2020-2021学年辽宁省抚顺市高二上学期期中考试数学试题 Word版

抚顺市2020-2021学年度上学期期中教学质量检测

高二数学试卷

考试时间：120分钟，试卷满分：150分

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分

第I卷 选择题（共60分）

一、单选题（本大题共8道小题，每题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．将答案填写在答题纸相应位置上．）

1.设a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，那么下列命题中正确的是（   ）
A．若a，b与α所成的角相等，则a∥b        B．若α⊥β，a∥α ，则a⊥β

C．若a⊥α，a∥β， 则α⊥β                 D．若a∥α，b∥β，则a∥b

2.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=AC=AA1=1，BC=，则异面直线A1C与B1C1所成的角为（   ）
A．90°                                   B．60°

C．45°                                   D．30°

3.已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，则该球的表面积为（   ） 

A．48π               B．32π           C．24π              D．16π

4.如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，这样，给出下列五个结论： 
①SG⊥平面EFG；   ②SD⊥平面EFG；   ③GF⊥平面SEF；

  ④EF⊥平面GSD；   ⑤GD⊥平面SEE.      

其中正确的是（   ） 
A．①和③                                B．②和⑤ 

C．①和④                                D．②和④

5.若直线mx+ny=4与圆x2+y2=4没有交点，则过点P(m，n) 的直线与椭圆的交点的个数为（   ）
A．0或1             B．2                C．1                D．0

6.已知F1，F2分别是椭圆E：的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若AF=3|FB|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为（   ）

A．        B．      C．       D． 

7.若椭圆的离心率e=，右焦点为 F(c，0)，方程 ax2+2bx+c=0的两个实数根分别是x1和x2，则点P(x1，x2)到原点的距离为（   ）

A．               B．             C．2               D．

8.已知椭圆和双曲线有公共焦点F1，F2，P为这两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值等于（   ）

A．3                 B．             C．             D．

二、多选题：(本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分．)

9.给定下列四个命题，其中为真命题的是（   ）
A．若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行
B．若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直
C．垂直于同一直线的两条直线相互平行
D．若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直

10.在体积为 的四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，AB=1，BC=2，BD=3则CD的长可以是（   ）

A．               B．             C．7                D．19

11.若曲线与直线有两个交点，则实数k的取值可以是（   ）

A．0.3                B．0.75              C．0.8               D．0.6

12.正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱的长度均相等，D为AA1的中点，

M，N分别是线段BB1和线段CC1上的动点(含端点)，且满足

BM=C1N，当M，N运动时，下列结论正确的是（   ）

A．在△DMN内总存在与平面ABC平行的线段
B．平面DMN⊥平面BCC1B1 

C．三棱锥A-DMN的体积为定值
D．△DMN可能为直角三角形

第Ⅱ卷 非选择题（共90分）

三、填空题：（本题共4小题,每小题5分,共20分)

13.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线的第一象限的交点为P.若∠PF1F2=30°，则该双曲线的离心率为          .

14.如图，已知圆锥SO的母线SA的长度为2，一只蚂蚁从点B绕着圆锥侧面爬回

点B的最短路程为2，则圆锥SO的底面半径为          .

15.已知双曲线的方程为，过点P(2，1)作直线1交双曲线于P1，P2两点，

且点P为线段P1P2的中点，则直线l的方程为          .

16.已知二面角α-l-β为60°，动点PQ分别在平面α，β，内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则PQ两点之间距离的最小值为          .

四、解答题：(本题共6小题，共70分)

17.已知点M(0，3)，N(-4，0)及点P(-2，4)； 

(1)若直线l经过点P且l∥MN，求直线l的方程； 

(2)求△MNP的面积。

18.如图，在空间几何体A-BCDE中，底面BCDE是梯形，且CD∥BE，CD=2BE=4，∠CDE=60°，△ADE是边长为2的等边三角形。 

(1)若F为AC的中点，求证：BE∥平面ADE；
(2)若 AC=4，求证：平面 ADE⊥平面 BCDE. 

19.

(1)求经过点A(5，2)，点B(3，2)，且圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程；

(2)已知圆上的点C(2，3)关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上，若该圆与直线x-y+1=0相交的弦长为，求这个圆的方程。

20.已 知 三 棱 柱ABC-A1B1C1中BC=1，CC1=BB1=2，AB=，∠BCC1=60°，AB⊥侧面BB1C1C
(1)求证：C1B⊥平面ABC；
(2)求三棱柱ABC-A1B1C1的体积， 
(3)试在棱CC1(不包含端点C，C1)上确定一点E，使得EA⊥EB1； 

21.如图，在组合体中，ABCD-A1B1C1D1是一个长方体，P-ABCD是一个四棱锥.AB=2，BC=3，点P∈平面CC1D1D且PD=PC=2
(1)证明：PD⊥平面PBC;
(2)求直线PA与平面ABCD所成角的正切值； 
(3)若AA1=a，当a为何值时，PC∥平面AB1D. 

22.已知抛物线y2=2px(p＞0)上的点T(3，t)到焦点F的距离为4.

(1)求t，p的值；

(2)设抛物线的准线与x轴的交点为M，是否存在过点M的直线l交抛物线于A，B两点(点B在点A的右侧)，使得直线AF与直线OB垂直？若存在，求出△AFB的面积，若不存在，请说明理由.

抚顺市2020-2021学年度上学期期中教学质量检测

高二数学试卷答案

一、单选题（本大题共8道小题，每题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．将答案填写在答题纸相应位置上．）

1.C       2.B       3.A       4.C       5.B       6.A       7.A       8.A

二、多选题：(本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分。)

9.BD       10.AB       11.BD       12.ABC

三、填空题：（本题共4小题,每小题5分,共20分)

13.       14.       15.       16.  

四、解答题：(本题共6小题，共70分)

17.(1)          (2)VNMP的面积为5

18.(1)如图所示，取DA的中点G，连接FG，GE.
∵F为AC的中点，

∴GF∥DC，且GF=DC.又DC∥BE，CD=2BE=4，

∴EB∥GF，且EB=GF
∴四边形 BFGE是平行四边形， 
∴BF∥EG.(3分) 
∵EG平面ADE，BF平面ADE， 

∴BF∥平面 ADE.(5分) 

(2)取DE的中点H，连接AH，CH. 

∵△ADE是边长为2的等边三角形， 

∴AH⊥DE，且AH=.
在△DHC中，DH=1，DC=4，∠HDC=60°
根据余弦定理可得HC2=DH2+ DC2-2DH·DCcos60°=12+42-2×1×4×=13，即HC=.
在△AHC中，AH=，HC=，AC=4.
所以AC2=AH2+HC2，即AH⊥HC.
 
∵AH平面ADE，∴平面 ADE⊥平面 BCDE.(10分) 

19.解：(1)设圆的方程为.
 

又点A(5，2)，点B(3，2)在圆上， ②

由①②③得D=-8，E=-10，F=31，此时D2+E2-4F>0，

圆的方程为.(6分)
(2)设圆的方程为
  由题意知圆心(a，b)在直线x+2y=0上，
  ∴a+2b=0 ④.(8分)

∵点C(2，3)在圆上，

∴⑤

又∵圆与直线x-y+1=0相交的弦长为2，

∴圆心(a，b)到直线x-y+1=0的距离，

∴ ⑥（10分）

由④⑤⑥得a=6，b=-3，r=或a=14，b=-7，r=；

所求圆的方程为或

20.解：(1) ∵BC=1，CC1=BB1=2，AB=，∠BCC1=60°，AB⊥侧面BB1C1C

∴AB⊥BC1(1分)
在△BCC1中，由余弦定理得BC=，则BC2+BC2=CC2，

∴BC⊥BC1(2分)

又∵BC∩AB=B，且AB，BC平面ABC，

∴C1B⊥平面ABC.(4分)

(2)由已知可得S△ABC=AB·BC=××1=

由(1)知C1B⊥平面ABC，C1B=，
所以三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC·C1B=×=.（8分）

(3)在棱CC1：(不包含端点C，C1)上取一点E，连接BE.

∵EA⊥EB，AB⊥EB，AB∩AE=A，AB，AE平面ABE，

∴BE⊥平面ABE.
又∵BE平面ABE，

∴BE⊥EB.
不妨设CE=x(0＜x＜2)，则C1E=，

在△BCE中，由余弦定理得BE=

在△B1C1E中，∠B1C1E=120°，由余弦定理得B1E2=

在Rt△BEB1中，由B1E2+BE2=B1B2，得，

解得x=1或x=2(舍去).

故E为CC1的中点时，EA⊥EB1.(12分)

21.(1)证明：∵PD=PC=，CD=AB=2，

∴△PCD为等腰直角三角形，所以PD⊥PC.(1分)

又∵ABCD-A1B1C1D1是一个长方体，
∴BC⊥平面 CC1D1D，而P∈平面CC1D1D，

∴PD平面CC1D1D，所以BC⊥PD.(3分)

又∵PC∩BC=C，

∴PD平面PBC.(4分)

(2)如图，过P点作PE⊥CD，连接AE.

  ∵平面ABCD⊥平面PCD，所以PE⊥平面ABCD，
∴∠PAE 就是直线PA与平面ABCD所成的角.(6分)

又∵ PD=PC=2，PD⊥PC，所以PE=1，DE=1，所以，
∴.
∴直线 PA 与平面 ABCD所成角的正切值为.(8分) 

(3)当a=2时，PC∥平面AB1D.理由如下：如图，连接C1D， 
∵a=2，

∴四边形CC1D1D是一个正方形，

∴∠CDC=45°，而∠PDC=45°，
∴∠PDC=90°，所以C1D⊥PD.

又∵PC⊥PD，C1D与PC在同一个平面内，

∴PC∥C1D.(10分)
又∵C1D平面AB1C1D
  ∴PC∥平面AB1C1D

∴PC∥平面AB1D.(12分)

22.解：(1)由题意及抛物线的定义得，则p=2，(2分)

∴抛物线的方程为，
又∵点T在抛物线上，故，解得.(4分)
(2)由(1)易得M(-1，0) ，F(1，0).
  设A(x1，y1)，B(x2，y2)假设存在直线l满足题意，设其方程为x = my-1(m≠0)，
  将其代入得，
 

由Δ=16m2-16＞0，得m＞1或m＜-1.(6分)
又直线AF与直线OB 垂直，易知直线 AF与直线OB的斜率都存在，所以kAF·kOB=-1，
即，
所以
故.(8分)
又，解得，满足Δ＞0，
所以满足条件的直线l的方程为.(10分)

又点F到直线l的距离

所以△AFB的面积