物理选修36 带电粒子在匀强磁场中的运动导学案

6　带电粒子在匀强磁场中的运动

素养目标定位

,

素养思维脉络

知识点1　带电粒子在匀强磁场中的运动

1．运动轨迹：

带电粒子(不计重力)以一定的速度v进入磁感应强度为B的匀强磁场时：

(1)当v∥B时，带电粒子将做__匀速直线__运动。

(2)当v⊥B时，带电粒子将做__匀速圆周__运动。

2．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动：

(1)运动条件：

不计重力的带电粒子沿着与磁场__垂直__的方向进入匀强磁场。

(2)洛伦兹力的作用：

提供带电粒子做圆周运动的__向心力__，即qvB＝__m__。

(3)半径和周期公式

①半径：r＝____；②周期：T＝____。

带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期与粒子__速度__和__运动半径__无关。

知识点2　质谱仪

用来分析各种元素的同位素并测量其质量及含量百分比的仪器。

1．构造

如图所示，主要由以下几部分组成：

①带电粒子注射器

②加速电场(U)

③_速度选择器(B1、E)__

④_偏转磁场(B2)__

⑤照相底片

2．原理

(1)加速电场加速：根据动能定理：__qU__＝mv2。

(2)匀强磁场偏转：洛伦兹力提供向心力：__qvB__＝。

(3)结论：r＝____，测出半径r，可以算出粒子的比荷或算出它的质量。

知识点3　回旋加速器

1．构造图

2．工作原理

(1)电场的特点及作用

特点：两个D形盒之间的窄缝区域存在__周期性变化__的电场。

作用：带电粒子经过该区域时被__加速__。

(2)磁场的特点及作用

特点：D形盒处于与盒面垂直的__匀强__磁场中。

作用：带电粒子在洛伦兹力作用下做__匀速圆周__运动，从而改变运动方向，__半个__ 周期后再次进入电场。

思考辨析

『判一判』

(1)带电粒子在匀强磁场中一定做匀速圆周运动。(　×　)

(2)带电粒子在磁场中做圆周运动时，速度越大，半径越大。(　√　)

(3)带电粒子在磁场中做圆周运动时，速度越大，周期越大。(　×　)

(4)利用质谱仪可以测定带电粒子的质量和分析同位素。(　√　)

(5)回旋加速器的加速电压越高，带电粒子获得的最终动能越大。(　×　)

『选一选』

速率相同的电子垂直磁场方向进入四个不同的磁场，其轨迹如图所示，则磁场最强的是(　D　)

解析：由qvB＝m得r＝，速率相同时，半径越小，磁场越强，选项D正确。

『想一想』

如图是一台粒子回旋加速器，它的直径长达2 km，请思考：回旋加速器直径为什么要这样大？

解析：根据qvB＝m可知v＝，若要提高粒子的速度需增大加速器的半径和磁感应强度，故粒子回旋加速器的半径一般都很大。

探究一　带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动　

S 1

同一种带电粒子以不同的速度垂直射入匀强磁场，只受洛伦兹力作用，其运动轨迹如图所示，观察图片，请思考：

这三个轨迹都是圆吗？对应的粒子的速度大小相等吗？

提示：是圆；速度不相等v3>v2>v1。

G

1．两种常见的运动情况：

(1)匀速直线运动：带电粒子的速度方向与磁场方向平行(相同或相反)，此时带电粒子所受洛伦兹力为零，带电粒子将以速度v做匀速直线运动。

(2)匀速圆周运动：带电粒子垂直射入匀强磁场，由于洛伦兹力始终和运动方向垂直，因此不改变速度大小，但是不停地改变速度方向，所以带电粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供匀速圆周运动的向心力。

2．匀速圆周运动的轨道半径和周期

质量为m电荷量为q的带电粒子垂直磁场方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中。

(1)若不计粒子重力，运动电荷只受洛伦兹力作用，由洛伦兹力提供向心力，即qvB＝m，可得r＝。

(2)由轨道半径与周期的关系可得：T＝＝＝。

3．有界磁场内部分圆周轨迹的分析方法：

(1)圆心的确定

①已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图a所示，图中P为入射点，M为出射点)。

②已知入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图b所示，图中P为入射点，M为出射点)。

(2)半径的确定

半径的计算一般利用几何知识解直角三角形。做题时一定要做好辅助线，由圆的半径和其他几何边构成直角三角形。

(3)粒子在磁场中运动时间的确定

①粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间由下式表示：

t＝T(或t＝T)。

②当v一定时，粒子在磁场中运动的时间t＝，l为带电粒子通过的弧长。

D

典例1　(2019·湖南省益阳市高二下学期期中)如图所示，在第一象限内有垂直纸面向里的匀强磁场(磁场足够大)，一对正、负电子分别以相同速度沿与x轴成30°角的方向从原点垂直磁场射入，则负电子与正电子在磁场中运动时间之比为：(不计正、负电子间的相互作用力)(　D　)

A．1︰　　　 B．2︰1　　　

C．︰1　　 D．1︰2

解题指导：解答本题时可按以下思路分析：

→→→→

解析：电子在磁场中做圆周运动的周期：T＝相等，电子在磁场中做圆周运动的轨迹如图所示，

由几何知识可知：α＝120°，β＝60°，

电子在磁场中的运动时间：t＝ T，

负电子与正电子在磁场中运动时间之比：

＝＝＝，故选D。

〔对点训练1〕　(多选)(2019·吉林省四平市实验中学高二上学期期末)如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，三个质量和电荷量相同的带电粒子a、b、c，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入磁场，其运动轨迹如图。若带电粒子只受磁场力的作用。则下列说法正确的是(　AC　)

A．a粒子速率最小

B．c粒子速率最小

C．a粒子在磁场中运动时间最长

D．它们做圆周运动的周期Ta<Tb<Tc

解析：由运动轨迹可知ra<rb<rc，根据r＝，可知vc>vb>va，根据运动轨迹对应的圆心角及周期公式，可知a粒子在磁场中运动时间最长，它们的周期相等，综上所述，选项BD错，AC正确。

探究二　质谱仪　

S 2

如图为质谱仪原理示意图。设粒子质量为m、电荷量为q，加速电场电压为U，偏转磁场的磁感应强度为B。则粒子进入磁场时的速度是多大？打在底片上的位置到S3的距离多大？

提示：v＝　S＝,

G

1．带电粒子运动分析

(1)加速电场加速：根据动能定理，qU＝mv2。

(2)匀强磁场偏转：洛伦兹力提供向心力，qvB＝。

(3)结论：r＝，测出半径r，可以算出粒子的比荷或算出它的质量。

2．质谱仪区分同位素

由qU＝mv2和qvB＝m可求得r＝。同位素电荷量q相同，质量不同，在质谱仪荧光屏上显示的半径就不同，故能通过半径大小区分同位素。

D

典例2　质谱仪原理如图所示，a为粒子加速器，电压为U1；b为速度选择器，磁场与电场正交，磁感应强度为B1，板间距离为d；c为偏转分离器，磁感应强度为B2。今有一质量为m、电荷量为＋e的正电子(不计重力)，经加速后，该粒子恰能通过速度选择器，粒子进入分离器后做半径为R的匀速圆周运动。求：

(1)粒子射出加速器时的速度v为多少？

(2)速度选择器的电压U2为多少？

(3)粒子在B2磁场中做匀速圆周运动的半径R为多大？

解题指导：解答此类问题要做到：

(1)对带电粒子进行正确的受力分析和运动过程分析。

(2)选取合适的规律，建立方程求解。

解析：(1)在a中，e被加速电场U1加速，由动能定理有eU1＝mv2，得v＝

(2)在b中，e受的电场力和洛伦兹力大小相等，即e＝evB1，代入v值得U2＝B1d

(3)在c中，e受洛伦兹力作用而做圆周运动，回转半径R＝，代入v值得R＝

答案：(1)　(2)B1d　(3)

〔对点训练2〕　(2019·福州市八县(市)协作校高二上学期期末)如图所示，一个质量为m，电荷量为q的带正电的粒子(不计重力)，从静止开始经电压U加速后，沿水平方向进入一垂直于纸面向外的匀强磁场B中，带电粒子经过半圆到A点，设OA＝y，则能正确反映y与U之间的函数关系的图象是(　C　)

解析：粒子在电场中加速，由动能定理得：qU＝mv2－0，粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvB＝m，由几何知识得：y＝2r，解得：y＝，则y2＝U，图C所示图象正确；故选C。

探究三　回旋加速器　

S 3

右图是回旋加速器的原理图，已知D形盒的半径为R，匀强磁场的磁感应强度为B，交变电流的周期为T，若用该回旋加速器来加速质子，设质子的质量为m，电荷量为q，请思考：

(1)回旋加速器中磁场和电场分别起什么作用？质子每次经过狭缝时，动能的增加量是多少？

(2)对交流电源的周期有什么要求？

(3)带电粒子获得的最大动能由哪些因素决定？

提示：(1)磁场的作用是使带电粒子回旋，电场的作用是使带电粒子加速。动能的增加量为qU。

(2)交流电源的周期应等于带电粒子在磁场中运动的周期。

(3)粒子的最大动能决定于磁感应强度B和D形盒的半径R。,

G

1．工作原理

(1)磁场的作用：带电粒子以某一速度垂直磁场方向进入匀强磁场后，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，其周期与速率、半径均无关，带电粒子每次进入D形盒都运动相等的时间(半个周期)后平行电场方向进入电场中加速。

(2)电场的作用：回旋加速器两个D形盒之间的窄缝区域存在周期性变化的并垂直于两D形盒正对截面的匀强电场，带电粒子经过该区域时被加速。

(3)交变电压：为保证带电粒子每次经过窄缝时都被加速，使之能量不断提高，需在窄缝两侧加上跟带电粒子在D形盒中运动周期相同的交变电压。

2．带电粒子的最终能量

当带电粒子的速度最大时，其运动半径也最大，由r＝得v＝，若D形盒半径为R，则带电粒子的最终动能E m＝。

可见，要提高加速粒子的最终能量，应尽可能增大磁感应强度B和D形盒的半径R。

D

典例3　(2019·新疆实验中学高二第一学期期末)如图1是回旋加速器D型盒外观图，如图2是回旋加速器工作原理图。已知D型盒半径为R，电场宽度为d，加速电压为u，磁感应强度为B，微观粒子质量是m，带正电q，从S处从静止开始被加速，达到其可能的最大速度vm后将到达导向板处，由导出装置送往需要使用高速粒子的地方。下列说法正确的是(　C　)

A．D型盒半径，高频电源的电压是决定vm的重要因素

B．粒子从回旋加速器中获得的动能是

C．粒子在电场中的加速时间是

D．高频电源的周期远大于粒子在磁场中运动的周期

解题指导：回旋加速器的半径一定，根据洛伦兹力提供向心力，求出最大速度，可知最大动能与什么因素有关。粒子只在电场中被加速，根据v＝at求解加速时间；回旋加速器中粒子在磁场中运动的周期等于高频电源的变化周期。

解析：根据qvB＝m知，v＝，则粒子的最大动能Ek＝mv2＝，与加速的电压无关，而最大动能与加速器的半径、磁感应强度以及电荷的电量和质量有关。故AB错误；在加速电场中的加速度a＝，根据v＝at解得在电场中的加速时间：t＝＝，选项C正确；要想使得粒子在电场中不断得到加速，则高频电源的周期必须等于粒子在磁场中做圆周运动的周期，选项D错误。

〔对点训练3〕　1930年劳伦斯制成了世界上第一台回旋加速器，其原理如图所示，这台加速器由两个铜质D形盒D1、D2构成，其间留有空隙，下列说法正确的是(　B　)

A．回旋加速器只能用来加速正离子

B．离子从D形盒之间空隙的电场中获得能量

C．离子在磁场中做圆周运动的周期是加速交变电压周期的一半

D．离子在磁场中做圆周运动的周期是加速交变电压周期的2倍

解析：回旋加速器可以加速正电荷，也可以加速负电荷。故A错误。回旋加速器利用电场加速，在磁场中速度大小不变，运用磁场偏转。故B正确。离子在磁场中做圆周运动的周期与加速交变电压的周期相等。故C、D错误。故选B。

带电粒子在有界磁场中的运动规律

1．解题程序——三步法

(1)画轨迹

即确定圆心，几何方法求半径并画出轨迹。

(2)找联系

轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，在磁场中运动的时间与周期、圆心角相联系。

(3)用规律

即牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式、半径公式。

2．带电粒子在不同边界磁场中的运动轨迹

(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)

(2)平行边界(存在临界条件，如图所示)

(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图所示)

案例　平面OM和平面ON之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图所示，平面OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m，电荷量为q(q>0)。粒子沿纸面以大小为v的速度从OM的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角。已知粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场。不计重力。粒子离开磁场的出射点到两平面交线O的距离为(　D　)

A． B．　　　　　　　　　

C．　　　　　　　 D．

解析：如图所示为带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹示意图，设出射点为P，粒子运动轨迹与ON的交点为Q，粒子入射方向与OM成30°角，则射出磁场时速度方向与MO成30°角，由几何关系可知，PQ⊥ON，故出射点到O点的距离为轨迹圆直径的2倍，即4R，又粒子在匀强磁场中运动的轨迹半径R＝，所以D正确。