2020-2021学年辽宁省大连市瓦房店市实验高级中学高二上学期月考数学试题（解析版）

2020-2021学年辽宁省大连市瓦房店市实验高级中学高二上学期月考数学试题

一、单选题

1．下列命题中，假命题是（    ）

A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小

B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同

C．只有零向量的模等于0

D．共线的单位向量都相等

【答案】D

【解析】根据向量的定义即可判断出答案.

【详解】

A.向量是有向线段，不能比较大小.真命题.

B.两向量相等：方向相同，模长相等.起点相同，则终点也相同.真命题.

C.零向量：模长为0的向量.真命题.

D.共线的单位向量是相等向量或相反向量. 假命题.

故选：D.

【点睛】

本题考查向量的定义，属于基础题.向量：有向线段.既有大小也有方向.

2．设，向量且，则（    ）

A． B． C．3 D．4

【答案】C

【解析】根据向量垂直和平行的坐标表示求得参数，再求向量模长即可.

【详解】

，

，

，

故选：.

【点睛】

本题考查向量垂直、平行以及模长的坐标表示，属综合基础题.

3．若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为，则m为(　　)

A．－4 B．－6

C．－8 D．8

【答案】C

【解析】由l∥α，可得•=0，即可得出m的值．

【详解】

∵l∥α，∴•=2+m+2=0．

∴m=﹣8．

故选C．

【点睛】

本题考查了线面平行的性质、数量积运算性质、法向量的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

4．在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线,所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．

【详解】

解：以点为坐标原点，以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，

则,
为平面的一个法向量．
．
∴直线与平面所成角的正弦值为.

故选：D．

【点睛】

此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系,利用向量方法解决立体几何问题．

5．已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【解析】根据点到平面的距离的向量公式直接计算即可.

【详解】

由题意，

则，

故选：A

【点睛】

本题主要考查了点到平面的距离，向量法求点到平面的距离，属于容易题.

6．二面角－－为60°，A、B是棱上的两点，、分别在半平面内，，，且，，则的长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由已知条件和空间向量加法可得，再根据向量模和数量积的关系可得 ，由此能求出的长．

【详解】

因为二面角－－为60°，A、B是棱上的两点，、分别在半平面内，，，

所以，，

又

所以

.

所以的长为.

故选：D.

【点睛】

本题考查空间线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

7．在四面体O-ABC中,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)为(　　)

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】如图所示,连接AG1交BC于点E,则E为BC中点,利用空间向量的运算法则求得,即得(x,y,z).

【详解】

如图所示,连接AG1交BC于点E,则E为BC中点,

)=-2),

-2).

因为=3=3(),

所以OG=OG1.

则)=.

故答案为A

【点睛】

（1）本题主要考查空间向量的运算法则和基底法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 如果三个向量不共面，那么对于空间任意一个向量，存在一个唯一的有序实数组使．我们把叫做空间的一个基底，其中叫基向量.

8．在空间直角坐标系中，，为的中点，为空间一点且满足，若，，则（    ）

A．9 B．7 C．5 D．3

【答案】D

【解析】利用中点坐标公式可得点的坐标，设，利用，可解出点的纵坐标，最后利用数量积的坐标运算可得的值.

【详解】

设，，

，，，

由，

整理可得：，

由，得，

化简得，

以上方程组联立得，

则.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了空间直角坐标系下向量数量积的运算,解题关键是掌握向量数量积运算的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.

二、多选题

9．（多选题）对于，下列说法正确的是（    ）

A．可看作点与点的距离

B．可看作点与点的距离

C．可看作点与点的距离

D．可看作点与点的距离

【答案】BCD

【解析】化简，结合两点间的距离公式，即可求解.

【详解】

由题意，可得，

可看作点与点的距离，可看作点与点的距离，可看作点与点的距离，故选项A不正确，

故答案为：BCD.

【点睛】

本题主要考查平面上两点间的距离公式及其应用，其中解答中熟记平面上两点间的距离公式是解答的关键，属于基础题.

10．关于空间向量，以下说法正确的是（       ）

A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面

B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面

C．已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底

D．若，则是钝角

【答案】ABC

【解析】根据共线向量的概念，可判定A是正确的;根据空间向量的基本定理，可判定B是正确的;根据空间基底的概念，可判定C正确;根据向量的夹角和数量积的意义，可判定D不正确.

【详解】

对于A中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，

则这三个向量一定共面，所以是正确的;

对于B中，若对空间中任意一点，有，因为，

根据空间向量的基本定理,可得P,A,B,C四点一定共面，所以是正确的;

对于C中，由是空间中的一组基底，则向量不共面，

可得向量不共面，所以也是空间的一组基底，所以是正确的;

对于D中，若，又由，所以，所以不正确.

故选：ABC

【点睛】

本题主要考查了空间的向量的共线定理、共面定理的应用，基底的概念与判定，以及向量的夹角的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.

11．如图，正方体的棱长为1，是的中点，则（    ）

A．直线平面 B．

C．三棱锥的体积为 D．异面直线与所成的角为

【答案】ABD

【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一验证即可；

【详解】

解：如图建立空间直角坐标系，，，，，，，，，，

，，，

所以，即，所以，故B正确；

，，，

设异面直线与所成的角为，则，又，所以，故D正确；

设平面的法向量为，则，即，取，

则，即，又直线平面，所以直线平面，故A正确；

，故C错误；

故选：ABD

【点睛】

本题考查空间向量法在立体几何中的应用，属于中档题.

12．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（    ）

A． B．

C．向量与的夹角是60° D．与AC所成角的余弦值为

【答案】AB

【解析】直接用空间向量的基本定理，向量的运算对每一个选项进行逐一判断.

【详解】

以顶点A为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°，

可设棱长为1,则

而

， 所以A正确.

=0,所以B正确.

向量,

显然 为等边三角形，则.

所以向量与的夹角是 ,向量与的夹角是,则C不正确

又，

则，

所以，所以D不正确.

故选：AB

【点睛】

本题考查空间向量的运算，用向量求夹角等，属于中档题.

三、填空题

13．设点A在x轴上，点B在y轴上，的中点是，则等于________

【答案】

【解析】根据点A在x轴上，点B在y轴上，且的中点是，利用中点坐标公式得到A，B的坐标，再利用两点间的距离公式求解.

【详解】

因为点A在x轴上，点B在y轴上，且的中点是，

所以，

所以，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查两点间的距离公式和中点坐标公式的应用，属于基础题.

14．如图，正三棱锥的侧棱长为3，底面边长为2，则与所成角的余弦值为______.

【答案】

【解析】根据向量的运算得出，利用数量积公式得出与所成角的余弦值.

【详解】

设与的夹角为，则与的夹角也是

则与所成角的余弦值为

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了求异面直线的夹角的余弦值，属于中档题.

15．已知空间三点的坐标为、、，若、、三点共线，则______.

【答案】

【解析】将、、三点共线转化为，设，利用空间向量的坐标运算列出方程组可求出、、的值，可求出的值.

【详解】

由题意可得，，

、、三点共线，则，则存在实数，使得，解得，

因此，，故答案为.

【点睛】

本题考查空间中三点共线问题，解题的关键在于将三点共线转化为向量共线来处理，考查运算求解能力，属于基础题.

16．如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为_____．

【答案】4

【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系, 设，求出平面的一个法向量，则，则可以得到答案.

【详解】

解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，，，故，，，

设平面的一个法向量为，则，可取，

故，

又直线与平面所成角的正弦值为，

，解得．

故答案为：4．

【点睛】

本题考查根据线面角，利用向量法求柱体的高，属于中档题.

四、解答题

17．在中，，，.

（1）求顶点、的坐标；

（2）求；

（3）若点在上，且，求点的坐标.

【答案】（1），；（2）；（3）.

【解析】（1）利用向量的坐标运算可求得点、的坐标；

（2）计算出向量、的坐标，利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值；

（3）由可得，可求得向量的坐标，进而可求得点的坐标.

【详解】

（1）设点为坐标原点，，

则.

，则；

（2），则，

又，因此，；

（3）设点为坐标原点，，则，

则，

所以，点的坐标为.

【点睛】

本题考查空间向量的坐标运算，同时也考查了空间向量数量积的计算，考查计算能力，属于中等题.

18．用坐标法证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离都相等

【答案】证明见解析.

【解析】建立平面直角坐标系，设，，得到AB 的中点C的坐标为，然后用两点间的距离分别求得，，即可.

【详解】

建立如图所示的平面直角坐标系，

设，，则AB 的中点C的坐标为.

∵，

，

∴，

即直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离都相等.

【点睛】

本题主要考查两点间的距离公式的应用，属于基础题.

19．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，CC1=4，点E在棱BB1上，EB1=1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H.

（1）求证：B1D⊥平面ABD；

（2）求证：平面EGF∥平面ABD；

（3）求平面EGF与平面ABD的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】（1）建立空间直角坐标系，运用线面垂直的判定定理可得证；

（2）由面面平行的判定定理可得证；

（3）根据两个平行平面间距离的定义，可将平面与平面间的距离转化为一个平面内一点到另一个平面的距离，即点面距.

【详解】

（1）证明：如图所示建立空间直角坐标系，

设AB=a，则A1(a，0，0)，B1(0，0，0)，C1(0，2，0)，F(0，1，0)，E(0，0，1)，A(a，0，4)，B(0，0，4)，

D(0，2，2)，G.

所以=(0，2，2)，=(-a，0，0)，=(0，2，-2).

所以=0+0+0=0，=0+4-4=0.

所以，

所以B1D⊥AB，B1D⊥BD.

又AB∩BD=B，所以B1D⊥平面ABD.

（2）证明：由（1）可得=(-a，0，0)，=(0，2，-2)，=(0，1，-1)，所以=2=2，所以.

所以GF∥AB，EF∥BD.

又GF∩EF=F，AB∩BD=B，所以平面EGF∥平面ABD.

（3）解：由（1）（2）知，是平面EGF和平面ABD的法向量.

因为平面EGF∥平面ABD，所以点E到平面ABD的距离就是两平面的距离，设为d.

因为=(0，0，3)，=(0，2，2)，

所以d=.即两平面间的距离为.

【点睛】

本题考查空间中的线面垂直、面面平行的证明，面到面的距离转化到一个面内一个点到面的距离的问题，属于中档题.

20．已知，.

（1）若，分别求与的值；

（2）若，且与垂直，求.

【答案】（1），；（2）.

【解析】（1）设，利用空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，进而可解得实数与的值；

（2）根据题意可得出关于的等式组，解得实数的值，由此可得出向量的坐标.

【详解】

（1），设，得，

，解得，因此，，；

（2），，化简，得，解得.

因此，.

【点睛】

本题考查利用空间向量共线求参数，同时也考查了利用空间向量的坐标运算处理垂直和模的相关问题，考查计算能力，属于中等题.

21．如图，三棱柱中，平面，点E是棱的中点，已知．

（Ⅰ）求证：平面ABC；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）首先证明四边形为矩形，可得，结合，可证平面ABC

（Ⅱ）分别以 ， 所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用法向量求二面角的余弦值.

【详解】

（Ⅰ）依题意，在中，，

所以，

所以．

又因为三棱锥中，四边形为平行四边形，

所以四边形为矩形，

所以．

因为平面，平面，

所以．

又因为平面ABC，，

所以平面ABC．

（Ⅱ）因为平面，平面，

所以．

如图建立空间直角坐标系B−xyz，

则，

，

设平面的法向量为，则

，

令，则， ，

于是，

设平面的法向量为，则

即

令，则，．

于是，

所以

由题知二面角为锐角，所以其余弦值为

【点睛】

本题主要考查了线面位置关系线面垂直的证明以及二面角余弦值的求解，属于中档题.

22．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，平面平面，点在棱上，，分别为的中点，过三点的平面交于点，且平面．

（1）求的值；

（2）求与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）首先证明四边形为平行四边形，再得出，然后用相似关系求出的值；

（2）建立空间直角坐标系，用向量法求出与平面所成角的正弦值.

【详解】

解：（1）因为平面，平面，平面平面，

所以．

因为为的中点，为的中点，

所以．

又因为底面为直角梯形，，

所以．

因为平面，平面，

所以平面．

又因为平面平面，

所以，

从而四边形为平行四边形．

又，所以，

所以，

所以，所以．

所以的值为．

（2）由题可知，，

所以，

所以．

又因为平面平面，且交于，所以平面．

又，所以两两垂直．

以为坐标原点，分别以向量，，所在方向为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．

所以，，，，．

由（1）可知，即．

所以．

因为，，

所以．

又为的中点，所以．

所以，，．

设平面的一个法向量，

所以即

令，所以，所以．

设与平面所成的角的平面角为，

所以．

故与平面所成角的正弦值为．

【点睛】

本题主要考查立体几何、空间直角坐标系、直线与平面所成角的正弦值等相关知识，考查运算求解能力，属于基础题型.