黑龙江省龙东地区四校2022届高三上学期联考文科数学试题

数学（理科）试卷

（考试时间：120分钟     满分：150分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合，，则（    ）

A．         B．          C．            D．

2.已知向量，若与垂直，则实数的值为（    ）

A.2                 B.1                 C.-1               D.-2

3．已知为虚数单位，，设是z的共轭复数，则在复平面内对应的点位于（   ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4．已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（   ）

A．          B．         C．       D．

5．若将函数的图象向右平移个单位长度后为奇函数，则的值可以为（    ）

A．            B．            C．             D．

6．已知等差数列且，则数列的前13项之和为（    ）

A．26 B．39 C．104 D．52

7. 已知实数满足条件：，则的最大值为（      ）

1.                B.2                 C.                 D.1

8. 如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，点是底面圆周上的一点，且，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（     ）

A.            B.            C.             D.

9．设函数,则使成立的的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

10．已知函数，若函数有4个零点，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

11．已知是以为斜边的直角三角形，为平面外一点，且平面平面，，，，则三棱锥外接球的体积为（     ）

A.             B.            C.               D.

12．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．当时，在单调递减

B．当时，在处的切线为轴

C．当时，在存在唯一极小值点，且

D．对任意，在一定存在零点

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．若等比数列的各项均为正数，且，则______．

14.若，，则___________.

15.在中，为的中点，点满足,若,则_______.

16.已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是__________.

三、解答题：共70分.

17.（10分）

如图，在多面体中，四边形是矩形，四边形为等腰梯形，且，，，平面平面.

（1）求证：；

（2）求三棱锥的体积.

18．（12分）

已知数列为等差数列,公差，且，，依次成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，若，求的值.

19.（12分）

的内角的对边分别为，.

（1）求；

（2）为边上一点，,,求的面积.

20.（12分）

已知数列， , 且满足，数列 满足 , 数列 的前 项和为 .

（1）证明: 数列 为等比数列并求数列的通项公式;

（2）求数列的通项公式.

21.（12分）

如图，在直四棱柱中，

（1）若为的中点，试在上找一点，使平面；

（2）若四边形是正方形，且与平面所成角的余弦值为，求二面角的余弦值.

22.（12分）

已知函数，求:

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，总有，求整数的最小值.

答案

13.  15      14.     15 .      16.

17.

(1)平面平面，平面平面，

（2）(2)设到的距离则，

平面平面，平面平面

，且，

.

18．（1）；（2）.

解：

由，，依次成等比数列，可得，

即，解得，

则.

（2），

即有前项和为

得.

19

（1）

，得

（2）  ，,,

因为由正弦定理得,

所以，

所以，

故

20.

（2）

21.（1）当点为的中点时平面，证明如下：

连接，∵､分别为､的中点，∴，

在直四棱柱中，，

∴，∵平面，平面，∴平面；

（2）以为坐标原点，､､的方向分别为､､轴的正方向，

建立空间直角坐标系，如图所示，

设正方形的边长为，，则､､，

则､，设为平面的法向量，

则，即，令，则､，即，

与平面所成角的余弦值为，

与平面所成角的正弦值为，且，

∴，解得，∴，

又平面的一个法向量为，

∴，

设二面角的平面角为，为锐角，则．

22.