的排球个数(计算结果取整数).

（2）第10轮比赛中，记中国队3:1取胜的概率为.

（i）求出f(p)的最大值点;

（ii）若以作为p的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为X，求X的分布列.

参考数据:ζ ~N(u，)，则p(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6826，p(μ-2σ<X <μ+2σ)≈0.9644.

33．从某市的一次高三模拟考试中，抽取3000名考生的数学成绩（单位：分），并按， ， ， ， ，分成7组，制成频率分布直方图，如图所示．

（Ⅰ）估计这3000名考生数学成绩的平均数和方差 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（Ⅱ）由直方图可认为该市考生数学成绩服从正态分布，其中，分别为（Ⅰ）估中的和方差，据此估计该市10000名考生中数学成绩不低于122分的人数（结果精确到整数）．附：．若，则．

34．共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚．某市有统计数据显示，2020年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示．若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁－39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”．已知在“经常使用单车用户”中有是“年轻人”．

（1）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列列联表，并根据列联表的独立性检验，判断是否有85%的把握认为经常使用共享单车与年龄有关？

使用共享单车情况与年龄列联表

（2）将（1）中频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量，求的分布列与期望．

参考数据：独立性检验界值表

其中，，

35．某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示：

（1）根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系？并指出是正相关还是负相关

（2）求特征量y关于x的回归方程，并预测当特征量x为12时特征量y的值；

（3）设特征量x满足，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，求.

附：参考公式：相关系数，，.

参考数据：，，，若，则，

36．网上订外卖已经成为人们日常生活中不可或缺的一部分. M外卖平台（以下简称M外卖）为了解其在全国各城市的业务发展情况，随机抽取了100个城市，调查了M外卖在今年2月份的订单情况，并制成如下频率分布表.

（1）由频率分布表可以认为，今年2月份M外卖在全国各城市的订单数（单位：万件）近似地服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表），为样本标准差，它的值已求出，约为3.64，现把频率视为概率，解决下列问题：

①从全国各城市中随机抽取6个城市，记今年2月份M外卖订单数Z在区间内的城市数为，求的数学期望（取整数）；

②M外卖决定在该月订单数低于7万件的城市开展“订外卖，抢红包”的营销活动来提升业绩，据统计，开展此活动后城市每月外卖订单数将提高到平均每月9万件的水平，现从全国2月订单数不超过7万件的城市中采用分层抽样的方法选出100个城市开展营销活动，若每接一件外卖订单平均可获纯利润5元，但每件外卖订单平均需送出红包2元，则M外卖在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利多少万元？

（2）现从全国开展M外卖业务的所有城市中随机抽取100个城市，若抽到K个城市的M外卖订单数在区间内的可能性最大，试求整数k的值.

参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.

37．近一段时间来，由于受非洲猪瘟的影响，各地猪肉价格普遍上涨，生猪供不应求.各大养猪场正面临巨大挑战.目前各项针对性政策措施对于生猪整体产量恢复、激发养殖户积极性的作用正在逐步显现.现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪，将其中重量（kg）在内的猪分为三个成长阶段如下表.

猪生长的三个阶段

根据以往经验，两个养猪场猪的体重X均近似服从正态分布.由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期猪的监控力度，高度重视成年期猪的质量保证，为了养出健康的成年活猪，甲、乙两养猪场引入两种不同的防控及养殖模式.已知甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为，.

（1）试估算甲养猪场三个阶段猪的数量；

（2）已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利600元，若为不合格的猪，则亏损100元；乙养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利500元，若为不合格的猪，则亏损200元.

（ⅰ）记Y为甲、乙养猪场各出售一头成年期猪所得的总利润，求随机变量Y的分布列；

（ⅱ）假设两养猪场均能把成年期猪售完，求两养猪场的总利润期望值.

（参考数据：若，，，）

38．某城市为疏导城市内的交通拥堵问题，现对城市中某条快速路进行限速，经智能交通管理服务系统观测计算，通过该快速路的所有车辆行驶速度近似服从正态分布，其中平均车速，标准差.通过分析，车速保持在之间，可令道路保持良好的行驶状况，故认为车速在之外的车辆需矫正速度（速度单位：）.

（1）从该快速路上观测到的车辆中任取一辆，估计该车辆需矫正速度的概率.

（2）某兴趣小组也对该快速路进行了观测，他们于某个时间段内随机对100辆车的速度进行取样，根据测量的数据列出上面的条形图.

①估计这100辆车的速度的中位数（同一区间中数据视为均匀分布）；

②若以该兴趣小组测得数据中的频率视为概率，从该快速路上的所有车辆中任取三辆，记其中不需要矫正速度的车辆数为速度X，求X的分布列和期望.

附：若，则；；.