2020-2021学年黑龙江省农垦建三江管理局第一高级中学高二上学期期中考试 数学（文） （解析版）练习题

黑龙江省农垦建三江管理局第一高级中学2020-2021学年高二上学期期中考试 数学（文）

考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

（1）          答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；

（2）          请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效。

第Ⅰ卷（共60分）

一、单项选择题（60分，每题5分）

1．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．抛物线 的准线方程为（   ）

A． B． C． D．

3．设，若，则=（    ）

A． B． C． D．

4．已知曲线在点处的切线方程为，则（  ）

A． B． C． D．

5．已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则 的离心率为（    ）

A． B． C． D．

6．命题：若，则；命题：，则下列命题为真命题的是（   ）

A． B． C． D．

7．命题：“若，则”的逆否命题是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若且，则

D．若或，则

8．已知命题：，使得，命题：对，，若为真命题，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

9．已知函数的导数为，且，则（    ）

A． B． C． D．

10．设A、B分别为双曲线（a>0，b>0）的左、右顶点，P是双曲线上不同于A、B的一点，直线AP、BP的斜率分别为m、n，则当取最小值时，双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

11．已知双曲线的左、右顶点分别为、，左焦点为，为 上一点，且轴，过点的直线与线段交于点（异于、），与轴交于点，直线与轴交于点，若（为坐标原点），则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

12．抛物线的焦点为，设，是抛物线上的两个动点，，则的最大值为（   ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（共90分）

二．填空题（20分，每题5分）

13．命题“，”的否定为______.

14．函数在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为______________.

15．已知点在抛物线：上，过点的直线交抛物线于，

两点，若，则直线的倾斜角的正弦值为______.

16． 已知椭圆：的离心率为，三角形的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边、、的中点分别为、、，且三条边所在直线的斜率分别、、，且、、均不为.为坐标原点，若直线、、的斜率之和为，则 ______.

三．解答题（70分，17题10分，其余每题12分）

17．已知命题：方程表示椭圆，命题.

（1）若命题为真，求实数的取值范围；

（2）若为真，为真，求实数的取值范围.

18．已知函数f(x)＝x－1＋ (a∈R，e为自然对数的底数)．

（1）若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；

（2）当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求l的直线方程．

19．已知椭圆：（）的一个焦点为，设椭圆的焦点恰为椭圆短轴上的顶点，且椭圆过点．

（1）求的方程；

（2）若直线与椭圆交于，两点，求．

20．已知抛物线上的点到焦点F的距离为.

（1）求的值；

（2）过点作直线交抛物线于两点，且点是线段的中点，求直线方程.

21．已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍，且经过点.

（1）求的标准方程；

（2）的右顶点为，过右焦点的直线与交于不同的两点，，求面积的最大值.

22．已知椭圆过点，且离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）过作斜率分别为的两条直线，分别交椭圆于点，且，

证明：直线过定点．

1．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

根据充分条件和必要条件的定义结合指数的运算进行判断即可.

【详解】

为增函数，

，

 是的充分不必要条件，

“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

【点睛】

本题主要考查充分条件与必要条件的判定，属于基础题.

2．抛物线 的准线方程为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

抛物线的标准方程为： ，

据此可得抛物线 的准线方程为  .

本题选择B选项.

3．设，若，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

先计算，带入，求出即可．

【详解】

对求导得

将带入有．

【点睛】

本题考查函数求导，属于简单题．

4．已知曲线在点处的切线方程为，则（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．

【详解】

详解：

，

将代入得，故选D．

【点睛】

本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．

5．已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

分析：设，则根据平面几何知识可求，再结合椭圆定义可求离心率.

详解：在中，

设，则，

又由椭圆定义可知

则离心率，

故选D.

点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.

6．命题：若，则；命题：，则下列命题为真命题的是（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

当时，，即命题为假命题，因为恒成立，即命题为假命题，则、、为假命题，为真命题；故选D.

7．命题：“若，则”的逆否命题是

A．若，则

B．若，则

C．若且，则

D．若或，则

【答案】D

【解析】

根据逆否命题的写法得到，逆否命题是将原命题的条件和结论互换位置，并且都进行否定，故得到逆否命题是若，则.

故答案为D．

8．已知命题：，使得，命题：对，，若为真命题，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据为真命题，判断出均为真命题，分别求得为真命题时，各自的的取值范围，取这两个取值范围的交集求得的取值范围.

【详解】

由于为真命题，所以均为真命题.

对于命题，时，，所以.

对于命题，由于，所以，所以.

所以的取值范围是.

故选：A.

【点睛】

本小题主要考查根据含有逻辑连接词命题的真假性求参数的取值范围.考查存在性问题和恒成立问题的求解策略，属于基础题.

9．已知函数的导数为，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意，求出函数的导数，令可得，变形即可得答案．

【详解】

，，，解得.

故选：B.

【点睛】

本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．

10．设A、B分别为双曲线（a>0，b>0）的左、右顶点，P是双曲线上不同于A、B的一点，直线AP、BP的斜率分别为m、n，则当取最小值时，双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

分析：先根据点的关系确定mn，再根据基本不等式确定最小值，最后根据最小值取法确定双曲线的离心率.

详解：设，则 ，

因此 当且仅当时取等号，此时 选D.

点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

11．已知双曲线的左、右顶点分别为、，左焦点为，为上一点，且轴，过点的直线与线段交于点（异于、），与轴交于点，直线与轴交于点，若（为坐标原点），则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

设点在第二象限，设，点，利用和可得出，可得出、的等量关系，由此可计算得出双曲线的离心率.

【详解】

不妨设在第二象限，，，设点，

，则，，可得，则点，

由，得，①；由，得，②.

①②两式相乘得，即，离心率为.

故选：B.

【点睛】

本题考查双曲线离心率的求解，解题时要充分结合三角形相似三角形列等式求解，考查计算能力，属于中等题.

12．抛物线的焦点为，设，是抛物线上的两个动点，，则的最大值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

由抛物线定义得所以由得,因此

所以，选D.

点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦 AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．

13．命题“，”的否定为______.

【答案】，

【解析】

【分析】

直接根据全称命题的否定为特称命题，即可得解.

【详解】

因为全称命题，，它的否定，.

所以命题“，”的否定为，.

故答案为：，.

【点睛】

本题考查了全称命题否定，在否定过程中注意否定规则，易错点为的否定为，本题为简单题.

14．函数在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为______________.

【答案】

【解析】

【分析】

利用导数求出切线的斜率得切线方程，再求得切线在坐标轴上的截距后可得面积．

【详解】

由

，在点处的切线的斜率为

∴切线方程为，即，在轴上的截距为，轴上的截距为，

切线与两坐标轴围成的三角形面积为.

故答案为：．

【点睛】

本题考查导数的几何意义，解题关键是正确求出导数．

15．已知点在抛物线：上，过点的直线交抛物线于，两点，若，则直线的倾斜角的正弦值为______.

【答案】

【解析】

【分析】

求出，设过点的直线方程为，将直线与抛物线联立，利用韦达定理可得，，根据向量可得，从而求出直线的倾斜角，即求.

【详解】

因为点在抛物线：上，

所以，得，所以，

设过点的直线方程为：，

所以 ，所以，

设，，

所以，，

又因为，所以，

所以，因为直线的斜率，

由，所以或，所以.

故答案为：

【点睛】

本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了基本运算求解能力，属于中档题.

16．已知椭圆：的离心率为，三角形的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边、、的中点分别为、、，且三条边所在直线的斜率分别、、，且、、均不为.为坐标原点，若直线、、的斜率之和为，则 ______.

【答案】

【解析】

【分析】

求出椭圆方程，设出的坐标，利用椭圆中的结论：，，，结合直线的斜率之和为进行运算.

【详解】

因为椭圆的离心率为，所以，

又，，，

所以，，，

所以.

故答案为-2

【点睛】

解析几何小题若能灵活利用一些二级结论，能使问题的求解更简便，计算量更小，本题等三个结论均可利用设而不求点差法证出.

17．已知命题：方程表示椭圆，命题.

（1）若命题为真，求实数的取值范围；

（2）若为真，为真，求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

(1)由命题为真，可知成立，讨论和，即可得出结果;

(2)由为真，为真可知：为假，为真，进而可求出结果.

【详解】

（1）命题为真，

当时，，；

当时，不等式恒成立.

综上知，.

（2）若为真，则且

若为真，为真，为假，为真.

.

【点睛】

本题主要考查复合命题的真假，其中常涉及一元二次不等式成立或恒成立的问题，需要结合题意认真分析，避免失误即可，属于基础题型.

18．已知函数f(x)＝x－1＋ (a∈R，e为自然对数的底数)．

(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；

(2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求l的直线方程．

【答案】（1）e（2）（y＝(1－e)x－1.

【解析】

【分析】

（1）依题意，f′（1）=0，从而可求得a的值；

（2）设切点为（x0，y0），求出函数的切线方程，求出k即可得到结论．

【详解】

解　(1)f′(x)＝1－，因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝1－＝0，解得a＝e.

(2)当a＝1时，f(x)＝x－1＋，f′(x)＝1－.

设切点为(x0，y0)，

∵f(x0)＝x0－1＋＝kx0－1，①

f′(x0)＝1－＝k，②

①＋②得x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0.

若k＝1，则②式无解，∴x0＝－1，k＝1－e.

∴l的直线方程为y＝(1－e)x－1.

【点睛】

本题考查利用导数的几何意义的应用，考查利用导数研究曲线上某点切线方程，要求熟练掌握导数的应用．

19．已知椭圆：（）的一个焦点为，设椭圆的焦点恰为椭圆短轴上的顶点，且椭圆过点．

（1）求的方程；

（2）若直线与椭圆交于，两点，求．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据椭圆的方程求出，得到椭圆的焦点，再由椭圆过点，根据椭圆定义求出椭圆的长轴长，得出短轴长， 从而可求出椭圆的方程；

（2）设，，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，结合弦长公式，即可得出结果.

【详解】

（1）由椭圆：（）的一个焦点为，得，且，

∴椭圆的焦点为，．又椭圆过点，

∴椭圆的长轴长为．

∴椭圆的半长轴长为，半焦距为，则短半轴长为．

∴的方程为；

（2）设，，

联立 消去，整理得，

则，，

 ∴.

【点睛】

本题主要考查求椭圆的标准方程，考查求椭圆的弦长，属于常考题型.

20．已知抛物线上的点到焦点F的距离为.

（1）求的值；

（2）过点作直线交抛物线于两点，且点是线段的中点，求直线方程.

【答案】（1），；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用抛物线焦半径公式可求得，将代入抛物线方程可求得；

（2）利用点差法可求得直线斜率，由点斜式可求得直线的方程.

【详解】

（1）由抛物线焦半径公式知：，解得：，

，，解得：.

（2）设，，

则，两式作差得：，

，

为的中点，，，

直线的方程为：，即.

【点睛】

本题考查抛物线焦半径公式的应用、点差法求解中点弦方程的问题；关键是熟练掌握点差法.

21．已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍，且经过点.

（1）求的标准方程；

（2）的右顶点为，过右焦点的直线与交于不同的两点，，求面积的最大值.

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】

（1）利用已知条件，结合椭圆方程求出，即可得到椭圆方程．
（2）设出直线方程，联立椭圆与直线方程，利用韦达定理，弦长公式，列出三角形的面积，再利用基本不等式转化求解即可．

【详解】

（1）解：由题意解得，，

所以椭圆的标准方程为．

（2）点，右焦点，由题意知直线的斜率不为0，

故设的方程为，，，

联立方程得消去，整理得，

∴，，，

，

当且仅当时等号成立，此时：，

所以面积的最大值为．

【点睛】

本题考查椭圆的性质和方程的求法，考查联立直线方程和椭圆方程消去未知数，运用韦达定理化简整理和运算能力，属于中档题．

22．已知椭圆过点，且离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）过作斜率分别为的两条直线，分别交椭圆于点，且，证明：直线过定点．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)把代入中，求出，再根据离心率为和可解.                                                              

(2) 直线斜率不存在时，容易求出方程；当直线斜率存在时，设直线方程为，联立直线方程和椭圆方程，表示出两根之和与两根之积，利用，找到，代入到原直线方程中，利用分离参数法，可求定点.

【详解】

解:（1）由题意，椭圆过点，即，解得，

由离心率为，又由，解得，所求椭圆方程为：.

（2）当直线斜率不存在时，设直线方程为，则，

则，所以，解得，

直线方程为

当直线斜率存在时，设直线方程为，

联立方程组，得，

设，则（*），

则，

将*式代入化简可得：，即，

时，或与重合，不符合题意，所以，

代入直线方程，得，

即，联立方程组，解得，恒过定点

显然也通过.

所以直线过定点．

【点睛】

考查求椭圆的标准方程以及直线过定点问题，难题.