浙江省温州十五校联合体2020-2021学年高二上学期期中联考数学试题 Word版含答案

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2020学年第一学期“温州十五校联合体”期中联考

高二年级数学学科 试题

考生须知：

1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；

2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；

3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；

4．考试结束后，只需上交答题纸。

选择题部分（共 40 分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.用一个平面去截圆锥，则截面不可能是

 A. 椭圆 B. 圆 C. 三角形           D. 矩形

2.一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条

 A．平行 B．相交 C．异面 D．相交或异面

3.椭圆的焦点坐标是

 A．，  B．，
C．，  D．，

4．原命题“若实数a, b, c成等比数列，则”，则

 A．逆命题与否命题假，逆否命题真 B．逆命题假，否命题和逆否命题真

 C．逆命题和否命题真，逆否命题假 D．逆命题、否命题、逆否命题都真

5.如图1所示，正方形的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是

 A.                                  B.        

C.                      D.

6. “直线l与平面α内无数条直线平行”是“直线l与平面α平行”的                

 A. 充分不必要条件  B. 必要不充分条件

 C. 充分必要条件  D. 既不充分也不必要条件

7.方程所表示的曲线是

 A.一个圆             B. 两个圆            C.一个半圆 D.两个半圆

8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，过点C做直线l，使得直线l与直线BA1和B1D1所成的角均为，则这样的直线l

 A.不存在             B. 2条              C.4条 D. 无数条

9.如图2所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是棱BC的中点，点P是平面DCC1D1内的动点，若直线AP与平面DCC1D1所成的角等于直线MP与平面DCC1D1所成的角，则点P的轨迹是

  A. 圆 B. 椭圆 

 C. 直线 D. 射线

10.已知椭圆C：          的左、右焦点分别为、，点是椭圆C在第二象限内的点，若是的内心，是的重心，记与的面积分别为，，则

 A． B． C． D．与大小不确定

非选择题部分（共110分）

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.

11.椭圆的离心率为  ▲  ，长轴长  ▲  .
12.某三棱锥的三视图如图3所示，则俯视图的面积为  ▲__,

该几何体的体积是  ▲__.

13.过圆上任意一点P作x轴垂线，垂足为Q，则线段PQ的

中点M的轨迹方程为   ▲   .

14.已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是  ▲  cm,母线长为  ▲  cm.

15.不等式对任意的实数x恒成立的充要条件是  ▲  .

16.已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若线段的中点在y轴上，则  ▲  ， =  ▲  .

17.在正三棱锥A-BCD中，AB=AC=AD=5，BC=BD=CD=6. 点M是线段BC上的点，且. 点P是棱AC上的动点，直线PM与平面BCD所成角为，则的最大值为  ▲  .

三、解答题：本大题共5小题,共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18．（满分14分）已知，．

（Ⅰ）若为真命题，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若为成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．

19. （满分15分）如图4所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，且平面平面.

（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值.

图4

20. （满分15分）已知 动点P满足，动点P的轨迹为曲线.

（Ⅰ）求点P的轨迹方程；

（Ⅱ）直线l与曲线交于A、B两点，且线段AB的中点为M（1,1），求直线l的方程.

21.（满分15分）如图5所示，在三棱锥D-ABC中，，，且DA=1，DB=DC=2，E是DC的中点.

（Ⅰ）求异面直线AE与BD所成角的余弦值；

（Ⅱ）求二面角A-BE-C的正切值.

图5

22.（满分15分）已知椭圆经过点，且是的一个焦点，过焦点的动直线交椭圆于两点.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）y轴上是否存在定点（异于点），使得对任意的动直线都有，若存在求出点的坐标，若不存在，请说明理由.

2020学年第一学期“温州十五校联合体”期中联考

高二数学卷评分标准与参考答案

一、选择题(4×10=40分)

9. A【解析】∠APD=∠MPC，从而PD=2PC，所以点P的轨迹是一个圆。（阿波罗尼斯圆）

10.  B【解析】设内切圆半径为r，则，故选B.

二、填空题.（本大题有7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）

11.，6 ； 12．;             13. ；   14． ；

15． ； 16． ； 17．

17.【解析】由面面角最大角定理，的最大值即为二面角A-BC-D的平面角的大小.

三.解答题：本大题共5小题,满分74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

18. 解：（Ⅰ）若为真命题，解不等式得，

实数的取值范围是[3，5].                                         ------------------------6分

（Ⅱ）解不等式得，  ------------------------9分

∵为成立的充分不必要条件，∴是[1-a,1+a]的真子集.         ------------------------11分

∴，得a≥4.      

∴实数的取值范围是                                       ------------------------14分

19. 解：（Ⅰ）证明：      ------------------------5分

                                              ------------------------7分

（Ⅱ）取AD中点M，连接PM，CM，则PM⊥AD.

又∵平面PAD⊥底面ABCD，

∴PM⊥平面ABCD

∴∠PCM就是直线PC与平面ABCD所成的角. ------------------------11分

由勾股定理可求得, 

∴ .

直线PC与平面ABCD所成角的正弦值为.                          ------------------------15分

20. 解：（Ⅰ）由椭圆的定义可知点P的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆.

∴的方程为.                                           -----------------------6分

（Ⅱ）（点差法）设∵A、B是上的点，

由作差得， ------------------------10分

又线段AB的中点为M（1,1），∴

从而直线AB斜率.                                ------------------------13分

直线l的方程为                   ------------------------15分

(用韦达定理等其它方法可酌情给分)

21．解：（Ⅰ）取线段BC中点F，连接EF，AF，则EF//BD，

从而∠AEF就是直线AE与BD所成的角.        ------------------------3分

在△AEF中，可求得

∴异面直线AE与BD所成角的余弦值为.   ------------------------7分

（Ⅱ）可知二面角A-BE-C的平面角与二面角A-BE-D的平面角互补.

∵，作直线DG⊥BE于G，连接AG，则AG⊥BE.

从而∠AGD就是二面角A-BE-D的平面角. ------------------------11分

在△DBE中，由余弦定理可求得BE=.由面积法可求得.

∴.

∴二面角A-BE-C的正切值为.   ------------------------15分

22. 解：（Ⅰ）依题意得， ，解得.          ------------------------4分

椭圆C的方程为.                ------------------------6分

（Ⅱ）设存在点P（0，t）满足题意，设直线l的方程为.

设由消去y得，.

从而.       ------------------------10分

由得 ，

=-----------------------13分

只需即可满足.

从而y轴上存在定点满足题意.          ------------------------15分