人教版新课标A选修2-1第二章 圆锥曲线与方程综合与测试同步训练题

这是一份人教版新课标A选修2-1第二章 圆锥曲线与方程综合与测试同步训练题，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
人教新课标A版选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
一、单选题
1.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的两个焦点分别为 F1 ， F2 ， P 是椭圆 C 上的动点， |PF1|+|PF2|= 10 ， |PF1| 的最小值为1，则 C 的焦距为（    ）
A. 10                                           B. 8                                           C. 6                                           D. 4
2.双曲线 x23−y26=1 的焦点到渐近线的距离为（   ）
A. 63                                       B. 2                                       C. 3                                       D. 6
3.“椭圆 x29+y2m=1 的离心率为 53 ”是“ m=4 ”的（    ）
A. 充要条件              B. 充分不必要条件             
C. 必要不充分条件              D. 既不充分也不必要条件
4.已知抛物线 y2=2mx 与椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 有相同的焦点 F ， P 是两曲线的公共点，若 |PF|=5m6 ，则椭圆的离心率为（    ）
A. 32                                   B. 3−32                                   C. 2−22                                   D. 12
5.抛物线 C ： y2=2px (p>0) 的焦点为 F ，过点 A(4,6) 且平行于 x 轴的直线与线段 AF 的中垂线交于点 M ，若点 M 在抛物线 C 上，则 |MF|= （    ）
A. 52 或 72                                 B. 32 或 52                                 C. 1或3                                 D. 2或4
6.若双曲线 y2a2−x2b2=1(a>0,b>0) 的实轴长为6，离心率 e=53 ，则其焦点坐标为（    ）
A. (±4,0)                              B. (0,±4)                              C. (±5,0)                         D. (0,±5)
7.已知抛物线 C:x2=3y ，过点 P(m,−34)(m∈R) 作抛物线的切线 PA 、 PB ，切点分别为 A 、 B ，则 A 、 B 两点到 x 轴距离之和的最小值为（    ）
A. 3                                      B. 32                                      C. 332                                      D. 334
8.设复数 z1=−1+i ， z2=3−i （ i 是虚数单位），若复数 z 满足 |z−z1|−|z−z2|=4 ，则 |z−z1+z22| 的最小值是（    ）
A. 1                                         B. 2                                         C. 2                                         D. 3
9.已知点 P 为椭圆 E ： y2a2+x2b2=1(a>b>0) 的下顶点， M,N 在椭圆上，若四边形 OPNM 为平行四边形， α 为直线 ON 的倾斜角，且 α∈(π6,π4] ，则椭圆 E 的离心率的取值范围为（    ）
A. (0,63]                        B. (0,32]                        C. [63,32]                        D. [63,223]
10.已知抛物线 x2=2py(p>0) 的焦点F是椭圆 y2a2+x2b2=1(a>b>0) 的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A、B两点，若 ΔFAB 是正三角形，则椭圆的离心率为（    ）
A. 12                                       B. 22                                       C. 33                                       D. 32
二、填空题
11.已知椭圆方程为 x24+y23=1 ，则其长轴长为        ， 焦点坐标为       .
12.已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 过点 (1,2), 其长轴长的取值范围是[4，6]，则该椭圆离心率的取值范围是________.
13.已知不过原点的动直线 l 交抛物线 C:x2=2py(p>0) 于 A,B 两点， O 为坐标原点，且 |OA+OB|=|OA−OB| ，若 △OAB 的面积的最小值为 64 ，则 p=       ；直线 l 过定点，该定点的坐标为      .
14.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则离心率e=________．
15.设椭圆 C1:x2a12+y2b2=1(a1>b>0) 与双曲线 C2:x2a22−y2b2=1(a2>0) 有公共焦点，过它们的右焦点 F 作 x 轴的垂线与曲线 C1 ， C2 在第一象限分别交于点 M ， N ，若 S△OMNS△OFM=12 （ O 为坐标原点），则 C1 与 C2 的离心率之比为________.
16.如图，过抛物线焦点F的直线交抛物线C1：y2=4x于A，B两点，且|AF|=4，双曲线C2： y2a2−x2b2 =1（a>0，b>0)过点．B，则双曲线的离心率是________ ．

17.意大利画家达·芬奇在绘制《抱银貂的女子》（下图）时曾仔细思索女子脖子上的黑色项链的形状是什么曲线？这就是著名的“悬链线问题”.后人研究发现悬链线方程与双曲余弦曲线密切关联，双曲余弦曲线 C 的解析式为 coshx=ex+e−x2 （ e 为自然对数的底数）.若直线 y=m 与双曲余弦曲线 C 交于点 A ， B ，曲线 C 在 A ， B 两点处的切线相交于点 P ，且 △APB 为等边三角形，则 m=       ， |AB|=        .

18.已知P为椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 上一点，F1、F2为椭圆的左、右焦点，B为椭圆右顶点，若 ∠PF1F2 平分线与 ∠PF2B 的平分线交于点 Q(6,6) ，则 SΔF1BQ+SΔF2BQ= ________.
19.已知F1､F2为双曲线 x2a2−y2b2 =1(a>0，b>0)的左､右焦点，过F2作倾斜角为60°的直线l交双曲线右支于A，B两点(A在x轴上方)，则 △AF1F2 的内切圆半径r1与 △BF1F2 的内切圆半径r2之比 r1r2 为________.
三、解答题
20.  
（1）求与双曲线 x2−y24=1 有相同渐近线且过点 A(2,0) 的双曲线方程；
（2）已知双曲线的离心率为 3 ，求该双曲线渐近线方程.








21.已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为（0,1）
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l2：y＝kx+m与抛物线C有唯一公共点P ， 且与直线l1：y＝﹣1相交于点Q ， 试问，在坐标平面内是否存在点N ， 使得以PQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．

22.已知椭圆C： x2a2+y2b2= 1（a＞b＞0）的离心率为 22 ，短轴一个端点到右焦点的距离为3 2 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y＝x﹣1与椭圆C交于不同的两点A、B，求|AB|．












23.已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 上的点 P 到左，右两焦点为 F1 ， F2 的距离之和为 22 ，离心率为 22 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过右焦点 F2 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点，若 y 轴上一点 M(0,37) 满足 |MA|=|MB| ，求直线 l 的斜率 k 的值.

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【解析】由已知得 {2a=10a−c=1 ，
解得 {a=5c=4 ，
∴焦距为8.
故答案为：B
【分析】由椭圆的定义及性质列方程组，即可得到结果.
2.【答案】 D
【解析】解：根据题意，双曲线的方程为 x23−y26=1 ，
其焦点坐标为 (±3,0) ，其渐近线方程为 y=±2x ，即 2x±y=0 ，
则其焦点到渐近线的距离 d=|32|1+2=6 ；
故答案为：D.
【分析】根据题意由双曲线的方程可得其渐近线方程及焦点坐标，可得焦点到渐近线的距离.
3.【答案】 C
【解析】由椭圆 x29+y2m=1 的离心率为 53 ，得 m=4 或 m=814 ；
由 m=4 ，得椭圆 x29+y2m=1 的离心率为 53 ．
故“椭圆 x29+y2m=1 的离心率为 53 ”是“ m=4 ”的必要不充分条件．
故答案为：C

【分析】先等价转化椭圆的离心率，再利用充分条件与必要条件的定义判断，即可得出答案。
4.【答案】 D
【解析】抛物线 y2=2mx 与椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 有相同的焦点 F , P 是两曲线的公共点,
所以 F(m2,0) ,即椭圆中的 c=m2
设 P(y22m,y) ,由抛物线定义可知 |PF|=y22m+m2
由题意 |PF|=5m6 ,即 y22m+m2=5m6
化简可得 y2=2m23
将 c=m2 变形为 m=2c 代入等式可得 y2=8c23
则 P 的坐标可化为 P(2c3,26c3)
由点 P 在椭圆上,代入可得 {49c2a2+83c2b2=1b2=a2−c2 ,化简可得 4c4−37a2c2+9a4=0
除以 a4 可化为 4e4−37e2+9=0 即 (4e2−1)(e2−9)=0
解得 e2=14 或 e2=9
因为 e∈(0,1)
所以 e=12
故选:D
【分析】根据两个曲线的焦点相同,可得 c=m2 .由抛物线定义可得 y2=2m23 .结合两式即可用 c 表示出 P 点坐标.代入椭圆方程,化简后根据齐次式形式即可求得离心率.
5.【答案】 A
【解析】若 A 点在抛物线外部，如下图，设线段 AF 的中点为 B ，
因为线段 AF 的中垂线是 MB ，所以 |MF|=|MA| ，
由抛物线定义， |MF| 又等于点 M 到准线 l 的距离 d ，而图中 |MA|0) 的实轴长为6，所以 2a=6⇒a=3 ，
又因为双曲线 y2a2−x2b2=1(a>0,b>0) 的离心率 e=53 ，所以 e=ca=53⇒c3=53⇒c=5 ，双曲线 y2a2−x2b2=1(a>0,b>0) 的焦点在纵横上，
所以该双曲线焦点的坐标为 (0,±5) .
故答案为：D

【分析】根据双曲线离心率的公式，结合实轴长的定义，焦点坐标公式进行求解即可。
7.【答案】 B
【解析】【解答】设 A(x1,x123), B(x2,x223) ，由抛物线 C:x2=3y 知： y′=2x3 ，
∴切线 PA 、 PB 分别为： y−x123=2x13(x−x1) ， y−x223=2x23(x−x2) ，
联立 PA 、 PB 的方程，可得： P(x1+x22,x1x23) ，而 P(m,−34)(m∈R) ，
∴ x1x2=−94 ，若设直线 AB 为 y=kx+b ，联立抛物线方程得： x2−3kx−3b=0 ，
∴ x1x2=−3b=−94 ，即 b=34 ，
而 x1+x2=3k ，
∴ y1+y2=k(x1+x2)+32=3k2+32 ，故当 k=0 时 y1+y2 有最小值 32 ，
故答案为：B
【分析】由题意得到切线 PA 、 PB 的方程，联立求得 P 点坐标，结合已知 P(m,−34)(m∈R) ，即可的 x1x2=−94 ，设直线 AB 为 y=kx+b 联立抛物线方程可求 b=34 ，即可求 A 、 B 两点到 x 轴距离之和的最小值.
8.【答案】 B
【解析】设复数 z 在复平面内对应的点 Z ,
因为 z1=−1+i , z2=3−i ,
所以 z1,z2 在复平面内所对应的点 Z1 、 Z2 之间的距离为 25 >4 ,
由 |z−z1|−|z−z2|=4 ,可得 Z 的轨迹是以 Z1,Z2 为焦点,,实半轴长 a=2 ,半焦距 c=5 的双曲线的右支,
而 z1+z22 =−1+i+3−i2=1 ,且点 (1,0) 在直线 Z1Z2 上,
所以 |z−z1+z22| 的最小值等于 (3,−1) 与 (1,0) 之间的距离减去 (c−a) ,
即 (3−1)2+(−1−0)2 −(5−2) =2.
故答案为： B .
【分析】由题意可得复数 z 在复平面内对应的点 Z 的轨迹为以 Z1,Z2 为焦点,实半轴长为2,半焦距为 c=5 的双曲线,求出 z1+z22 对应的点 (1,0) ,然后利用双曲线的性质可得答案.
9.【答案】 A
【解析】如图所示：

因为 OP 在 y 轴上，且 OPNM 为平形四边形，
所以 OP//MN ，且 M,N 的横坐标相等，纵坐标互为相反数.
由题意得 P(0,−a) 则点 M(x,a2) ， N(x,−a2) .
将 N(x,−a2) 代入椭圆 y2a2+x2b2=1 得 x2=34b2 ， x=−32b .
即 N(−32b,−a2) ， kON=tanα=−a2−32b=a3b .
因为 α∈(π6,π4] ，所以 33