高中物理人教版 (新课标)选修3选修3-1第三章 磁场6 带电粒子在匀强磁场中的运动学案

带电粒子在匀强磁场中的运动

必备知识·自主学习

一、带电粒子在匀强磁场中运动

1.用洛伦兹力演示仪观察运动电子在磁场中运动:

2.洛伦兹力的作用效果:

(1)洛伦兹力只改变带电粒子速度的方向,不改变带电粒子速度的大小。

(2)洛伦兹力不对带电粒子做功,不改变粒子的能量。

二、带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的分析

1.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供:qvB=m。

2.带电粒子做圆周运动的轨道半径和周期:

(1)轨道半径:r=。

粒子的轨道半径与粒子的速率成正比

(2)运动周期:T==。

带电粒子的周期与轨道半径和速度无关,而与成反比。

三、质谱仪与回旋加速器

1.质谱仪:

(1)构造:由粒子源、加速电场、偏转磁场和照相底片等构成。

(2)原理:

①加速:带电粒子进入质谱仪的加速电场,由动能定理:qU=mv2。

②偏转:带电粒子进入质谱仪的偏转磁场,洛伦兹力提供向心力:qvB=。

由以上两式可以求出粒子的比荷、质量以及偏转磁场的磁感应强度等。

2.回旋加速器:

(1)构造:两半圆金属盒D1、D2 ,D形盒的缝隙处接交流电源。D形盒处于匀强磁场中。

(2)原理:

①粒子从电场中获得动能,磁场的作用是改变粒子的速度方向。

②周期:交流电的周期与粒子做圆周运动的周期相等,周期T=,与粒子速度大小v无关(选填“有关”或“无关”)。

③粒子的最大动能Ekm=mv2,再由qvB=m得:

Ekm=,最大动能决定于D形盒的半径r和磁感应强度B。

3.下列说法符合科学事实的是:②④。

①带电粒子进入匀强磁场后一定做匀速圆周运动

②运动电荷在匀强磁场中做圆周运动的周期与速度无关

③洛伦兹力在特殊情况下可能对带电粒子做功

④利用质谱仪可以测得带电粒子的比荷

⑤带电粒子经回旋加速器加速后,最终获得的动能与交变电压的大小有关

⑥带电粒子的运动速度越大,在磁场中运动的时间越长

关键能力·合作学习

　知识点一　带电粒子在匀强磁场中的圆周运动

1.圆周运动的基本公式:

(1)由公式r=可知:半径r与比荷成反比,与速度v成正比,与磁感应强度B成反比。

(2)由公式T=可知:周期T与速度v、半径r无关,与比荷成反比,与磁感应强度B成反比。

2.圆周运动分析:

(1)圆心的确定方法

方法1:若已知粒子轨迹上的两点的速度方向,

则可根据洛伦兹力F⊥v,分别确定两点处洛

伦兹力F的方向,其交点即为圆心,如图(a);

方法2:若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向,则可作出此两点的连线(即过这两点的圆弧的弦)的中垂线,中垂线与垂线的交点即为圆心,如图(b)。

(2)半径的计算方法

方法1:由物理方法求:半径R=;

方法2:由几何方法求:一般由数学知识(勾股定理、三角函数等)计算来确定。

(3)时间的计算方法

方法1:由圆心角求:t=·T;

方法2:由弧长求:t=。

(4)带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的解题三步法:

(5)圆心角与偏向角、圆周角的关系两个结论

①带电粒子射出磁场的速度方向与射入磁场的速度方向之间的夹角φ叫作偏向角,偏向角等于圆弧对应的圆心角α,即α=φ,如图所示。

②圆弧PM所对应圆心角α等于弦与切线的夹角(弦切角)θ的2倍,即α=2θ,如图所示。

　电子以某一速度进入洛伦兹力演示仪中。

(1)励磁线圈通电前后电子的运动情况相同吗?

提示:①通电前,电子做匀速直线运动。

②通电后,电子做匀速圆周运动。

(2)电子在洛伦兹力演示仪中做匀速圆周运动时,什么力提供向心力?

提示:洛伦兹力提供向心力。

【典例】

 (2020·全国Ⅰ卷)一匀强磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外,其边界如图中虚线所示,为半圆,ac、bd与直径ab共线,ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子,在纸面内从c点垂直于ac射入磁场,这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用,在磁场中运动时间最长的粒子,其运动时间为              (　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

【解析】选C。粒子在磁场中做匀速圆周运动有qBv=,T=,可得粒子在磁场中的周期T=,粒子在磁场中运动的时间t=·T=,则轨迹对应的圆心角越大,运动时间越长。设半圆ab的半径为R,如图,粒子垂直ca射入磁场,则轨迹圆心必在ca直线上,当半径r≤0.5 R和r≥1.5 R时,粒子分别从ac、bd区域射出,磁场中的轨迹为半圆,运动时间等于半个周期。当0.5 R

<r<1.5 R时,粒子从半圆边界射出,将轨迹半径从0.5 R逐渐增大,粒子射出位置从半圆顶端向下移动,轨迹圆心角从π逐渐增大,当ce与半圆ab相切时,轨迹圆心角最大,此时轨迹半径r=R,如图,则轨迹对应的最大圆心角θ=π+=π,粒子运动最长时间t=T=×=,故选项C正确。

1.(多选)两相邻匀强磁场区域的磁感应强度大小不同、方向平行,一速度方向与磁感应强度方向垂直的带电粒子(不计重力),从较强磁场区域进入到较弱磁场区域后,粒子的              (　　)

A.轨道半径减小,速率减小

B.轨道半径增大,角速度减小

C.轨道半径增大,周期增大

D.轨道半径不变,速率不变

【解析】选B、C。带电粒子以某一速度垂直磁场方向进入匀强磁场,在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力,得qvB=m,解得轨道半径r=。带电粒子由较强磁场区域进入到较弱磁场区域,磁感应强度B减小,由r=可知,轨道半径r增大;由于洛伦兹力不做功,带电粒子速度不变,由角速度公式ω=,可知角速度减小,根据T=可知周期变大;选项B、C正确,A、D错误。

2. (多选)空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场,图中的正方形为其边界。一束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射。这两种粒子带同种电荷,它们的电荷量、质量均不同,但其比荷相同,且都包含不同速率的粒子。不计重力,下列说法正确的是              (　　)

A.入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同

B.入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同

C.在磁场中运动时间相同的粒子,其运动轨迹一定相同

D.在磁场中运动时间越长的粒子,其轨迹所对的圆心角一定越大

【解析】选B、D。入射速度不同的粒子,若它们入射速度方向相同,且都从左边界飞出,则它们的运动时间一定相同,虽然轨迹不一样,但圆心角却相同,故A错误;在磁场中半径r=,运动圆弧对应的半径与速率成正比,故B正确;在磁场中运动时间:t=(θ为转过的圆心角),虽圆心角可能相同,但半径可能不同,所以运动轨迹也可能不同,故C错误;由于它们的周期是相同的,在磁场中运动时间越长的粒子,其轨迹所对的圆心角也一定越大,故D正确;故选B、D。

　知识点二　质谱仪与回旋加速器

1.质谱仪:

(1)原理:qU=mv2,qvB=

(2)结论:r=,r ∝

m=,=

2.回旋加速器:

(1)原理:ΔEk=qU , qvB=。

(2)

结论:

①粒了获得的最大动能 Ekm=,由磁感应强度和D形盒的半径决定,与加速的次数以及加速电压U的大小无关。

②两D形盒窄缝所加的交流电源的周期与粒子做圆周运动的周期相同。粒子经过窄缝处均被加速,一个周期内加速两次。

【典例】

 (多选)一个用于加速质子的回旋加速器,其核心部分如图所示,D形盒半径为R,垂直D形盒底面的匀强磁场的磁感应强度为B。两盒分别与交流电源相连,设质子的质量为m、电荷量为q,则下列说法正确的是              (　　)

A.D形盒之间交变电场的周期为

B.质子被加速后的最大速度随B、R的增大而增大

C.质子被加速后的最大速度随加速电压的增大而增大

D.质子离开加速器时的动能与R成正比

【解析】选A、B。D形盒之间交变电场的周期等于质子在磁场中回旋的周期,A正确;由r=得,当r=R时,质子速度最大,vm=,即B、R越大,vm越大,vm与加速电压无关,B正确,C错误;质子离开加速器时的动能Ekm=m=,质子离开加速器时的动能与R2成正比,故D错误;故选A、B。

(多选)带电粒子进入云室会使云室中的气体电离,从而显示其运动轨迹。如图是在有匀强磁场的云室中观察到的粒子的轨迹,a和b是轨迹上的两点,匀强磁场B垂直纸面向里。该粒子在运动时,其质量和电量不变,而动能逐渐减少,下列说法正确的是              (　　)

A.粒子先经过a点,再经过b点

B.粒子先经过b点,再经过a点

C.粒子带负电

D.粒子带正电

【解析】选A、C。粒子在云室中运动时,速度逐渐减小,根据r=,可知其运动轨迹的半径逐渐减小,故粒子运动方向为由a到b,故A正确,B错误;运动方向由a到b,磁场垂直纸面向里,所受洛伦兹力方向指向运动轨迹内侧,故由左手定则可知,该粒子带负电,故C正确,D错误。故选A、C。

【加固训练】

1.如图所示为“用质谱仪测定带电粒子质量”的装置示意图。速度选择器中场强E的方向竖直向下,磁感应强度B1的方向垂直纸面向里,分离器中磁感应强度B2的方向垂直纸面向外。在S处有甲、乙、丙、丁四个一价正离子垂直于E和B1入射到速度选择器中,若它们的质量关系满足m甲=m乙<m丙=m丁,速度关系满足

v甲<v乙=v丙<v丁,它们的重力均可忽略,则打在P1、P2、P3、P4四点的离子分别是

 (　　)

A.甲丁乙丙　　　　　　　　 B.乙甲丙丁

C.丙丁乙甲　     D.丁甲丙乙

【解析】选A。根据速度选择器原理,P1是甲离子,P2是丁离子,再根据质谱仪原理r=,故P3是乙离子,P4是丙离子,因此A正确。

2.回旋加速器的工作原理如图甲所示,置于真空中的D形金属盒半径为R,两盒间狭缝的间距为d,磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直。被加速粒子的质量为m、电荷量为+q,加在狭缝间的交变电压如图乙所示,电压值的大小为U0,周期T=。一束该种粒子在t=0～时间内从A处均匀地飘入狭缝,其初速度视为零。现考虑粒子在狭缝中的运动时间,假设能够出射的粒子每次经过狭缝均做加速运动,不考虑粒子间的相互作用。求:

(1)出射粒子的动能Em。

(2)粒子从飘入狭缝至动能达到Em所需的总时间t0。

(3)要使飘入狭缝的粒子中有超过99%能射出,d应满足的条件。

【解析】(1)粒子运动半径为R时,qvB=m且Em=mv2

解得:Em=。

(2)粒子被加速n次达到动能Em,则Em=nqU0

粒子在狭缝间做匀加速运动,设n次经过狭缝的总时间为Δt,加速度a= ,匀加速直线运动nd=a·Δt2,

由t0=(n-1)·+Δt,

解得:t0=-。

(3)只有在0～(-Δt)时间内飘入的粒子才能每次均被加速,则所占的比例为η=,由η>99%,

解得d<。

答案:(1)　(2)-

(3)d<

【拓展例题】考查内容:带电粒子电场与磁场的组合场中的运动

【典例】如图所示,一个质量为m、电荷量为q的正离子,在D处沿图示方向以一定的速度射入磁感应强度为B的匀强磁场中,磁场方向垂直纸面向里。结果离子正好从距A点为d的小孔C沿垂直于电场方向进入匀强电场,此电场方向与AC平行且向上,最后离子打在G处,而G处距A点2d(AG⊥AC)。不计离子重力,离子运动轨迹在纸面内。求:

(1)此离子在磁场中做圆周运动的半径r。

(2)离子从D处运动到G处所需时间。

(3)离子到达G处时的动能。

【解析】(1)正离子运动轨迹如图所示。

圆周运动半径r满足d=r+rcos 60°,解得r=d。

(2)设离子在磁场中的运动速度为v0,则有

qv0B=m,T==,

由图知离子在磁场中做圆周运动的时间t1=T=,

离子在电场中做类平抛运动,从C到G的时间

t2==,

离子从D→C→G的总时间t=t1+t2=。

(3)设电场强度为E,则有qE=ma,d=a,v0=,

由动能定理得qEd=EkG-m;

解得:EkG=。

答案:(1)d　(2) 　(3)

情境·模型·素养

　研究带电粒子在匀强磁场中的运动规律。

探究:

(1)不加磁场时电子的轨迹会怎样?

(2)给励磁线圈通电,当磁场与电子速度垂直时电子的轨迹会怎样?

(3)用控制变量法,分别改变电子枪的加速电压、励磁线圈的电流,电子的轨迹会怎样变化?

【解析】(1)在暗室中可以清楚地看到,在没有磁场作用时,电子的运动轨迹是直线;

(2)在管外加上匀强磁场(这个磁场是由两个平行的通电环形线圈产生的),电子的运动轨迹变弯曲成圆形。

(3)磁场越强,运动轨迹的半径越小;电子的出射速度越大,运动轨迹的半径越大。

答案:见解析

　为了测量某化工厂污水排放量,技术人员在该厂的排污管末端安装了如图所示的流量计,该装置由绝缘材料制成,长、宽、高分别为a、b、c,左右两端开口,在垂直于上、下底面方向加磁感应强度为B的匀强磁场,在前后两个表面内侧固定有金属板作为电极,污水充满管口以一定的速度从左向右流经该装置时,电压表将显示两个电极间的电压U。

探究:

(1)若用Q表示污水流量(单位时间内排出的污水体积),污水流量Q与U成正比吗?

(2)污水流量与a、b有关吗?

【解析】根据左手定则,正离子向后表面偏转,负离子向前表面偏转,所以后表面的电势高于前表面的电势,与正负离子的多少无关,最终离子在电场力和洛伦兹力作用下平衡,有qvB=q,解得U=vBb,v=,则流量Q=vbc=,与U成正比,与a、b无关。

答案:见解析

课堂检测·素养达标

1.(多选)在匀强磁场中,一个带电粒子做匀速圆周运动,如果又垂直进入另一磁感应强度是原来的磁感应强度2倍的匀强磁场,则              (　　)

A.粒子的速率加倍,周期减半

B.粒子的速率不变,轨道半径减半

C.粒子的速率减半,轨道半径为原来的四分之一

D.粒子的速率不变,周期减半

【解析】选B、D。根据粒子在匀强磁场中运动的周期公式T=可知,粒子在磁场中运动的周期跟速率无关,磁感应强度增大一倍,则周期减半,粒子在磁场运动过程中,受到的洛伦兹力垂直于速度方向,对粒子不做功,即速率不变,A错误,D正确;根据粒子做圆周运动的半径公式r=可知, 速率不变,轨道半径减半,B正确,C错误。

2.(多选)如图所示,有一垂直于纸面向里的有界匀强磁场,A、B为边界上两点。一带电粒子从A点以初速度v0、与边界成角度θ(θ<90°)沿纸面射入磁场,经过一段时间后从B点射出。现撤去磁场,加一垂直边界、沿纸面向上的匀强电场,其他条件不变,粒子仍从B点射出。粒子重力忽略不计,则粒子              (　　)

A.带负电

B.在磁场中和电场中的运动轨迹相同

C.从磁场中离开时的速度方向与从电场中离开时的速度方向相同

D.从磁场中离开时的速度大小与从电场中离开时的速度大小相同

【解析】选A、C、D。粒子在磁场中从A到B点做顺时针圆周运动,受偏向下的洛伦兹力,根据左手定则知道粒子带负电,所以选项A正确;撤去磁场加上电场,粒子做匀变速曲线运动,即类斜抛运动,所以轨迹不同于圆周,选项B错误;无论是在磁场中做匀速圆周运动,还是在电场中做类斜抛运动,当粒子再次回到边界时与边界的夹角仍为θ,只是方向斜向下,所以选项C正确;在磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力不做功,速度大小与进入时相同,而在电场中从A到B,电场力做功为零,所以与进入时的速度大小也相同,故选项D正确。

3.(多选)有两个匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ,Ⅰ中的磁感应强度是Ⅱ中的k倍,两个速率相同的电子分别在两磁场区域做圆周运动。与Ⅰ中运动的电子相比,Ⅱ中的电子               (　　)

A.运动轨迹的半径是Ⅰ中的k倍

B.加速度的大小是Ⅰ中的k倍

C.做圆周运动的周期是Ⅰ中的k倍

D.做圆周运动的角速度是Ⅰ中的k倍

【解析】选A、C。电子在磁场中做圆周运动,洛伦兹力提供向心力,根据圆周运动的周期公式和半径公式逐项分析即可。设Ⅱ中的磁感应强度为B,则Ⅰ中的磁感应强度为kB,根据电子在磁场中运动的半径公式r=可知,Ⅰ中的电子运动轨迹的半径为,Ⅱ中的电子运动轨迹的半径为,所以Ⅱ中的电子运动轨迹的半径是Ⅰ中的k倍,故A正确;电子在磁场运动的洛伦兹力提供向心力,所以电子的加速度的大小为a=,所以Ⅰ中的电子加速度的大小为,Ⅱ中的电子加速度的大小为,所以Ⅱ中的电子的加速度大小是Ⅰ中的倍,故B错误;根据电子在磁场中运动的周期公式T=可知,Ⅰ中的电子运动周期为,Ⅱ中的电子运动周期为,所以Ⅱ中的电子运动轨迹的周期是Ⅰ中的k倍,故C正确;做圆周运动的角速度ω=,所以Ⅰ中的电子运动角速度为,Ⅱ中的电子运动角速度为,在Ⅱ中的电子做圆周运动的角速度是Ⅰ中的倍,故D错误。

4.如图为一种改进后的回旋加速器示意图,其中盒缝间的加速电场场强大小恒定,且被限制在AC板间,虚线中间不需加电场,如图所示,带电粒子从P0处以速度v0沿电场线方向射入加速电场,经加速后再进入D形盒中的匀强磁场做匀速圆周运动,对这种改进后的回旋加速器,下列说法正确的是              (　　)

A.带电粒子每运动一周被加速两次

B.带电粒子每运动一周P1P2=P3P4

C.加速粒子的最大速度与D形盒的尺寸有关

D.加速电场方向需要做周期性的变化

【解析】选C。带电粒子只有经过AC板间时被加速,即带电粒子每运动一周被加速一次。电场的方向没有改变,则在AC间加速,故A、D错误;根据r=得,则P1P2=2(r2-r1)=,因为每转一圈被加速一次,根据-=2ad,知每转一圈,速度的变化量不等,且v3-v2<v2-v1,则P1P2>P3P4,故B错误;当粒子从D形盒中出来时,速度最大,根据r=得,v=,知加速粒子的最大速度与D形盒的半径有关,故C正确。

5.如图所示,一带电量为q=2×10-9 C、质量为m=1.8×10-16 kg的粒子,在直线上一点O沿30°角方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中,经历t=1.5×10-6 s后到达直线上另一点P。求:

(1)粒子做圆周运动的周期T;

(2)磁感应强度B的大小;

(3)若OP的距离为0.1 m,则粒子的运动速度v多大?

【解析】(1)粒子运动轨迹如图所示:

由几何知识可知,粒子在磁场中转过的圆心角:α=360°-θ=360°-2×30°=300°,

粒子在磁场中的运动时间:t=T

则粒子的周期:T=t=×1.5×10-6 s=1.8×10-6s

(2)粒子在磁场中做圆周运动的周期:T=

则磁感应强度: B== T=0.314 T

(3)粒子在磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,由牛顿第二定律得:qvB=m

由几何知识可知:OP=2rsin30°

解得:v≈3.5×105 m/s

答案:(1)1.8×10-6 s　(2)0.314 T　(3)3.5×105 m/s