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高中物理人教版 (新课标)选修3选修3-1第三章 磁场6 带电粒子在匀强磁场中的运动教学ppt课件
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这是一份高中物理人教版 (新课标)选修3选修3-1第三章 磁场6 带电粒子在匀强磁场中的运动教学ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了必备知识·自主学习，qvB，磁感应强度，速度方向，D形盒的半径r，磁感应强度B，关键能力·合作学习，情境·模型·素养，课堂检测·素养达标，课时素养评价等内容，欢迎下载使用。
一、带电粒子在匀强磁场中运动1.用洛伦兹力演示仪观察运动电子在磁场中运动:
2.洛伦兹力的作用效果:(1)洛伦兹力只改变带电粒子速度的_____,不改变带电粒子速度的_____。(2)洛伦兹力不对带电粒子_____,不改变粒子的能量。
二、带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的分析1.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供:________。2.带电粒子做圆周运动的轨道半径和周期:(1)轨道半径:________。粒子的轨道半径与粒子的速率成正比(2)运动周期:______________。带电粒子的周期与轨道半径和速度无关,而与 成反比。
三、质谱仪与回旋加速器1.质谱仪:(1)构造:由粒子源、加速电场、偏转磁场和照相底片等构成。(2)原理:①加速:带电粒子进入质谱仪的加速电场,由动能定理:___= mv2。②偏转:带电粒子进入质谱仪的偏转磁场,洛伦兹力提供向心力:____= 。由以上两式可以求出粒子的_____、_____以及偏转磁场的___________等。
2.回旋加速器:(1)构造:两半圆金属盒D1、D2 ,D形盒的缝隙处接交流电源。D形盒处于匀强磁场中。(2)原理:①粒子从_____中获得动能,磁场的作用是改变粒子的_________。②周期:交流电的周期与粒子做圆周运动的周期_____,周期T= ,与粒子速度大小v_____(选填“有关”或“无关”)。③粒子的最大动能Ekm= mv2,再由qvB=m 得:Ekm= ,最大动能决定于_____________和____________。
3.下列说法符合科学事实的是:_____。①带电粒子进入匀强磁场后一定做匀速圆周运动②运动电荷在匀强磁场中做圆周运动的周期与速度无关③洛伦兹力在特殊情况下可能对带电粒子做功④利用质谱仪可以测得带电粒子的比荷⑤带电粒子经回旋加速器加速后,最终获得的动能与交变电压的大小有关⑥带电粒子的运动速度越大,在磁场中运动的时间越长
知识点一 带电粒子在匀强磁场中的圆周运动1.圆周运动的基本公式:(1)由公式r= 可知:半径r与比荷 成反比,与速度v成正比,与磁感应强度B成反比。(2)由公式T= 可知:周期T与速度v、半径r无关,与比荷 成反比,与磁感应强度B成反比。
2.圆周运动分析:(1)圆心的确定方法方法1:若已知粒子轨迹上的两点的速度方向,则可根据洛伦兹力F⊥v,分别确定两点处洛伦兹力F的方向,其交点即为圆心,如图(a);方法2:若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向,则可作出此两点的连线(即过这两点的圆弧的弦)的中垂线,中垂线与垂线的交点即为圆心,如图(b)。
(2)半径的计算方法方法1:由物理方法求:半径R= ;方法2:由几何方法求:一般由数学知识(勾股定理、三角函数等)计算来确定。(3)时间的计算方法方法1:由圆心角求:t= ·T;方法2:由弧长求:t= 。
(4)带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的解题三步法:
(5)圆心角与偏向角、圆周角的关系两个结论①带电粒子射出磁场的速度方向与射入磁场的速度方向之间的夹角φ叫作偏向角,偏向角等于圆弧 对应的圆心角α,即α=φ,如图所示。 ②圆弧PM所对应圆心角α等于弦 与切线的夹角(弦切角)θ的2倍,即α=2θ,如图所示。
【问题探究】 电子以某一速度进入洛伦兹力演示仪中。
(1)励磁线圈通电前后电子的运动情况相同吗?提示:①通电前,电子做匀速直线运动。②通电后,电子做匀速圆周运动。(2)电子在洛伦兹力演示仪中做匀速圆周运动时,什么力提供向心力?提示:洛伦兹力提供向心力。
【典例示范】【典例】(2020·全国Ⅰ卷)一匀强磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外,其边界如图中虚线所示, 为半圆,ac、bd与直径ab共线,ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子,在纸面内从c点垂直于ac射入磁场,这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用,在磁场中运动时间最长的粒子,其运动时间为( )
【解析】选C。粒子在磁场中做匀速圆周运动有qBv= ,T= ,可得粒子在磁场中的周期T= ,粒子在磁场中运动的时间t= ·T= ,则轨迹对应的圆心角越大,运动时间越长。设半圆ab的半径为R,如图,
粒子垂直ca射入磁场,则轨迹圆心必在ca直线上,当半径r≤0.5 R和r≥1.5 R时,粒子分别从ac、bd区域射出,磁场中的轨迹为半圆,运动时间等于半个周期。当0.5 R
【素养训练】1.(多选)两相邻匀强磁场区域的磁感应强度大小不同、方向平行,一速度方向与磁感应强度方向垂直的带电粒子(不计重力),从较强磁场区域进入到较弱磁场区域后,粒子的( )A.轨道半径减小,速率减小B.轨道半径增大,角速度减小C.轨道半径增大,周期增大D.轨道半径不变,速率不变
【解析】选B、C。带电粒子以某一速度垂直磁场方向进入匀强磁场,在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力,得qvB=m ,解得轨道半径r= 。带电粒子由较强磁场区域进入到较弱磁场区域,磁感应强度B减小,由r= 可知,轨道半径r增大;由于洛伦兹力不做功,带电粒子速度不变,由角速度公式ω= ,可知角速度减小,根据T= 可知周期变大;选项B、C正确,A、D错误。
2.(多选)空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场,图中的正方形为其边界。一束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射。这两种粒子带同种电荷,它们的电荷量、质量均不同,但其比荷相同,且都包含不同速率的粒子。不计重力,下列说法正确的是( )A.入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同B.入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同C.在磁场中运动时间相同的粒子,其运动轨迹一定相同D.在磁场中运动时间越长的粒子,其轨迹所对的圆心角一定越大
【解析】选B、D。入射速度不同的粒子,若它们入射速度方向相同,且都从左边界飞出,则它们的运动时间一定相同,虽然轨迹不一样,但圆心角却相同,故A错误;在磁场中半径r= ,运动圆弧对应的半径与速率成正比,故B正确;在磁场中运动时间:t= (θ为转过的圆心角),虽圆心角可能相同,但半径可能不同,所以运动轨迹也可能不同,故C错误;由于它们的周期是相同的,在磁场中运动时间越长的粒子,其轨迹所对的圆心角也一定越大,故D正确;故选B、D。
知识点二 质谱仪与回旋加速器1.质谱仪: (1)原理:qU= mv2,qvB= (2)结论:r= ,r ∝ m=
2.回旋加速器:(1)原理:ΔEk=qU , qvB= 。(2)结论:①粒了获得的最大动能 Ekm= ,由磁感应强度和D形盒的半径决定,与加速的次数以及加速电压U的大小无关。②两D形盒窄缝所加的交流电源的周期与粒子做圆周运动的周期相同。粒子经过窄缝处均被加速,一个周期内加速两次。
【典例示范】【典例】(多选)一个用于加速质子的回旋加速器,其核心部分如图所示,D形盒半径为R,垂直D形盒底面的匀强磁场的磁感应强度为B。两盒分别与交流电源相连,设质子的质量为m、电荷量为q,则下列说法正确的是( )A.D形盒之间交变电场的周期为 B.质子被加速后的最大速度随B、R的增大而增大C.质子被加速后的最大速度随加速电压的增大而增大D.质子离开加速器时的动能与R成正比
【解析】选A、B。D形盒之间交变电场的周期等于质子在磁场中回旋的周期 ,A正确;由r= 得,当r=R时,质子速度最大,vm= ,即B、R越大,vm越大,vm与加速电压无关,B正确,C错误;质子离开加速器时的动能Ekm= ,质子离开加速器时的动能与R2成正比,故D错误;故选A、B。
【素养训练】(多选)带电粒子进入云室会使云室中的气体电离,从而显示其运动轨迹。如图是在有匀强磁场的云室中观察到的粒子的轨迹,a和b是轨迹上的两点,匀强磁场B垂直纸面向里。该粒子在运动时,其质量和电量不变,而动能逐渐减少,下列说法正确的是( )A.粒子先经过a点,再经过b点B.粒子先经过b点,再经过a点C.粒子带负电D.粒子带正电
【解析】选A、C。粒子在云室中运动时,速度逐渐减小,根据r= ,可知其运动轨迹的半径逐渐减小,故粒子运动方向为由a到b,故A正确,B错误;运动方向由a到b,磁场垂直纸面向里,所受洛伦兹力方向指向运动轨迹内侧,故由左手定则可知,该粒子带负电,故C正确,D错误。故选A、C。
【加固训练】1.如图所示为“用质谱仪测定带电粒子质量”的装置示意图。速度选择器中场强E的方向竖直向下,磁感应强度B1的方向垂直纸面向里,分离器中磁感应强度B2的方向垂直纸面向外。在S处有甲、乙、丙、丁四个一价正离子垂直于E和B1入射到速度选择器中,若它们的质量关系满足m甲=m乙
2.回旋加速器的工作原理如图甲所示,置于真空中的D形金属盒半径为R,两盒间狭缝的间距为d,磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直。被加速粒子的质量为m、电荷量为+q,加在狭缝间的交变电压如图乙所示,电压值的大小为U0,周期T= 。一束该种粒子在t=0～ 时间内从A处均匀地飘入狭缝,其初速度视为零。现考虑粒子在狭缝中的运动时间,假设能够出射的粒子每次经过狭缝均做加速运动,不考虑粒子间的相互作用。求:
(1)出射粒子的动能Em。(2)粒子从飘入狭缝至动能达到Em所需的总时间t0。(3)要使飘入狭缝的粒子中有超过99%能射出,d应满足的条件。
【解析】(1)粒子运动半径为R时,qvB=m 且Em= mv2解得:Em= 。(2)粒子被加速n次达到动能Em,则Em=nqU0粒子在狭缝间做匀加速运动,设n次经过狭缝的总时间为Δt,加速度a= ,匀加速直线运动nd= a·Δt2,由t0=(n-1)· +Δt,解得:t0= 。(3)只有在0～( -Δt)时间内飘入的粒子才能每次均被加速,则所占的比例为η= ,由η>99%,解得d< 。
答案:(1) (2) (3)d<
【拓展例题】考查内容:带电粒子电场与磁场的组合场中的运动【典例】如图所示,一个质量为m、电荷量为q的正离子,在D处沿图示方向以一定的速度射入磁感应强度为B的匀强磁场中,磁场方向垂直纸面向里。结果离子正好从距A点为d的小孔C沿垂直于电场方向进入匀强电场,此电场方向与AC平行且向上,最后离子打在G处,而G处距A点2d(AG⊥AC)。不计离子重力,离子运动轨迹在纸面内。求:(1)此离子在磁场中做圆周运动的半径r。(2)离子从D处运动到G处所需时间。(3)离子到达G处时的动能。
【解析】(1)正离子运动轨迹如图所示。 圆周运动半径r满足d=r+rcs 60°,解得r= d。(2)设离子在磁场中的运动速度为v0,则有qv0B=m ,T=
由图知离子在磁场中做圆周运动的时间t1= T= ,离子在电场中做类平抛运动,从C到G的时间t2= ,离子从D→C→G的总时间t=t1+t2= 。
(3)设电场强度为E,则有qE=ma,d= ,v0= ,由动能定理得qEd=EkG- ;解得:EkG= 。答案:(1) d (2) (3)
【实验情境】 研究带电粒子在匀强磁场中的运动规律。 探究:(1)不加磁场时电子的轨迹会怎样?(2)给励磁线圈通电,当磁场与电子速度垂直时电子的轨迹会怎样?(3)用控制变量法,分别改变电子枪的加速电压、励磁线圈的电流,电子的轨迹会怎样变化?
【解析】(1)在暗室中可以清楚地看到,在没有磁场作用时,电子的运动轨迹是直线;(2)在管外加上匀强磁场(这个磁场是由两个平行的通电环形线圈产生的),电子的运动轨迹变弯曲成圆形。(3)磁场越强,运动轨迹的半径越小;电子的出射速度越大,运动轨迹的半径越大。答案:见解析
【生产情境】 为了测量某化工厂污水排放量,技术人员在该厂的排污管末端安装了如图所示的流量计,该装置由绝缘材料制成,长、宽、高分别为a、b、c,左右两端开口,在垂直于上、下底面方向加磁感应强度为B的匀强磁场,在前后两个表面内侧固定有金属板作为电极,污水充满管口以一定的速度从左向右流经该装置时,电压表将显示两个电极间的电压U。
探究:(1)若用Q表示污水流量(单位时间内排出的污水体积),污水流量Q与U成正比吗?(2)污水流量与a、b有关吗?
【解析】根据左手定则,正离子向后表面偏转,负离子向前表面偏转,所以后表面的电势高于前表面的电势,与正负离子的多少无关,最终离子在电场力和洛伦兹力作用下平衡,有qvB=q ,解得U=vBb,v= ,则流量Q=vbc= ,与U成正比,与a、b无关。答案:见解析
1.(多选)在匀强磁场中,一个带电粒子做匀速圆周运动,如果又垂直进入另一磁感应强度是原来的磁感应强度2倍的匀强磁场,则( )A.粒子的速率加倍,周期减半B.粒子的速率不变,轨道半径减半C.粒子的速率减半,轨道半径为原来的四分之一D.粒子的速率不变,周期减半
【解析】选B、D。根据粒子在匀强磁场中运动的周期公式T= 可知,粒子在磁场中运动的周期跟速率无关,磁感应强度增大一倍,则周期减半,粒子在磁场运动过程中,受到的洛伦兹力垂直于速度方向,对粒子不做功,即速率不变,A错误,D正确;根据粒子做圆周运动的半径公式r= 可知, 速率不变,轨道半径减半,B正确,C错误。
2.(多选)如图所示,有一垂直于纸面向里的有界匀强磁场,A、B为边界上两点。一带电粒子从A点以初速度v0、与边界成角度θ(θ<90°)沿纸面射入磁场,经过一段时间后从B点射出。现撤去磁场,加一垂直边界、沿纸面向上的匀强电场,其他条件不变,粒子仍从B点射出。粒子重力忽略不计,则粒子( ) A.带负电B.在磁场中和电场中的运动轨迹相同C.从磁场中离开时的速度方向与从电场中离开时的速度方向相同D.从磁场中离开时的速度大小与从电场中离开时的速度大小相同
【解析】选A、C、D。粒子在磁场中从A到B点做顺时针圆周运动,受偏向下的洛伦兹力,根据左手定则知道粒子带负电,所以选项A正确;撤去磁场加上电场,粒子做匀变速曲线运动,即类斜抛运动,所以轨迹不同于圆周,选项B错误;无论是在磁场中做匀速圆周运动,还是在电场中做类斜抛运动,当粒子再次回到边界时与边界的夹角仍为θ,只是方向斜向下,所以选项C正确;在磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力不做功,速度大小与进入时相同,而在电场中从A到B,电场力做功为零,所以与进入时的速度大小也相同,故选项D正确。
3.(多选)有两个匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ,Ⅰ中的磁感应强度是Ⅱ中的k倍,两个速率相同的电子分别在两磁场区域做圆周运动。与Ⅰ中运动的电子相比,Ⅱ中的电子 ( )A.运动轨迹的半径是Ⅰ中的k倍B.加速度的大小是Ⅰ中的k倍C.做圆周运动的周期是Ⅰ中的k倍D.做圆周运动的角速度是Ⅰ中的k倍
【解析】选A、C。电子在磁场中做圆周运动,洛伦兹力提供向心力,根据圆周运动的周期公式和半径公式逐项分析即可。设Ⅱ中的磁感应强度为B,则Ⅰ中的磁感应强度为kB,根据电子在磁场中运动的半径公式r= 可知,Ⅰ中的电子运动轨迹的半径为 ,Ⅱ中的电子运动轨迹的半径为 ,所以Ⅱ中的电子运动轨迹的半径是Ⅰ中的k倍,故A正确;电子在磁场运动的洛伦兹力提供向心力,所以电子的加速度的大小为a= ,所以Ⅰ中的电子加速度的大小为 ,Ⅱ中的电子加速度的大小为 ,所以Ⅱ中的电子的加速度大小是Ⅰ中的 倍,故B错误;根据电子在磁场中运动的周期公式T= 可知,Ⅰ中的电子运动周期为 ,Ⅱ中的电子运动周期为 ,所以Ⅱ中的电子运动轨迹的周期是Ⅰ中的k倍,故C
正确;做圆周运动的角速度ω= ,所以Ⅰ中的电子运动角速度为 ,Ⅱ中的电子运动角速度为 ,在Ⅱ中的电子做圆周运动的角速度是Ⅰ中的 倍,故D错误。
4.如图为一种改进后的回旋加速器示意图,其中盒缝间的加速电场场强大小恒定,且被限制在AC板间,虚线中间不需加电场,如图所示,带电粒子从P0处以速度v0沿电场线方向射入加速电场,经加速后再进入D形盒中的匀强磁场做匀速圆周运动,对这种改进后的回旋加速器,下列说法正确的是( ) A.带电粒子每运动一周被加速两次B.带电粒子每运动一周P1P2=P3P4C.加速粒子的最大速度与D形盒的尺寸有关D.加速电场方向需要做周期性的变化
【解析】选C。带电粒子只有经过AC板间时被加速,即带电粒子每运动一周被加速一次。电场的方向没有改变,则在AC间加速,故A、D错误;根据r= 得,则P1P2=2(r2-r1)= ,因为每转一圈被加速一次,根据 ,知每转一圈,速度的变化量不等,且v3-v2P3P4,故B错误;当粒子从D形盒中出来时,速度最大,根据r= 得,v= ,知加速粒子的最大速度与D形盒的半径有关,故C正确。
5.如图所示,一带电量为q=2×10-9 C、质量为m=1.8×10-16 kg的粒子,在直线上一点O沿30°角方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中,经历t=1.5×10-6 s后到达直线上另一点P。求: (1)粒子做圆周运动的周期T;(2)磁感应强度B的大小;(3)若OP的距离为0.1 m,则粒子的运动速度v多大?
【解析】(1)粒子运动轨迹如图所示: 由几何知识可知,粒子在磁场中转过的圆心角:α=360°-θ=360°-2×30°=300°,粒子在磁场中的运动时间:t= T则粒子的周期:T= t= ×1.5×10-6 s=1.8×10-6s
(2)粒子在磁场中做圆周运动的周期:T= 则磁感应强度: B= =0.314 T(3)粒子在磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,由牛顿第二定律得:qvB=m 由几何知识可知:OP=2rsin30°解得:v≈3.5×105 m/s答案:(1)1.8×10-6 s (2)0.314 T (3)3.5×105 m/s
二十三 带电粒子在匀强磁场中的运动【基础达标】(25分钟·60分)一、选择题(本题共6小题,每题6分,共36分)1.质量和电量都相等的带电粒子M和N,以不同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场,运行的半圆轨迹如图中两种虚线所示,下列表述正确的是 ( )A.M带负电,N带正电B.M的速率小于N的速率C.洛伦兹力对M、N做正功D.M的运行时间大于N的运行时间
【解析】选A。由左手定则可知,M带负电,N带正电,选项A正确;由R= 可知,M的速率大于N的速率,选项B错误;洛伦兹力对M、N都不做功,选项C错误;由T= 可知,M的运行时间等于N的运行时间,选项D错误。
2.质子(p)和α粒子以相同的速率在同一匀强磁场中做匀速圆周运动,轨道半径分别为Rp和Rα,周期分别为Tp和Tα,则下列选项正确的是( )A.Rp∶Rα=1∶2,Tp∶Tα=1∶2B.Rp∶Rα=1∶1,Tp∶Tα=1∶1C.Rp∶Rα=1∶1,Tp∶Tα=1∶2D.Rp∶Rα=1∶2,Tp∶Tα=1∶1
【解析】选A。设质子的质量为m,电量为q,则α粒子的质量为4m,电量为2q;根据R= 可得: 根据T= 可得: 故选项A正确,B、C、D错误;故选A。
3.(多选)两个粒子电荷量相同,在同一匀强磁场中受磁场力而做匀速圆周运动( )A.若速率相等,则半径必相等B.若动能相等,则周期必相等C.若质量相等,则周期必相等D.若质量与速度的乘积大小相等,则半径必相等
【解析】选C、D。因为粒子在磁场中做圆周运动的半径r= ,周期T= ,又粒子电荷量相同且在同一磁场中,所以q、B相等,r与m、v有关,T只与m有关,所以C、D正确。
4.粒子甲的质量与电荷量分别是粒子乙的4倍与2倍,两粒子均带正电荷。让它们在匀强磁场中同一点以大小相等、方向相反的速度开始运动。已知磁场方向垂直于纸面向里。则下列四个图中,能正确表示两粒子运动轨迹的是( )
【解析】选A。由洛伦兹力和牛顿第二定律可得 且由左手定则对其运动的方向判断可知A正确。
5.如图所示,表面粗糙的斜面固定于地面上,并处于方向垂直纸面向里的匀强磁场B中。质量为m、带电量为+q的小滑块从斜面顶端由静止下滑。对滑块下滑的过程,下列判断正确的是( )A.滑块受到的洛伦兹力方向垂直斜面向上B.滑块受到的摩擦力大小不变C.滑块一定不能到达斜面底端D.滑块到达地面时的动能与B的大小有关
【解析】选D。小滑块向下运动的过程中受到重力、支持力、垂直斜面向下的洛伦兹力、摩擦力,向下运动的过程中,速度增大,洛伦兹力增大,支持力增大,滑动摩擦力增大,故A、B错误;滑块到地面时,若B很大,则摩擦力有可能很大,所以滑块可能静止在斜面上;若B很小,则滑块有可能到达斜面底端,故C错误;B的大小不同,洛伦兹力大小不同,导致滑动摩擦力大小不同,根据动能定理,摩擦力做功不同,到达地面时的动能不同,故D正确。
6.如图所示,粒子a和粒子b所带的电荷量相同,以相同的动能从A点射入匀强磁场中,做圆周运动的半径ra=2rb,则下列说法正确的是(重力不计)( )A.两粒子都带正电,质量之比 B.两粒子都带负电,质量之比 C.两粒子都带正电,质量之比 D.两粒子都带负电,质量之比
【解析】选B。根据左手定则可知两粒子都带负电;由qa=qb、Eka=Ekb,动能Ek= mv2和粒子做圆周运动的半径r= ,可得m= ,可见质量m与半径r的平方成正比,故 ,故选B。
二、计算题(本题共2小题,共24分。要有必要的文字说明和解题步骤,有数值计算的要标明单位)7.(12分)一个质量m=0.1 g的小滑块,带电量大小q=5×10-4 C,放置在倾α=30°的光滑斜面上(斜面绝缘),斜面置于B=0.5 T的匀强磁场中,磁场方向垂直纸面向里,如图所示,小滑块由静止开始沿斜面下滑,其斜面足够长,小滑块滑至某一位置时,要离开斜面。(g取10 m/s2)问:(1)小滑块带何种电荷?(2)小滑块离开斜面时的瞬时速度多大?(3)该斜面的长度至少多长?
【解析】(1)由题意可知:小滑块受到的洛伦兹力垂直斜面向上,根据左手定则可得:小滑块带负电(2)由题意:当滑块离开斜面时,洛伦兹力Bqv=mgcsα则v= =2 m/s≈3.46 m/s(3)由公式v2=2ax与mgsinα=ma得x=
答案:(1)负电荷 (2)3.46 m/s (3)1.2 m
8.(12分)如图,绝缘粗糙的竖直平面MN左侧同时存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场,电场方向水平向右,电场强度大小为E,磁场方向垂直纸面向外,磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电的小滑块从A点由静止开始沿MN下滑,到达C点时离开MN做曲线运动。A、C两点间距离为h,重力加速度为g。
(1)求小滑块运动到C点时的速度大小vC;(2)求小滑块从A点运动到C点过程中克服摩擦力做的功Wf;(3)若D点为小滑块在电场力、洛伦兹力及重力作用下运动过程中速度最大的位置,当小滑块运动到D点时撤去磁场,此后小滑块继续运动到水平地面上的P点。已知小滑块在D点时的速度大小为vD,从D点运动到P点的时间为t,求小滑块运动到P点时速度的大小vP。
【解析】(1)由题意知,根据左手定则可判断,滑块在下滑的过程中受水平向左的洛伦兹力,当洛伦兹力等于电场力qE时滑块离开MN开始做曲线运动,即qvCB=qE解得:vC= (2)从A到C根据动能定理:mgh-Wf= -0 解得:Wf=mgh- m
(3)设重力与电场力的合力为F,由题意知,在D点的速度vD的方向与F的方向垂直,从D到P做类平抛运动,在F方向做匀加速运动a= ,t时间内在F方向的位移为x= at2从D到P,根据动能定理:Fx= 联立解得:vP= 答案:(1) (2)mgh- (3)
【能力提升】(15分钟·40分)9.(6分)(多选)一个带电粒子在磁场中运动,某时刻速度方向如图所示,带电粒子受到的重力和洛伦兹力的合力的方向恰好与速度方向相反。不计阻力,那么接下来的一小段时间内,带电粒子( )A.可能做匀减速运动B.不可能做匀减速运动C.可能做匀速直线运动D.不可能做匀速直线运动
【解析】选B、D。匀减速运动的合外力应该恒定不变,带电粒子在磁场中受到重力和洛伦兹力两个力作用,而洛伦兹力的大小与速度大小成正比,若减速,则其洛伦兹力将减小,粒子的合外力将发生变化,不再恒定,所以不可能做匀减速运动,故A错误,B正确;若要做匀速直线运动,重力和洛伦兹力必须平衡,大小相等、方向相反,由题图可知洛伦兹力方向斜向左上方,与重力方向不在同一直线上,两者不可能平衡,则不可能做匀速直线运动,故C错误,D正确。
10.(6分)(多选)如图所示,从正离子源发射的正离子经加速电压U加速后进入相互垂直的匀强电场E和匀强磁场B中,发现离子向上偏转,要使此离子沿直线穿过电场( )A.增大电场强度E,减小磁感应强度BB.减小加速电压U,增大电场强度EC.适当地加大加速电压UD.适当地减小电场强度E
【解析】选C、D。正离子进入相互垂直的匀强电场和匀强磁场的区城中,受到的电场力F=qE,方向向上,受到的洛伦兹力f=qvB,方向向下,离子向上偏,说明了电场力大于洛伦兹力,要使离子沿直线运动,即qE=qvB,则应使洛伦兹力增大或电场力减小,增大洛伦兹力的途径是增大加速电压U或增大磁感应强度B,减小电场力的途径是减小场强E。故选C、D。
11.(6分)如图所示,在矩形区域ABCD内有一垂直纸面向里的匀强磁场,AB=5 cm,AD=10 cm,磁感应强度B=0.2 T。在AD的中点P有一个发射正离子的装置,能够连续不断地向纸面内的各个方向均匀地发射出速率为v=1.0×105 m/s的正离子,离子的质量m=2.0×10-12 kg,电荷量q=1.0×10-5 C,离子的重力不计,不考虑离子之间的相互作用,则下列说法错误的是( )
A.边界AP段无离子飞出B.从CD、BC边飞出的离子数之比为1∶2C.从边界BC边飞出的离子中,BC中点飞出的离子在磁场中运动的时间最短D.若离子可从B、C两点飞出,则从B点和C点飞出的离子在磁场中运动的时间相等
【解析】选A。设离子在磁场中做圆周运动的半径为R,根据牛顿第二定律可得qvB=m ,解得:R=0.1 m。由左手定则可以判断离子逆时针方向旋转,发射方向与PA方向夹角较小的离子会从AP飞出,故A错误;作出离子的运动轨迹,PC与PB的长度等于半径长度,与半径构成等边三角形,由几何关系可知α∶β=1∶2,离子数之比亦为1∶2,故B正确;半径确定,在离子转过的圆心角小于π的情况下,弦长越短,圆心角越小,时间越短,弦长相等,时间相等,故C、D正确。
12.(22分)回旋加速器核心部分是两个D形金属扁盒,两盒分别和一高频交流电源两极相接。以便在盒间的窄缝中形成匀强电场,使粒子每次穿过狭缝都得到加速。两盒放在磁感应强度为B的匀强磁场中。磁场方向垂直于盒底面,粒子源置于盒的圆心附近,若粒子源射出的粒子带电荷量为q,质量为m,粒子最大回旋半径为Rn,其运动轨迹如图所示。问:
(1)D形盒内有无电场?(2)粒子在盒内做何种运动?(3)所加交流电压频率应是多大?粒子运动的角速度为多大?(4)粒子离开加速器时速度为多大?最大动能为多少?(5)设两D形盒间电场的电势差为U,盒间距离为d,盒间电场均匀,求把静止粒子加速到上述能量所需时间。
【解析】(1)加速器由D形盒与盒间缝隙组成,盒间缝隙对粒子加速,D形盒起到让粒子旋转再次通过盒间缝隙进行加速的作用,要做匀速圆周运动,故没有电场。电场只存在于两盒之间,而盒内无电场。(2)粒子在磁场中只受洛伦兹力作用,洛伦兹力始终与速度垂直,粒子做匀速圆周运动
(3)所加交流电压频率等于粒子在磁场中的频率,根据qvB=m 和T= 可得T= ,故频率f= 运动的角速度ω=
(4)粒子速度增加则半径增加,当轨道半径达到最大半径时速度最大,由r= 得:vmax= 则其最大动能为:Ekm= (5)由能量守恒得: =nqU则粒子做匀速圆周运动总时间为:t1= 粒子在匀强电场中的加速度为:a= 匀加速总时间为:t2= 解得:t=t1+t2=
一、带电粒子在匀强磁场中运动1.用洛伦兹力演示仪观察运动电子在磁场中运动:
2.洛伦兹力的作用效果:(1)洛伦兹力只改变带电粒子速度的_____,不改变带电粒子速度的_____。(2)洛伦兹力不对带电粒子_____,不改变粒子的能量。
二、带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的分析1.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供:________。2.带电粒子做圆周运动的轨道半径和周期:(1)轨道半径:________。粒子的轨道半径与粒子的速率成正比(2)运动周期:______________。带电粒子的周期与轨道半径和速度无关,而与 成反比。
三、质谱仪与回旋加速器1.质谱仪:(1)构造:由粒子源、加速电场、偏转磁场和照相底片等构成。(2)原理:①加速:带电粒子进入质谱仪的加速电场,由动能定理:___= mv2。②偏转:带电粒子进入质谱仪的偏转磁场,洛伦兹力提供向心力:____= 。由以上两式可以求出粒子的_____、_____以及偏转磁场的___________等。
2.回旋加速器:(1)构造:两半圆金属盒D1、D2 ,D形盒的缝隙处接交流电源。D形盒处于匀强磁场中。(2)原理:①粒子从_____中获得动能,磁场的作用是改变粒子的_________。②周期:交流电的周期与粒子做圆周运动的周期_____,周期T= ,与粒子速度大小v_____(选填“有关”或“无关”)。③粒子的最大动能Ekm= mv2,再由qvB=m 得:Ekm= ,最大动能决定于_____________和____________。
3.下列说法符合科学事实的是:_____。①带电粒子进入匀强磁场后一定做匀速圆周运动②运动电荷在匀强磁场中做圆周运动的周期与速度无关③洛伦兹力在特殊情况下可能对带电粒子做功④利用质谱仪可以测得带电粒子的比荷⑤带电粒子经回旋加速器加速后,最终获得的动能与交变电压的大小有关⑥带电粒子的运动速度越大,在磁场中运动的时间越长
知识点一 带电粒子在匀强磁场中的圆周运动1.圆周运动的基本公式:(1)由公式r= 可知:半径r与比荷 成反比,与速度v成正比,与磁感应强度B成反比。(2)由公式T= 可知:周期T与速度v、半径r无关,与比荷 成反比,与磁感应强度B成反比。
2.圆周运动分析:(1)圆心的确定方法方法1:若已知粒子轨迹上的两点的速度方向,则可根据洛伦兹力F⊥v,分别确定两点处洛伦兹力F的方向,其交点即为圆心,如图(a);方法2:若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向,则可作出此两点的连线(即过这两点的圆弧的弦)的中垂线,中垂线与垂线的交点即为圆心,如图(b)。
(2)半径的计算方法方法1:由物理方法求:半径R= ;方法2:由几何方法求:一般由数学知识(勾股定理、三角函数等)计算来确定。(3)时间的计算方法方法1:由圆心角求:t= ·T;方法2:由弧长求:t= 。
(4)带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的解题三步法:
(5)圆心角与偏向角、圆周角的关系两个结论①带电粒子射出磁场的速度方向与射入磁场的速度方向之间的夹角φ叫作偏向角,偏向角等于圆弧 对应的圆心角α,即α=φ,如图所示。 ②圆弧PM所对应圆心角α等于弦 与切线的夹角(弦切角)θ的2倍,即α=2θ,如图所示。
【问题探究】 电子以某一速度进入洛伦兹力演示仪中。
(1)励磁线圈通电前后电子的运动情况相同吗?提示:①通电前,电子做匀速直线运动。②通电后,电子做匀速圆周运动。(2)电子在洛伦兹力演示仪中做匀速圆周运动时,什么力提供向心力?提示:洛伦兹力提供向心力。
【典例示范】【典例】(2020·全国Ⅰ卷)一匀强磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外,其边界如图中虚线所示, 为半圆,ac、bd与直径ab共线,ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子,在纸面内从c点垂直于ac射入磁场,这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用,在磁场中运动时间最长的粒子,其运动时间为( )
【解析】选C。粒子在磁场中做匀速圆周运动有qBv= ,T= ,可得粒子在磁场中的周期T= ,粒子在磁场中运动的时间t= ·T= ,则轨迹对应的圆心角越大,运动时间越长。设半圆ab的半径为R,如图,
粒子垂直ca射入磁场,则轨迹圆心必在ca直线上,当半径r≤0.5 R和r≥1.5 R时,粒子分别从ac、bd区域射出,磁场中的轨迹为半圆,运动时间等于半个周期。当0.5 R
【素养训练】1.(多选)两相邻匀强磁场区域的磁感应强度大小不同、方向平行,一速度方向与磁感应强度方向垂直的带电粒子(不计重力),从较强磁场区域进入到较弱磁场区域后,粒子的( )A.轨道半径减小,速率减小B.轨道半径增大,角速度减小C.轨道半径增大,周期增大D.轨道半径不变,速率不变
【解析】选B、C。带电粒子以某一速度垂直磁场方向进入匀强磁场,在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力,得qvB=m ,解得轨道半径r= 。带电粒子由较强磁场区域进入到较弱磁场区域,磁感应强度B减小,由r= 可知,轨道半径r增大;由于洛伦兹力不做功,带电粒子速度不变,由角速度公式ω= ,可知角速度减小,根据T= 可知周期变大;选项B、C正确,A、D错误。
2.(多选)空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场,图中的正方形为其边界。一束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射。这两种粒子带同种电荷,它们的电荷量、质量均不同,但其比荷相同,且都包含不同速率的粒子。不计重力,下列说法正确的是( )A.入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同B.入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同C.在磁场中运动时间相同的粒子,其运动轨迹一定相同D.在磁场中运动时间越长的粒子,其轨迹所对的圆心角一定越大
【解析】选B、D。入射速度不同的粒子,若它们入射速度方向相同,且都从左边界飞出,则它们的运动时间一定相同,虽然轨迹不一样,但圆心角却相同,故A错误;在磁场中半径r= ,运动圆弧对应的半径与速率成正比,故B正确;在磁场中运动时间:t= (θ为转过的圆心角),虽圆心角可能相同,但半径可能不同,所以运动轨迹也可能不同,故C错误;由于它们的周期是相同的,在磁场中运动时间越长的粒子,其轨迹所对的圆心角也一定越大,故D正确;故选B、D。
知识点二 质谱仪与回旋加速器1.质谱仪: (1)原理:qU= mv2,qvB= (2)结论:r= ,r ∝ m=
2.回旋加速器:(1)原理:ΔEk=qU , qvB= 。(2)结论:①粒了获得的最大动能 Ekm= ,由磁感应强度和D形盒的半径决定,与加速的次数以及加速电压U的大小无关。②两D形盒窄缝所加的交流电源的周期与粒子做圆周运动的周期相同。粒子经过窄缝处均被加速,一个周期内加速两次。
【典例示范】【典例】(多选)一个用于加速质子的回旋加速器,其核心部分如图所示,D形盒半径为R,垂直D形盒底面的匀强磁场的磁感应强度为B。两盒分别与交流电源相连,设质子的质量为m、电荷量为q,则下列说法正确的是( )A.D形盒之间交变电场的周期为 B.质子被加速后的最大速度随B、R的增大而增大C.质子被加速后的最大速度随加速电压的增大而增大D.质子离开加速器时的动能与R成正比
【解析】选A、B。D形盒之间交变电场的周期等于质子在磁场中回旋的周期 ,A正确;由r= 得,当r=R时,质子速度最大,vm= ,即B、R越大,vm越大,vm与加速电压无关,B正确,C错误;质子离开加速器时的动能Ekm= ,质子离开加速器时的动能与R2成正比,故D错误;故选A、B。
【素养训练】(多选)带电粒子进入云室会使云室中的气体电离,从而显示其运动轨迹。如图是在有匀强磁场的云室中观察到的粒子的轨迹,a和b是轨迹上的两点,匀强磁场B垂直纸面向里。该粒子在运动时,其质量和电量不变,而动能逐渐减少,下列说法正确的是( )A.粒子先经过a点,再经过b点B.粒子先经过b点,再经过a点C.粒子带负电D.粒子带正电
【解析】选A、C。粒子在云室中运动时,速度逐渐减小,根据r= ,可知其运动轨迹的半径逐渐减小,故粒子运动方向为由a到b,故A正确,B错误;运动方向由a到b,磁场垂直纸面向里,所受洛伦兹力方向指向运动轨迹内侧,故由左手定则可知,该粒子带负电,故C正确,D错误。故选A、C。
【加固训练】1.如图所示为“用质谱仪测定带电粒子质量”的装置示意图。速度选择器中场强E的方向竖直向下,磁感应强度B1的方向垂直纸面向里,分离器中磁感应强度B2的方向垂直纸面向外。在S处有甲、乙、丙、丁四个一价正离子垂直于E和B1入射到速度选择器中,若它们的质量关系满足m甲=m乙
2.回旋加速器的工作原理如图甲所示,置于真空中的D形金属盒半径为R,两盒间狭缝的间距为d,磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直。被加速粒子的质量为m、电荷量为+q,加在狭缝间的交变电压如图乙所示,电压值的大小为U0,周期T= 。一束该种粒子在t=0～ 时间内从A处均匀地飘入狭缝,其初速度视为零。现考虑粒子在狭缝中的运动时间,假设能够出射的粒子每次经过狭缝均做加速运动,不考虑粒子间的相互作用。求:
(1)出射粒子的动能Em。(2)粒子从飘入狭缝至动能达到Em所需的总时间t0。(3)要使飘入狭缝的粒子中有超过99%能射出,d应满足的条件。
【解析】(1)粒子运动半径为R时,qvB=m 且Em= mv2解得:Em= 。(2)粒子被加速n次达到动能Em,则Em=nqU0粒子在狭缝间做匀加速运动,设n次经过狭缝的总时间为Δt,加速度a= ,匀加速直线运动nd= a·Δt2,由t0=(n-1)· +Δt,解得:t0= 。(3)只有在0～( -Δt)时间内飘入的粒子才能每次均被加速,则所占的比例为η= ,由η>99%,解得d< 。
答案:(1) (2) (3)d<
【拓展例题】考查内容:带电粒子电场与磁场的组合场中的运动【典例】如图所示,一个质量为m、电荷量为q的正离子,在D处沿图示方向以一定的速度射入磁感应强度为B的匀强磁场中,磁场方向垂直纸面向里。结果离子正好从距A点为d的小孔C沿垂直于电场方向进入匀强电场,此电场方向与AC平行且向上,最后离子打在G处,而G处距A点2d(AG⊥AC)。不计离子重力,离子运动轨迹在纸面内。求:(1)此离子在磁场中做圆周运动的半径r。(2)离子从D处运动到G处所需时间。(3)离子到达G处时的动能。
【解析】(1)正离子运动轨迹如图所示。 圆周运动半径r满足d=r+rcs 60°,解得r= d。(2)设离子在磁场中的运动速度为v0,则有qv0B=m ,T=
由图知离子在磁场中做圆周运动的时间t1= T= ,离子在电场中做类平抛运动,从C到G的时间t2= ,离子从D→C→G的总时间t=t1+t2= 。
(3)设电场强度为E,则有qE=ma,d= ,v0= ,由动能定理得qEd=EkG- ;解得:EkG= 。答案:(1) d (2) (3)
【实验情境】 研究带电粒子在匀强磁场中的运动规律。 探究:(1)不加磁场时电子的轨迹会怎样?(2)给励磁线圈通电,当磁场与电子速度垂直时电子的轨迹会怎样?(3)用控制变量法,分别改变电子枪的加速电压、励磁线圈的电流,电子的轨迹会怎样变化?
【解析】(1)在暗室中可以清楚地看到,在没有磁场作用时,电子的运动轨迹是直线;(2)在管外加上匀强磁场(这个磁场是由两个平行的通电环形线圈产生的),电子的运动轨迹变弯曲成圆形。(3)磁场越强,运动轨迹的半径越小;电子的出射速度越大,运动轨迹的半径越大。答案:见解析
【生产情境】 为了测量某化工厂污水排放量,技术人员在该厂的排污管末端安装了如图所示的流量计,该装置由绝缘材料制成,长、宽、高分别为a、b、c,左右两端开口,在垂直于上、下底面方向加磁感应强度为B的匀强磁场,在前后两个表面内侧固定有金属板作为电极,污水充满管口以一定的速度从左向右流经该装置时,电压表将显示两个电极间的电压U。
探究:(1)若用Q表示污水流量(单位时间内排出的污水体积),污水流量Q与U成正比吗?(2)污水流量与a、b有关吗?
【解析】根据左手定则,正离子向后表面偏转,负离子向前表面偏转,所以后表面的电势高于前表面的电势,与正负离子的多少无关,最终离子在电场力和洛伦兹力作用下平衡,有qvB=q ,解得U=vBb,v= ,则流量Q=vbc= ,与U成正比,与a、b无关。答案:见解析
1.(多选)在匀强磁场中,一个带电粒子做匀速圆周运动,如果又垂直进入另一磁感应强度是原来的磁感应强度2倍的匀强磁场,则( )A.粒子的速率加倍,周期减半B.粒子的速率不变,轨道半径减半C.粒子的速率减半,轨道半径为原来的四分之一D.粒子的速率不变,周期减半
【解析】选B、D。根据粒子在匀强磁场中运动的周期公式T= 可知,粒子在磁场中运动的周期跟速率无关,磁感应强度增大一倍,则周期减半,粒子在磁场运动过程中,受到的洛伦兹力垂直于速度方向,对粒子不做功,即速率不变,A错误,D正确;根据粒子做圆周运动的半径公式r= 可知, 速率不变,轨道半径减半,B正确,C错误。
2.(多选)如图所示,有一垂直于纸面向里的有界匀强磁场,A、B为边界上两点。一带电粒子从A点以初速度v0、与边界成角度θ(θ<90°)沿纸面射入磁场,经过一段时间后从B点射出。现撤去磁场,加一垂直边界、沿纸面向上的匀强电场,其他条件不变,粒子仍从B点射出。粒子重力忽略不计,则粒子( ) A.带负电B.在磁场中和电场中的运动轨迹相同C.从磁场中离开时的速度方向与从电场中离开时的速度方向相同D.从磁场中离开时的速度大小与从电场中离开时的速度大小相同
【解析】选A、C、D。粒子在磁场中从A到B点做顺时针圆周运动,受偏向下的洛伦兹力,根据左手定则知道粒子带负电,所以选项A正确;撤去磁场加上电场,粒子做匀变速曲线运动,即类斜抛运动,所以轨迹不同于圆周,选项B错误;无论是在磁场中做匀速圆周运动,还是在电场中做类斜抛运动,当粒子再次回到边界时与边界的夹角仍为θ,只是方向斜向下,所以选项C正确;在磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力不做功,速度大小与进入时相同,而在电场中从A到B,电场力做功为零,所以与进入时的速度大小也相同,故选项D正确。
3.(多选)有两个匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ,Ⅰ中的磁感应强度是Ⅱ中的k倍,两个速率相同的电子分别在两磁场区域做圆周运动。与Ⅰ中运动的电子相比,Ⅱ中的电子 ( )A.运动轨迹的半径是Ⅰ中的k倍B.加速度的大小是Ⅰ中的k倍C.做圆周运动的周期是Ⅰ中的k倍D.做圆周运动的角速度是Ⅰ中的k倍
【解析】选A、C。电子在磁场中做圆周运动,洛伦兹力提供向心力,根据圆周运动的周期公式和半径公式逐项分析即可。设Ⅱ中的磁感应强度为B,则Ⅰ中的磁感应强度为kB,根据电子在磁场中运动的半径公式r= 可知,Ⅰ中的电子运动轨迹的半径为 ,Ⅱ中的电子运动轨迹的半径为 ,所以Ⅱ中的电子运动轨迹的半径是Ⅰ中的k倍,故A正确;电子在磁场运动的洛伦兹力提供向心力,所以电子的加速度的大小为a= ,所以Ⅰ中的电子加速度的大小为 ,Ⅱ中的电子加速度的大小为 ,所以Ⅱ中的电子的加速度大小是Ⅰ中的 倍,故B错误;根据电子在磁场中运动的周期公式T= 可知,Ⅰ中的电子运动周期为 ,Ⅱ中的电子运动周期为 ,所以Ⅱ中的电子运动轨迹的周期是Ⅰ中的k倍,故C
正确;做圆周运动的角速度ω= ,所以Ⅰ中的电子运动角速度为 ,Ⅱ中的电子运动角速度为 ,在Ⅱ中的电子做圆周运动的角速度是Ⅰ中的 倍,故D错误。
4.如图为一种改进后的回旋加速器示意图,其中盒缝间的加速电场场强大小恒定,且被限制在AC板间,虚线中间不需加电场,如图所示,带电粒子从P0处以速度v0沿电场线方向射入加速电场,经加速后再进入D形盒中的匀强磁场做匀速圆周运动,对这种改进后的回旋加速器,下列说法正确的是( ) A.带电粒子每运动一周被加速两次B.带电粒子每运动一周P1P2=P3P4C.加速粒子的最大速度与D形盒的尺寸有关D.加速电场方向需要做周期性的变化
【解析】选C。带电粒子只有经过AC板间时被加速,即带电粒子每运动一周被加速一次。电场的方向没有改变,则在AC间加速,故A、D错误;根据r= 得,则P1P2=2(r2-r1)= ,因为每转一圈被加速一次,根据 ,知每转一圈,速度的变化量不等,且v3-v2
5.如图所示,一带电量为q=2×10-9 C、质量为m=1.8×10-16 kg的粒子,在直线上一点O沿30°角方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中,经历t=1.5×10-6 s后到达直线上另一点P。求: (1)粒子做圆周运动的周期T;(2)磁感应强度B的大小;(3)若OP的距离为0.1 m,则粒子的运动速度v多大?
【解析】(1)粒子运动轨迹如图所示: 由几何知识可知,粒子在磁场中转过的圆心角:α=360°-θ=360°-2×30°=300°,粒子在磁场中的运动时间:t= T则粒子的周期:T= t= ×1.5×10-6 s=1.8×10-6s
(2)粒子在磁场中做圆周运动的周期:T= 则磁感应强度: B= =0.314 T(3)粒子在磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,由牛顿第二定律得:qvB=m 由几何知识可知:OP=2rsin30°解得:v≈3.5×105 m/s答案:(1)1.8×10-6 s (2)0.314 T (3)3.5×105 m/s
二十三 带电粒子在匀强磁场中的运动【基础达标】(25分钟·60分)一、选择题(本题共6小题,每题6分,共36分)1.质量和电量都相等的带电粒子M和N,以不同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场,运行的半圆轨迹如图中两种虚线所示,下列表述正确的是 ( )A.M带负电,N带正电B.M的速率小于N的速率C.洛伦兹力对M、N做正功D.M的运行时间大于N的运行时间
【解析】选A。由左手定则可知,M带负电,N带正电,选项A正确;由R= 可知,M的速率大于N的速率,选项B错误;洛伦兹力对M、N都不做功,选项C错误;由T= 可知,M的运行时间等于N的运行时间,选项D错误。
2.质子(p)和α粒子以相同的速率在同一匀强磁场中做匀速圆周运动,轨道半径分别为Rp和Rα,周期分别为Tp和Tα,则下列选项正确的是( )A.Rp∶Rα=1∶2,Tp∶Tα=1∶2B.Rp∶Rα=1∶1,Tp∶Tα=1∶1C.Rp∶Rα=1∶1,Tp∶Tα=1∶2D.Rp∶Rα=1∶2,Tp∶Tα=1∶1
【解析】选A。设质子的质量为m,电量为q,则α粒子的质量为4m,电量为2q;根据R= 可得: 根据T= 可得: 故选项A正确,B、C、D错误;故选A。
3.(多选)两个粒子电荷量相同,在同一匀强磁场中受磁场力而做匀速圆周运动( )A.若速率相等,则半径必相等B.若动能相等,则周期必相等C.若质量相等,则周期必相等D.若质量与速度的乘积大小相等,则半径必相等
【解析】选C、D。因为粒子在磁场中做圆周运动的半径r= ,周期T= ,又粒子电荷量相同且在同一磁场中,所以q、B相等,r与m、v有关,T只与m有关,所以C、D正确。
4.粒子甲的质量与电荷量分别是粒子乙的4倍与2倍,两粒子均带正电荷。让它们在匀强磁场中同一点以大小相等、方向相反的速度开始运动。已知磁场方向垂直于纸面向里。则下列四个图中,能正确表示两粒子运动轨迹的是( )
【解析】选A。由洛伦兹力和牛顿第二定律可得 且由左手定则对其运动的方向判断可知A正确。
5.如图所示,表面粗糙的斜面固定于地面上,并处于方向垂直纸面向里的匀强磁场B中。质量为m、带电量为+q的小滑块从斜面顶端由静止下滑。对滑块下滑的过程,下列判断正确的是( )A.滑块受到的洛伦兹力方向垂直斜面向上B.滑块受到的摩擦力大小不变C.滑块一定不能到达斜面底端D.滑块到达地面时的动能与B的大小有关
【解析】选D。小滑块向下运动的过程中受到重力、支持力、垂直斜面向下的洛伦兹力、摩擦力,向下运动的过程中,速度增大,洛伦兹力增大,支持力增大,滑动摩擦力增大,故A、B错误;滑块到地面时,若B很大,则摩擦力有可能很大,所以滑块可能静止在斜面上;若B很小,则滑块有可能到达斜面底端,故C错误;B的大小不同,洛伦兹力大小不同,导致滑动摩擦力大小不同,根据动能定理,摩擦力做功不同,到达地面时的动能不同,故D正确。
6.如图所示,粒子a和粒子b所带的电荷量相同,以相同的动能从A点射入匀强磁场中,做圆周运动的半径ra=2rb,则下列说法正确的是(重力不计)( )A.两粒子都带正电,质量之比 B.两粒子都带负电,质量之比 C.两粒子都带正电,质量之比 D.两粒子都带负电,质量之比
【解析】选B。根据左手定则可知两粒子都带负电;由qa=qb、Eka=Ekb,动能Ek= mv2和粒子做圆周运动的半径r= ,可得m= ,可见质量m与半径r的平方成正比,故 ,故选B。
二、计算题(本题共2小题,共24分。要有必要的文字说明和解题步骤,有数值计算的要标明单位)7.(12分)一个质量m=0.1 g的小滑块,带电量大小q=5×10-4 C,放置在倾α=30°的光滑斜面上(斜面绝缘),斜面置于B=0.5 T的匀强磁场中,磁场方向垂直纸面向里,如图所示,小滑块由静止开始沿斜面下滑,其斜面足够长,小滑块滑至某一位置时,要离开斜面。(g取10 m/s2)问:(1)小滑块带何种电荷?(2)小滑块离开斜面时的瞬时速度多大?(3)该斜面的长度至少多长?
【解析】(1)由题意可知:小滑块受到的洛伦兹力垂直斜面向上,根据左手定则可得:小滑块带负电(2)由题意:当滑块离开斜面时,洛伦兹力Bqv=mgcsα则v= =2 m/s≈3.46 m/s(3)由公式v2=2ax与mgsinα=ma得x=
答案:(1)负电荷 (2)3.46 m/s (3)1.2 m
8.(12分)如图,绝缘粗糙的竖直平面MN左侧同时存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场,电场方向水平向右,电场强度大小为E,磁场方向垂直纸面向外,磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电的小滑块从A点由静止开始沿MN下滑,到达C点时离开MN做曲线运动。A、C两点间距离为h,重力加速度为g。
(1)求小滑块运动到C点时的速度大小vC;(2)求小滑块从A点运动到C点过程中克服摩擦力做的功Wf;(3)若D点为小滑块在电场力、洛伦兹力及重力作用下运动过程中速度最大的位置,当小滑块运动到D点时撤去磁场,此后小滑块继续运动到水平地面上的P点。已知小滑块在D点时的速度大小为vD,从D点运动到P点的时间为t,求小滑块运动到P点时速度的大小vP。
【解析】(1)由题意知,根据左手定则可判断,滑块在下滑的过程中受水平向左的洛伦兹力,当洛伦兹力等于电场力qE时滑块离开MN开始做曲线运动,即qvCB=qE解得:vC= (2)从A到C根据动能定理:mgh-Wf= -0 解得:Wf=mgh- m
(3)设重力与电场力的合力为F,由题意知,在D点的速度vD的方向与F的方向垂直,从D到P做类平抛运动,在F方向做匀加速运动a= ,t时间内在F方向的位移为x= at2从D到P,根据动能定理:Fx= 联立解得:vP= 答案:(1) (2)mgh- (3)
【能力提升】(15分钟·40分)9.(6分)(多选)一个带电粒子在磁场中运动,某时刻速度方向如图所示,带电粒子受到的重力和洛伦兹力的合力的方向恰好与速度方向相反。不计阻力,那么接下来的一小段时间内,带电粒子( )A.可能做匀减速运动B.不可能做匀减速运动C.可能做匀速直线运动D.不可能做匀速直线运动
【解析】选B、D。匀减速运动的合外力应该恒定不变,带电粒子在磁场中受到重力和洛伦兹力两个力作用,而洛伦兹力的大小与速度大小成正比,若减速,则其洛伦兹力将减小,粒子的合外力将发生变化,不再恒定,所以不可能做匀减速运动,故A错误,B正确;若要做匀速直线运动,重力和洛伦兹力必须平衡,大小相等、方向相反,由题图可知洛伦兹力方向斜向左上方,与重力方向不在同一直线上,两者不可能平衡,则不可能做匀速直线运动,故C错误,D正确。
10.(6分)(多选)如图所示,从正离子源发射的正离子经加速电压U加速后进入相互垂直的匀强电场E和匀强磁场B中,发现离子向上偏转,要使此离子沿直线穿过电场( )A.增大电场强度E,减小磁感应强度BB.减小加速电压U,增大电场强度EC.适当地加大加速电压UD.适当地减小电场强度E
【解析】选C、D。正离子进入相互垂直的匀强电场和匀强磁场的区城中,受到的电场力F=qE,方向向上,受到的洛伦兹力f=qvB,方向向下,离子向上偏,说明了电场力大于洛伦兹力,要使离子沿直线运动,即qE=qvB,则应使洛伦兹力增大或电场力减小,增大洛伦兹力的途径是增大加速电压U或增大磁感应强度B,减小电场力的途径是减小场强E。故选C、D。
11.(6分)如图所示,在矩形区域ABCD内有一垂直纸面向里的匀强磁场,AB=5 cm,AD=10 cm,磁感应强度B=0.2 T。在AD的中点P有一个发射正离子的装置,能够连续不断地向纸面内的各个方向均匀地发射出速率为v=1.0×105 m/s的正离子,离子的质量m=2.0×10-12 kg,电荷量q=1.0×10-5 C,离子的重力不计,不考虑离子之间的相互作用,则下列说法错误的是( )
A.边界AP段无离子飞出B.从CD、BC边飞出的离子数之比为1∶2C.从边界BC边飞出的离子中,BC中点飞出的离子在磁场中运动的时间最短D.若离子可从B、C两点飞出,则从B点和C点飞出的离子在磁场中运动的时间相等
【解析】选A。设离子在磁场中做圆周运动的半径为R,根据牛顿第二定律可得qvB=m ,解得:R=0.1 m。由左手定则可以判断离子逆时针方向旋转,发射方向与PA方向夹角较小的离子会从AP飞出,故A错误;作出离子的运动轨迹,PC与PB的长度等于半径长度,与半径构成等边三角形,由几何关系可知α∶β=1∶2,离子数之比亦为1∶2,故B正确;半径确定,在离子转过的圆心角小于π的情况下,弦长越短,圆心角越小,时间越短,弦长相等,时间相等,故C、D正确。
12.(22分)回旋加速器核心部分是两个D形金属扁盒,两盒分别和一高频交流电源两极相接。以便在盒间的窄缝中形成匀强电场,使粒子每次穿过狭缝都得到加速。两盒放在磁感应强度为B的匀强磁场中。磁场方向垂直于盒底面,粒子源置于盒的圆心附近,若粒子源射出的粒子带电荷量为q,质量为m,粒子最大回旋半径为Rn,其运动轨迹如图所示。问:
(1)D形盒内有无电场?(2)粒子在盒内做何种运动?(3)所加交流电压频率应是多大?粒子运动的角速度为多大?(4)粒子离开加速器时速度为多大?最大动能为多少?(5)设两D形盒间电场的电势差为U,盒间距离为d,盒间电场均匀,求把静止粒子加速到上述能量所需时间。
【解析】(1)加速器由D形盒与盒间缝隙组成,盒间缝隙对粒子加速,D形盒起到让粒子旋转再次通过盒间缝隙进行加速的作用,要做匀速圆周运动,故没有电场。电场只存在于两盒之间,而盒内无电场。(2)粒子在磁场中只受洛伦兹力作用,洛伦兹力始终与速度垂直,粒子做匀速圆周运动
(3)所加交流电压频率等于粒子在磁场中的频率,根据qvB=m 和T= 可得T= ,故频率f= 运动的角速度ω=
(4)粒子速度增加则半径增加,当轨道半径达到最大半径时速度最大,由r= 得:vmax= 则其最大动能为:Ekm= (5)由能量守恒得: =nqU则粒子做匀速圆周运动总时间为:t1= 粒子在匀强电场中的加速度为:a= 匀加速总时间为:t2= 解得:t=t1+t2=
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