广东省深圳市高级中学等九校2021-2022学年高三上学期11月联考数学试题

这是一份广东省深圳市高级中学等九校2021-2022学年高三上学期11月联考数学试题，共22页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年广东省深圳高级中学等九校联考高三（上）期中数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知z＝1﹣i（其中i为虚数单位），则z（+i）＝（　　）
A．﹣1+i B．3+i C．1﹣i D．3﹣i
2．设集合A＝{（x，y）|x+y＝6}，B＝{（x，y）|y＝x2}，则A∩B＝（　　）
A．{（2，4）} B．{（﹣3，9）}
C．{（2，4），（﹣3，9）} D．∅
3．已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．小华在学习绘画时，对古典装饰图案产生了浓厚的兴趣，拟以矢量图（也称为面向对象的图象或绘图图象，在数学上定义为一系列由线连接的点，是根据几何特性绘制的图形）的模式精细地素描以下古典装饰图案，经过研究，小华发现该图案可以看成是一个边长为4的等边三角形ABC，如图，上边中间莲花形的两端恰好都是AB边的四等分点（E、F点），则•＝（　　）

A．9 B．16 C．12 D．11
5．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）的部分图象如图所示，且经过点A（，），则（　　）

A．f（x）关于点（，0）对称 B．f（x）关于直线x＝对称
C．f（x+）为偶函数 D．f（x+）为奇函数
6．已知Sn为数列{an}的前n项和，a1＝﹣2，an+1＝Sn，那么a6＝（　　）
A．﹣64 B．﹣32 C．﹣16 D．﹣8
7．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点A是椭圆上位于x轴上方的一点，且|AF1|＝|F1F2|，则直线AF1的斜率为（　　）
A． B． C． D．1
8．已知a，b，c∈（0，1），且a2﹣2lna﹣1＝，b2﹣2lnb﹣1＝，c2﹣2lnc﹣1＝，则（　　）
A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．c＞a＞b
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入调查数据整理得到如图频率分布直方图，根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（　　）
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入的中位数约为7.5万元
C．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
D．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
10．设正实数x，y满足2x+y＝1，则（　　）
A．x∈（0，） B．xy的最大值为
C．x2+y2的最小值为 D．4x+2y的最小值为4
11．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为AB，AD，B1C1的中点，以下说法正确的是（　　）

A．三棱锥C﹣EFG的体积为2
B．A1C⊥平面EFG
C．异面直线EF与AG所成的角的余弦值为
D．过点E、F、G作正方体的截面，所得截面的面积是3
12．已知f（x）是周期为4的奇函数，且当0≤x≤2时，f（x）＝，设g（x）＝f（x）+f（x+1），则（　　）
A．g（2022）＝﹣1
B．函数y＝g（x）为周期函数
C．函数y＝g（x）的最大值为2
D．函数y＝g（x）的图象既有对称轴又有对称中心
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知多项式（x+1）3+（x﹣1）4＝x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，则a1＝　 　．
14．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，则a≥2b的概率为 　 　．
15．已知f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）＝lnx+x2，则曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程是 　 　．
16．某校学生在研究折纸实验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了．在理想情况下，对折次数n与纸的长边ω（cm）和厚度x（cm）有关系：n≤log2．现有一张长边为30cm，厚度为0.05cm的矩形纸，根据以上信息，当对折完4次时，的最小值为 　 　；该矩形纸最多能对折 　 　次．（参考数值：lg2≈0.3，lg3≈0.48．）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知{an}是等差数列，a1＝2，a2+a3+a4＝18．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn＝|（）﹣1000|，求数列{bn}的前15项和T15．
18．某工厂购买软件服务，有如下两种方案：
方案一：软件服务公司每日收取80元，对于提供的软件服务每次10元；
方案二：软件服务公司每日收取200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部
分的软件服务每次收费标准为20元．
（1）设日收费为y元，每天软件服务的次数为x，试写出两种方案中y与x的函数关系式；
（2）该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由.
19．在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，∠ADC＝，BC＝4．
（1）若△ABC的面积为2，求AC；
（2）若AD＝3，∠ACB＝∠ACD+，求tan∠ACD．

20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，M为AB的中点，N为B1C1的中点，P是BC1与B1C的交点．
（1）证明：A1C⊥BC1；
（2）在线段A1N上是否存在点Q，使得PQ∥平面A1CM？若存在，请确定Q的位置；若不存在，请说明理由．

21．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点P（1，y0）（y0＞0）到其焦点的距离为2．
（1）求点P的坐标及抛物线C的方程；
（2）若点M、N在抛物线C上，且kPM•kPN＝﹣，求证：直线MN过定点．
22．已知函数f（x）＝ax+lnx．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若x1，x2（x1＜x2）是f（x）的两个零点．证明：
（ⅰ）x1+x2＞﹣；
（ⅱ）x2﹣x1＞﹣．


参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知z＝1﹣i（其中i为虚数单位），则z（+i）＝（　　）
A．﹣1+i B．3+i C．1﹣i D．3﹣i
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求解．
解：∵z＝1﹣i，
∴，
∴z（+i）＝（1﹣i）（1+2i）＝3+i．
故选：B．
2．设集合A＝{（x，y）|x+y＝6}，B＝{（x，y）|y＝x2}，则A∩B＝（　　）
A．{（2，4）} B．{（﹣3，9）}
C．{（2，4），（﹣3，9）} D．∅
【分析】利用交集定义直接求解．
解：∵集合A＝{（x，y）|x+y＝6}，B＝{（x，y）|y＝x2}，
∴A∩B＝{（x，y）|}＝{（2，4），（﹣3，9）}．
故选：C．
3．已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分条件，必要条件和充要条件分别进行判断即可．运用定义来做题目．
解：由＜1，可得a＞1或a＜0，
故，由a＞1，能够推出＜1，故，a＞1，是＜1的充分条件，
由＜1，不能够推出a＞1，故，a＞1，是＜1的不必要条件，
综上所述，a＞1，是＜1的充分不必要条件，
故选：A．
4．小华在学习绘画时，对古典装饰图案产生了浓厚的兴趣，拟以矢量图（也称为面向对象的图象或绘图图象，在数学上定义为一系列由线连接的点，是根据几何特性绘制的图形）的模式精细地素描以下古典装饰图案，经过研究，小华发现该图案可以看成是一个边长为4的等边三角形ABC，如图，上边中间莲花形的两端恰好都是AB边的四等分点（E、F点），则•＝（　　）

A．9 B．16 C．12 D．11
【分析】把 都用 来表示，即可求 ．
解：设 AB 边的中点为 D，则 ，
同理 ，
所以 ．
故选：D．
5．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）的部分图象如图所示，且经过点A（，），则（　　）

A．f（x）关于点（，0）对称 B．f（x）关于直线x＝对称
C．f（x+）为偶函数 D．f（x+）为奇函数
【分析】由定点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式，再利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象和性质，得出结论．
解：∵函数f（x）＝sin（2x+φ）的部分图象，可令φ∈（0，），
∵它的经过点A（，），
∴sin（+φ）＝cosφ＝，
∴φ＝，
故f（x）＝sin（2x+）．
令x＝，求得f（x）＝，不是最值，故A、B都错误；
由于f（x+）＝sin（2x+）＝cos2x，故f（x+）是偶函数，故C正确，
由于f（x+）＝sin（2x+），故f（x+）不是奇函数，故D错误．
故选：C．
6．已知Sn为数列{an}的前n项和，a1＝﹣2，an+1＝Sn，那么a6＝（　　）
A．﹣64 B．﹣32 C．﹣16 D．﹣8
【分析】利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出．
解：∵an+1＝Sn，
∴n≥2时，an＝Sn﹣1，
相减可得：an+1＝2an．
n＝1时，a2＝S1＝﹣2≠2a1，
∴数列{an}从第二项开始为等比数列，
∴a6＝a2×24＝﹣2×24＝﹣32．
故选：B．
7．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点A是椭圆上位于x轴上方的一点，且|AF1|＝|F1F2|，则直线AF1的斜率为（　　）
A． B． C． D．1
【分析】题意可得sin∠AF1F2，进而求出tan∠AF1F2，即可得到直线AF1的斜率．
解：由题意如图所示：|AF1|＝|F1F2|，D为AF2的中点，
椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，
所以a＝2c，
sin∠AF1F2＝＝，所以∠AF1F2＝，
直线AF1的斜率为tan∠AF1F2＝tan＝，
故选：B．

8．已知a，b，c∈（0，1），且a2﹣2lna﹣1＝，b2﹣2lnb﹣1＝，c2﹣2lnc﹣1＝，则（　　）
A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．c＞a＞b
【分析】构造函数f（x）＝x2﹣2lnx﹣1，g（x）＝，f（a）＝a2﹣2lna﹣1，f（b）＝b2﹣2lnb﹣1，f（c）＝c2﹣2lnc﹣1，g（3）＝，g（e）＝，g（π）＝，求导判断函数的单调性，利用函数的单调性比较大小即可．
解：令g（x）＝，则g′（x）＝，
故当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，
故g（x）在（e，+∞）上单调递减，
而g（3）＝，g（e）＝，g（π）＝，
故g（e）＞g（3）＞g（π），
令f（x）＝x2﹣2lnx﹣1，则f′（x）＝2x﹣＝，
故当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，
故f（x）在（0，1）上单调递减，
而f（a）＝a2﹣2lna﹣1，f（b）＝b2﹣2lnb﹣1，f（c）＝c2﹣2lnc﹣1，
故f（a）＝g（3），f（b）＝g（e），f（c）＝g（π），
故f（b）＞f（a）＞f（c），
故b＜a＜c，
故选：D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入调查数据整理得到如图频率分布直方图，根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（　　）
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入的中位数约为7.5万元
C．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
D．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
【分析】对于ABC，通过求解对应的频率，即可依次判断，对于D，结合平均值的计算公式，即可求解．
解：对于A，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为（0.02+0.04）×1＝6%，故A正确，
对于B，家庭年收入介于2.5万元至7.5万元之间的频率为0.02+0.04+0.1+0.14+0.2＝0.5，
故该地农户家庭年收入的中位数约为7.5万元，故B正确，
对于C，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为0.1+0.14+0.2+0.2＝0.64＞0.5，故C正确，
对于D，估计该地农户家庭年收入的平均值为
3×0.02+4×0.04+5×0.1+6×0.14+7×0.2+8×0.2+9×0.1+10×0.1+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02＝7.68＞6.5，故D错误．
故选：ABC．
10．设正实数x，y满足2x+y＝1，则（　　）
A．x∈（0，） B．xy的最大值为
C．x2+y2的最小值为 D．4x+2y的最小值为4
【分析】A．根据正实数x，y满足2x+y＝1，可得0＜2x＝1﹣y＜1，解得x范围即可判断出正误；
B．由正实数x，y满足2x+y＝1，利用基本不等式即可判断出正误；
C．由正实数x，y满足2x+y＝1，可得y＝1﹣2x，x∈（0，），代入x2+y2，利用二次函数的单调性即可判断出正误；
D．由正实数x，y满足2x+y＝1，可得4x+2y＝22x+2y，结合基本不等式即可判断出正误．
解：A．∵正实数x，y满足2x+y＝1，∴0＜2x＝1﹣y＜1，解得0＜x＜，即x∈（0，），因此正确；
B．∵正实数x，y满足2x+y＝1，∴1≥2，解得xy≤，当且仅当2x＝y＝时取等号，因此不正确；
C．∵正实数x，y满足2x+y＝1，∴y＝1﹣2x，x∈（0，），
∴x2+y2＝x2+（1﹣2x）2＝5+≥，x＝时取等号，因此正确；
D．∵正实数x，y满足2x+y＝1，∴4x+2y＝22x+2y≥2＝2＝2，当且仅当2x＝y＝时取等号，因此不正确．
故选：AC．
11．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为AB，AD，B1C1的中点，以下说法正确的是（　　）

A．三棱锥C﹣EFG的体积为2
B．A1C⊥平面EFG
C．异面直线EF与AG所成的角的余弦值为
D．过点E、F、G作正方体的截面，所得截面的面积是3
【分析】A三棱锥C﹣EFG的体积＝＝．
B由正方体的性质可得：A1C⊥EF，A1C⊥FK，EF∩FK＝F．即可判断出结论．
C如图所示，建立空间直角坐标系．对于C利用cos＜，＞＝，即可得出异面直线EF与AG所成的角的余弦值；
②过点E、F、G作正方体的截面为正六边形EFKNGM，K，N，M分别为棱的中点，可得的截面的面积S为以EF为一边的等边三角形面积的6倍．
解：对于A、三棱锥C﹣EFG的体积＝＝＝1，故A错误；
对于B、由正方体的性质可得：A1C⊥EF，A1C⊥FK，EF∩FK＝F，
∴A1C⊥平面EFG；故B正确；
对于C、如图所示建立空间直角坐标系．
则F（1，0，0），E（2，1，0），A（2，0，0），G（1，2，2），＝（﹣1，﹣1，0），＝（﹣1，2，2），
∴cos＜，＞＝＝﹣＝﹣．∴异面直线EF与AG所成的角的余弦值为，故C正确；
对于D、过点E、F、G作正方体的截面为正六边形EFKNGM，K，N，M分别为棱的中点，
所得的截面的面积S＝＝3≠4，因此D错误；
故选：BC．

12．已知f（x）是周期为4的奇函数，且当0≤x≤2时，f（x）＝，设g（x）＝f（x）+f（x+1），则（　　）
A．g（2022）＝﹣1
B．函数y＝g（x）为周期函数
C．函数y＝g（x）的最大值为2
D．函数y＝g（x）的图象既有对称轴又有对称中心
【分析】根据周期的定义证得函数y＝g（x）是以4为周期的周期函数，即可判断B选项；
进而求出g（2022）的函数值，即可判断A选项；
然后求出g（x）的在[0，4]上的值域，进而求出在R的值域即可判断C选项；
求出对称轴与对称中心即可判断D选项．
解：因为f（x）是周期为4的奇函数，
所以f（x+4）＝f（x），
所以g（x+4）＝f（x+4）+f（x+5）＝f（x）+f（x+l）＝g（x），
所以函数y＝g（x）是以4为周期的周期函数，故B正确；
因此g（2022）＝g（2）＝f（2）+f（3）＝f（2）+f（﹣1）＝f（2）﹣f（1）＝2﹣2﹣1＝﹣1，故A正确；
对于C，当x∈（0，1）时，g（x）＝f（x）+f（x+1）＝x+2﹣（x+l）＝x+2﹣x﹣l＝1，
当x∈（1，2）时，g（x）＝f（x）+f（x+1）＝f（x）+f（x﹣3）＝f（x）﹣f（3﹣x）＝2﹣x﹣[2﹣（3﹣x）]＝﹣2x+3，
所以g（x）单调递减，
故g（x）∈（﹣l，1），
当x∈（2，3）时，g（x）＝f（x）+f（x+1）＝﹣f（4﹣x）﹣f（3﹣x）＝﹣[2﹣（4﹣x）]﹣（3﹣x）＝﹣1，
当x∈（3，4）时，g（x）＝f（x）+f（x+l）＝﹣f（4﹣x）+f（x﹣3）＝﹣（4﹣x）﹣（x﹣3）＝﹣1，
且g（0）＝f（0）+f（1）＝0+1＝1，
g（1）＝f（l）+f（2）＝1+0＝1，
g（2）＝f（2）+f（3）＝0+f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1，
g（3）＝f（3）+f（4）＝f（﹣1）+f（0）＝﹣f（1）＝﹣1，
g（4）＝g（0）＝1，
所以x∈[0，4]时，g（x）∈[﹣1，1]，
由于g（x）周期为4，
故g（x）的最大值为1，故C错误；
对于D，因为f（x）是周期为4的奇函数，
所以f（x+2）＝﹣f（x），
f（x﹣2）＝﹣f（x），
f（x﹣1）＝﹣f（x+l），
又g（1﹣x）＝f（1﹣x）+f（2﹣x）＝﹣f（x﹣1）﹣f（x﹣2）＝f（x）+f（x+1）＝g（x），
所以函数g（x）关于x＝对称，
即函数y＝g（x）的图象有对称轴，
因为g（x）+g（3﹣x）＝f（x）+f（x+l）+f（3﹣x）+f（4﹣x）＝f（x）+f（x+1）+f（﹣1﹣x）+f（﹣x）＝f（x）+f（x+1）﹣f（1+x）﹣f（x）＝0．
所以函数g（x）关于（，0）对称，
即函数y＝g（x）的图象有对称中心，故D正确，
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知多项式（x+1）3+（x﹣1）4＝x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，则a1＝　﹣3　．
【分析】直接利用二项展开式的应用求出结果．
解：＝x3+3x2+3x+1；①
同理：+＝x4﹣4x3+6x2﹣4x+1，②
①+②得：（x+1）3+（x﹣1）4＝x4﹣3x3+9x2﹣x+2，
由于（x+1）3+（x﹣1）4＝x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，
所以a1＝﹣3．
故答案为：﹣3．
14．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，则a≥2b的概率为 　　．
【分析】根据已知条件，结合列举法和古典概型的概率公式，即可求解．
解：由题意可得，抛掷两次骰子出现的总可能数为6×6＝36种，
其中满足a≥2b的有（2，1），（4，1），（4，2），（6，1），（6，2），（6，3），共6种，
故所求的概率P＝．
故答案为：．
15．已知f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）＝lnx+x2，则曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程是 　3x﹣y+2＝0　．
【分析】由已知求得x＜0时的函数解析式，求其导函数，得到函数在x＝﹣1处的导数，再求得f（﹣1），然后利用直线方程的点斜式得答案．
解：设x＜0，则﹣x＞0，
∵f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝lnx+x2，
∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣ln（﹣x）﹣x2，
则f′（x）＝﹣2x﹣（x＜0），
∴则f′（﹣1）＝3，又f（﹣1）＝﹣1，
∴曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程是y+1＝3（x+1），
即3x﹣y+2＝0．
故答案为：3x﹣y+2＝0．
16．某校学生在研究折纸实验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了．在理想情况下，对折次数n与纸的长边ω（cm）和厚度x（cm）有关系：n≤log2．现有一张长边为30cm，厚度为0.05cm的矩形纸，根据以上信息，当对折完4次时，的最小值为 　64　；该矩形纸最多能对折 　6　次．（参考数值：lg2≈0.3，lg3≈0.48．）
【分析】根据已知条件，结合对数函数的公式，即可求解．
解：∵n≤log2，
∴当对折完4次时，≥4，即，
∴，
∴的最小值为64，
∵＝＝＝≈，
∴矩形纸最多能对折6次．
故答案为：64，6．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知{an}是等差数列，a1＝2，a2+a3+a4＝18．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn＝|（）﹣1000|，求数列{bn}的前15项和T15．
【分析】（1）求得等差数列{an}的公差，利用等差数列的通项公式可求得{an}的通项公式；
（2）bn＝|2n﹣1000|＝，利用分组求和及等比数列的求和公式可求得数列{bn}的前15项和T15．
解：（1）∵{an}是等差数列，a2+a3+a4＝18，
∴a3＝6，又a1＝2，
∴公差d＝＝2，
∴an＝2n；
（2）∵an＝2n，
∴bn＝|（）﹣1000|＝|2n﹣1000|＝，
∴数列{bn}的前15项和
T15＝（1000﹣21）+...+（1000﹣29）+（210﹣1000）+（211﹣1000）+...+（215﹣1000）
＝（9000﹣6000）﹣（21+22+...+29）+（210+211+...+215）
＝3000﹣+210•
＝3000+4+61×210
＝65468．
18．某工厂购买软件服务，有如下两种方案：
方案一：软件服务公司每日收取80元，对于提供的软件服务每次10元；
方案二：软件服务公司每日收取200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部
分的软件服务每次收费标准为20元．
（1）设日收费为y元，每天软件服务的次数为x，试写出两种方案中y与x的函数关系式；
（2）该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由.
【分析】（1）由题意写出方案一，二的解析式即可；
（2）由条形图分别求出概率，再列出分布列，求期望，判断哪个方案更省钱，更合适．
解：（1）由题可知，方案一中的日收费y与x的函数关系式为
y＝10x+60，x∈N，
方案二中的日收费y与x的函数关系式为
y＝
（2）设方案一中的日收费为X，由条形图可得X的分布列为
X
190
200
210
220
230
P
0.1
0.4
0.1
0.2
0.2
所以E（X）＝190×0.1+200×0.4+210×0.1+220×0.2+230×0.2＝210（元）．
方案二中的日收费为Y，由条形图可得Y的分布列为
X
200
220
240
P
0.6
0.2
0.2
E（Y）＝200×0.6+220×0.2+240×0.2＝212（元）．
所以从节约成本的角度考虑，选择方案一．
19．在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，∠ADC＝，BC＝4．
（1）若△ABC的面积为2，求AC；
（2）若AD＝3，∠ACB＝∠ACD+，求tan∠ACD．

【分析】（1）由S＝AB•BC•sin∠ABC，可得AB的值，再在△ABC中，利用余弦定理，即可得解；
（2）设∠ACD＝α，用含α的式子表示出∠ACB和∠BAC，先在Rt△ACD中，利用三角函数表示出AC，再在△ABC中，由正弦定理，即可得解．
解：（1）由S＝AB•BC•sin∠ABC，知2＝AB•4•sin，
所以AB＝2，
在△ABC中，由余弦定理知，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BCcos∠ABC＝4+16﹣2×2×4×＝12，
所以AC＝2．
（2）设∠ACD＝α，则∠ACB＝∠ACD+＝α+，∠BAC＝π﹣（∠ABC+∠ACB）＝﹣α，
在Rt△ACD中，sin∠ACD＝，所以AC＝＝，
在△ABC中，由正弦定理知，＝，
所以＝，即3cosα＝2sinα，
所以tanα＝＝，
所以tan∠ACD＝．
20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，M为AB的中点，N为B1C1的中点，P是BC1与B1C的交点．
（1）证明：A1C⊥BC1；
（2）在线段A1N上是否存在点Q，使得PQ∥平面A1CM？若存在，请确定Q的位置；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由线面垂直的判断和性质，可得证明；
（2）在线段A1N上存在点Q，且A1Q＝A1N．建立空间坐标系，求出平面A1CM的法向量，证明⊥，即可得出PQ∥平面A1CM．
解：（1）由△A1B1C1中，A1B1＝B1C1，N为B1C1的中点，可得A1N⊥B1C1，
又B1B⊥平面A1B1C1，A1N⊂平面A1B1C1，
可得B1B⊥A1N，而B1B∩B1C1＝B1，
所以A1N⊥平面B1BCC1，即有A1N⊥BC1，
连接CN，由tan∠C1CN＝＝，tan∠CC1B＝＝＝，
则tan∠C1CN•tan∠CC1B＝1，可得∠C1CN+∠CC1B＝90°，
即有BC1⊥CN，而CN∩A1N＝N，
所以BC1⊥平面A1CN，
则A1C⊥BC1；
（2）以A为原点，以AC，AB，AA1为坐标轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，
则A1（0，0，2），C（2，0，0），M（0，1，0），N（1，1，2），P（1，1，1），
所以＝（1，1，0），＝（1，1，﹣1），＝（﹣2，1，0），＝（﹣2，0，2），
设平面A1CM的法向量为＝（x，y，z），
则
令y＝2，可得＝（1，2，1），
设＝m＝（m，m，0），
则＝﹣＝（m﹣1，m﹣1，1），
所以•＝m﹣1+2（m﹣1）+1＝3m﹣2，
当⊥时，可得PQ∥平面A1CM，
所以3m﹣2＝0，即m＝．
所以在线段A1N上存在点Q，且A1Q＝A1N．

21．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点P（1，y0）（y0＞0）到其焦点的距离为2．
（1）求点P的坐标及抛物线C的方程；
（2）若点M、N在抛物线C上，且kPM•kPN＝﹣，求证：直线MN过定点．
【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义可得p的方程，求出p，即可得到抛物线的方程；
（2）设M（，y1），N（，y2），由直线的斜率公式可得直线MN的斜率，再由kPM•kPN＝﹣，可得y1，y2的关系式，求得直线MN的方程，再确定定点即可．
解：（1）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（，0），准线方程为x＝﹣，
由抛物线的定义可得|PF|＝1+＝2，解得p＝2，
则抛物线的方程为y2＝4x，P（1，2）；
（2）证明：设M（，y1），N（，y2），
则kMN＝＝，
所以kPM•kPN＝•＝＝﹣，
所以y1y2+2（y1+y2）＝﹣36，即y1y2＝﹣2（y1+y2）﹣36，
则直线MN的方程为y﹣y1＝（x﹣），
所以y＝x+，所以y＝x﹣﹣2，
即y+2＝（x﹣9），
所以直线MN恒过定点（9，﹣2）．
22．已知函数f（x）＝ax+lnx．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若x1，x2（x1＜x2）是f（x）的两个零点．证明：
（ⅰ）x1+x2＞﹣；
（ⅱ）x2﹣x1＞﹣．
【分析】（1）求出f'（x），分a≥0和a＜0两种情况，利用导数的正负判断函数的单调性即可；
（2）（i）将问题转化为证明，令t＝，设，转化为证明g（t）＞0，然后利用导数研究函数g（t）的单调性，确定g（t）的取值范围，即可证明结论；
（ii）设h（x）＝，由导数确定h（x）的单调性，得到﹣a＝h（x）有两个不相等的实数根，确定a的取值范围且1＜x1＜e＜x2，lnx＜1﹣x对于x∈（0，1）∪（1，+∞）恒成立，则对于x∈（0，1）恒成立，转化为，得到，结合（i）中的结论，即可证明．
解：（1）由题意可知，f（x）的定义域为（0，+∞），
因为f（x）＝ax+lnx，所以f'（x）＝，
当a≥0时，f'（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＜0时，当0＜x＜时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增，
当x＞时，f'（x）＜0，则f'（x）单调递减．
综上所述，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＜0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．
（2）证明：（i）原不等式等价于，
因为﹣ax1＝lnx1①，﹣ax2＝lnx2②，
由②﹣①，可得﹣a（x2﹣x1）＝lnx2﹣lnx1，故，
则等价于，
因为x2＞x1＞0，所以lnx2﹣lnx1＞0，
即证明③，
等价于证明，
令t＝，设，即证明g（t）＞0，
因为，
则g（t）在（1，+∞）上单调递增，且g（t）＞g（1）＝0，
因此x1+x2＞﹣；
（ii）设h（x）＝，则h'（x）＝，
所以h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
因为﹣a＝h（x）有两个不相等的实数根，且h（e）＝，
则且1＜x1＜e＜x2，
因为lnx＜1﹣x对于x∈（0，1）∪（1，+∞）恒成立，
则对于x∈（0，1）恒成立，
所以，
因为x1＞0，所以，
又因为a＜0，△＝4+4ae＞0，
所以或，
因为0＜x1＜e且，所以，
因为，所以，
所以．