2020-2021学年江苏省南京市高二上学期期中考试模拟数学试题 Word版

南京市2020～2021学年度第一学期期中调研模拟卷

                      高 二 数 学                  2020.10

一、单选题（本大题共8小题，每小题 4分，共32分）

1．已知，，则的最大值为（ ▲ ）

A． B．2 C．4 D．

2．若△ABC中，，则此三角形的形状是（ ▲ ）

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形

3．设，是不同的直线，，，是三个不同的平面，有以下四个命题：

①若，，则；

②若，，，则；

③若，，则．

④若，，，则；其中正确命题的序号是（ ▲ ）

A．①③ B．②③ C．③④ D．①④

4．已知双曲线：（，），过的右焦点作垂直于渐近线的直线交两渐近线于，两点，，两点分别在一、四象限，若，则双曲线的离心率为（ ▲ ）

A． B． C． D．

5．已知直线与圆交于不同的两点是坐标原点，且有，那么的取值范围是（ ▲ ）

A． B． C． D．

6．在菱形中，，将沿对角线折起使得二面角的大小为60°，则折叠后所得四面体的外接球的半径为（ ▲ ）

A． B． C． D．

7．已知点是的重心，，若，，则的最小值是（ ▲ ）

A． B． C． D．

8．过抛物线焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，若以线段为直径的圆与直线相切，则直线l的方程为（ ▲ ）

A．或 B．或

C．或 D．或

二、多选题（本大题共4 小题，每小题5分，共 20 分）

9．已知，且，则（ ▲ ）

A． B．

C． D．

10．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，则下列式子正确的是（ ▲ ）

A． B． 

C． D．

11．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是正三角形，M为线段的中点，点N为底面内的动点，则下列结论正确的是（ ▲ ）

A．若，则平面平面

B．若，则直线与平面所成的角的正弦值为

C．若直线和异面，则点N不可能为底面的中心

D．若平面平面，且点N为底面的中心，则

12．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线l：，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ▲ ）

A．点P的轨迹曲线是一条线段

B．点P的轨迹与直线：是没有交会的轨迹即两个轨迹没有交点

C．不是“最远距离直线”

D．是“最远距离直线”

三、填空题（本大题共4 小题，每小题5分，共 20 分）

13．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2cosAsinB=sinA+2sinC．则B=

   ▲   .

14．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为   ▲   ．

15．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆现有，，，则当的面积最大时，它的内切圆的半径为   ▲   .

16．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，且，线段的垂直平分线过点，则抛物线的方程是

     ▲     ；若直线过点，则   ▲   .

四、解答题（本大题共6 小题，共 78 分）

17．（10分）在中，，，分别是角，，的对边，并且.已知

   ▲   ，计算的面积.请①，②，③这三个条件中任选两个，将问题（1）补充完整，并作答.注意，只需选择其中的一种情况作答即可.

18．（12分）如图，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点.

（1）若点的横坐标为，求的值.

（2）若将绕点逆时针旋转，得到角(即)，

若，求的值.

19．（12分）在平面直角坐标系中，点为动点，已知点，，直线与的斜率之积为定值．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）若，过点的直线交轨迹于、两点，以为对角线的正方形的第三个顶点恰在轴上，求直线的方程．

20．（14分）如图所示，该几何体是由一个直三棱柱和一个正四棱锥组合而成，，．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）求正四棱锥的高，使得二面角

的余弦值是．

21．（14分）已知点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点.

（1）证明：直线过定点，并求出定点的坐标；

（2）若直线交椭圆于、两点，、分别是、的面积，求的最小值.

22．（16分）已知圆的圆心在直线上，与轴正半轴相切，且被直线：截得的弦长为.

（1）求圆的方程；

（2）设点在圆上运动，点，且点满足，记点的轨迹为.

①求的方程，并说明是什么图形；

②试探究：在直线上是否存在定点(异于原点)，使得对于上任意一点，都有为一常数，若存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，说明理由.

参考答案

1．B

2．A

3．D

4．B

5．C

6．A

7．C

8．B

9．AB

10．BC

11．ABC

12．BCD

13．

14．

15．

16．       

17．答案不唯一，见解析

18．（1）（2）

19．（1）；（2）或．

20．（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）．

21．（1）定点坐标为，证明见解析；（2）.

22．（1）；（2）①，是圆；②存在， .