人教版新课标A选修2-1第三章 空间向量与立体几何综合与测试一课一练

这是一份人教版新课标A选修2-1第三章 空间向量与立体几何综合与测试一课一练，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
人教新课标A版选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
一、单选题
1.已知 |a|=6 ， |b|=3 ，向量 a 在 b 方向上的投影是4，则 a⋅b ＝(　　)
A. 8                                          B. 12                                          C. －8                                          D. 2
2.如图，在四面体VABC中，已知VA⊥平面VBC，VA与平面ABC所成的角为45°，D是BC上一动点，设直线VD与平面ABC所成的角为θ，则（    ）

A. θ≤60°                                B. θ≥30°                                C. θ≤45°                                D. θ≤75°
3.已知向量 OA=(2,−1,2) ， OB=(2,2,1) ，则以 OA ， OB 为邻边的三角形 OAB 的面积（   ）
A. 654                                      B. 652                                      C. 2                                      D. 4
4.如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中，M，N分别是棱BB1 ， B1C1的中点，若∠CMN=90°，则异面直线AD1和DM所成角为（    ）

A. 30°                                       B. 45°                                       C. 60°                                       D. 90°
5.已知 |a|=2 ， |b|=1 ， a 与 b 的夹角为 2π3 ， e 是与向量 (a+b) 方向相同的单位向量，则 a 在向量 (a+b) 上的投影向量为（    ）
A. 3e                                 B. 32e                                 C. 277e                                 D. 577e
6.三棱锥 S−ABC 中， SA⊥ 底面ABC， SA=4 ， AB=3 ，D为AB的中点， ∠ABC=90° ，则点D到面 SBC 的距离等于（    ）
A.125 B.95 C.65 D.35
7.如图所示，平面 α∩ 平面 β=l ，二面角 α−l−β∈[π4,π3] ，已知 A∈α ， B∈β ，直线 AB 与平面 α ，平面 β 所成角均为 θ ，与 l 所成角为 γ ，若 sin(γ+θ)=1 ，则 sin(γ−θ) 的最大值是（    ）

A. 114                                        B. 17                                        C. 314                                        D. 27
8.在矩形ABCD中，AB=2BC=2，点P在CD边上运动(如图甲)，现以AP为折痕将 △DAP 折起，使得点D在平面ABCP内的射影 O 恰好落在AB边上(如图乙)．设 CP=x(0EH2BP=EHBP .因为 PD//CA ， E 在 PD 上， EH⊥ 平面 ABC 于 H ， PF⊥ 平面 ABC 于 F ，所以 EH=PF .所以 sinβ=PFBP=EHBP .所以 sinα>sinβ .由于 α,β 都是锐角，所以 α>β .
由于 P 在 VA 上，由对称性 PB=CP ，而 CP>PG ，则 sinγ=PFPG>PFCP=PFBP=sinβ ，由于 γ 也是锐角，所以 γ>β .
综上所述，三个角中的最小角是 β .
故答案为： β .
【分析】作出线线角 α ，线面角 β ，二面角 γ ，根据它们的正弦值，比较出它们的大小关系.
三、解答题
19.【答案】 （1）证明：取 AE 的中点 G ，连接 GF 、 GB .

∵点 F 为 DE 的中点，∴ GF//AD ，且 GF=12AD ，
又 AD//BC ， AD=2BC ，
∴ GF//BC ，且 GF=BC ，
∴四形边 CFGB 为平行四边形，则 CF//BG .
而 CF⊄ 平面 EAB ， BG⊂ 平面 EAB
∴ CF// 平面 EAB .
故向量 CF 、 EA 、 BA 共面

（2）解：∵ CF⊥AD ，∴ AD⊥BG ，
而 AB⊥AD ， BG∩AB=B ，
∴ AD⊥ 平面 EAB ，∴ AD⊥EA .
又平面 EAD⊥ 平面 ABCD ，平面 EAD∩ 平面 ABCD=AD ，
∴ EA⊥ 平面 ABCD .
如图，以 A 为坐标原点，分别以 AB 、 AD 、 AE 为 x 、 y 、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系
则 B(1,0,0) ， C(1,1,0) ， D(0,2,0) ， F(0,1,1) .
设平面 BCF 的一个法向量为 n1=(x,y,z) ，
则 {n1⋅BC=0n1⋅CF=0 ，即 {(x,y,z)⋅(0,1,0)=0(x,y,z)⋅(−1,0,1)=0 ，
不妨令 x=1 ，可得： n1=(1,0,1) .
设平面 CDF 的一个法向量为 n2 ，同理可求得 n2=(1,1,1) ，
∴ cos〈n1,n2〉=n1⋅n2|n1|⋅|n2|=1+0+112+02+12×12+12+12=63 .
∵二面角 D−CF−B 为钝二面角，
∴二面角 D−CF−B 的余弦值为 −63
【解析】【分析】(1)由已知条件结合中点的性质，即可得出线线平行由此得到 四形边 CFGB 为平行四边形 ，再由线面平行的判定定理即可得证出结论。
(2)利用线面垂直的性质定理以及判定定理即可得出线面垂直，即可得出线线垂直由此建立空间直角坐标系，求出点以及向量的坐标并设出平面BCF的法向量，结合数量积的坐标公式计算出法向量的坐标，再由向量夹角的公式代入计算出夹角的余弦值，由此得出二面角 D−CF−B 的余弦值即可。
20.【答案】 （1）证明：∵PA⊥面ABCD，EF⊂面ABCD，∴EF⊥AP，在△ABC中，AB＝AC， ∠BCD=135∘ ，
在平行四边形 ABCD 中，得∠ABC＝∠ACB＝45°，∴AB⊥AC，且 E ， F 分别为 BC ， AD 的中点，
∴四边形ABEF为平行四边形，∴AB∥EF，∴AC⊥EF，
∵AP∩AC＝C，AP⊂面PAC，AC⊂面PAC，∴EF⊥面PAC

（2）解：连接AE，AM，△ABC中，∵AB＝AC，E为BC的中点，∴AE⊥BC，平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴AE⊥AD，

∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴AE⊥PA，∵PA∩AD＝A，∴AE⊥平面PAD，
∴AM是EM在平面PAD中的射影，∴∠EMA是EM与平面PAD所成的角，
等腰直角三角形ABC，AB＝AC＝2，∴BC＝ 2 AB＝2 2 ，∴AD＝2 2 ， AE=2 ，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，∵PA＝4，∴PD＝ 42+(22)2=26 ，
又M为PD的中点，故 AM=6 ，在Rt△MAE中，tan∠EMA＝ AEAM ＝ 26=33 ，
∴直线ME与平面PAD所成角的正切值为 33 ，所以直线 ME 与平面 PAD 所成的角 arctan33
【解析】【分析】（1）由题意得EF⊥AP，AB⊥AC， E ， F 分别为 BC ， AD 的中点，从而四边形ABEF为平行四边形，AB∥EF，进而AC⊥EF，由此能证明EF⊥面PAC．（2）连接AE，AM，推导出AE⊥BC，AE⊥AD，AE⊥PA，从而AE⊥平面PAD，进而∠EMA是EM与平面PAD所成的角，由此能求出直线ME与平面PAD所成角．
21.【答案】 （1）在矩形 ABCD 中，连接 AC 交 BD 于点 O ，则 O 为 AC 的中点，连接 MO .
∵M 为 PC 的中点
∴OM//PA
又 ∵OM⊂ 平面 MBD ， PA⊂ 平面 MBD
∴PA// 平面 MBD

（2）方法一：
∵AD//BC ， BC⊂ 平面 PBC ， AD⊂ 平面 PBC
∴AD// 平面 PBC
∴D 到平面 PBC 的距离等于 A 到平面 PBC 的距离
∵PA⊥ 平面 ABCD ， BC⊂ 平面 ABCD
∴PA⊥BC ，又 ∵AB⊥BC ， PA∩AB=A
∴BC⊥ 平面 PAB
又 ∵BC⊂ 平面 PBC
∴ 平面 PBC⊥ 平面 PAB
过 A 作 AH⊥PB ，则 AH⊥ 平面 PBC ∴AH 即为所求.
在 Rt△PAB 中， PA=2 ， AB=1 ，解得 AH=255 .
方法二：(等体积法)
设 D 到平面 PBC 的距离为 ℎ
∵PA⊥ 平面 ABCD ， BC⊂ 平面 ABCD
∴PA⊥BC ，又 ∵AB⊥BC ， PA∩AB=A
∴BC⊥ 平面 PAB
∴BC⊥PB
∴S△PBC=12×2×5=5
∵VD−PBC=VP−BCD
∴13S△PBC⋅ℎ=13S△BCD⋅PA
又 ∵S△BCD=1
∴ℎ=255 .
【解析】【分析】 (1 )连接AC交BD于点O,则O为AC的中点，连接MO，由OM// PA,即可证明PA//平面MBD；
(2) 方法一： 可得D到平面P BC的距离等于A到平面PBC的距离，过A作AH⊥PB,则AH⊥平面PBC，AH即为所求；
方法二： 设 D 到平面 PBC 的距离为 ℎ ，根据等体积法即可求出。
 
 
22.【答案】 （1）依据题意,以点 A 为原点建立空间直角坐标系(如图),
可得 B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2) .
由 E 为棱 PC 的中点,得 E(1,1,1) .

证明:向量 BE=(0,1,1),DC=(2,0,0) ,
故 BE⋅DC=0 .所以 BE⊥DC

（2）向量 BD=(−1,2,0),PB=(1,0,−2) .
设 n=(x,y,z) 为平面 PBD 的法向量,
则 {n⋅BD=0,n⋅PB=0, 即 {−x+2y=0,x−2z=0,
不妨令 y=1 ,可得 n=(2,1,1) 为平面 PBD 的一个法向量.
于是有 cos〈n,BE〉=n⋅BE|n|⋅|BE|=26×2=33 .
所以直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值为 33 .

（3）向量 BC=(1,2,0),CP=(−2,−2,2),AC=(2,2,0),AB=(1,0,0) .
由点 F 在棱 PC 上,设 CF=λCP,0≤λ≤1 .
故 BF=BC+CF=BC+λCP=(1−2λ,2−2λ,2λ) .
由 BF⊥AC ,得 BF⋅AC=0 ,因此,
2(1−2λ)+2(2−2λ)=0 ,解得 λ=34 ,
则 BF=(−12,12,32) .设 n1=(x,y,z) 为平面 FAB 的法向量,
则 {n1⋅AB=0,n1⋅BF=0, 即 {x=0,−12x+12y+32z=0,
不妨令 z=1 ,可得 n1=(0,−3,1) 为平面 FAB 的一个法向量.
取平面 FAB 的一个法向量 n2=(0,1,0) ,则
cos〈n1,n2〉=n1⋅n2|n1|⋅|n2|=−310×1=−31010 .
易知,二面角 F−AB−P 是锐角,所以其余弦值为 31010 .
【解析】【分析】（1）利用空间向量的垂直关系即可判断线线垂直；
（2）利用空间向量直接求解线面角；
（3）利用空间向量直接求解二面角的平面角.