人教版新课标A必修13.2.2函数模型的应用实例习题

这是一份人教版新课标A必修13.2.2函数模型的应用实例习题，共7页。

1．某水果批发市场规定，批发苹果不少于100千克时，批发价为每千克2.5元，小王携带现金3 000元到市场采购苹果，并以每千克2.5元买进，如果购买的苹果为x千克，小王付款后的剩余现金为y元，则y与x之间的函数解析式为( )
A．y＝3 000－2.5x(100≤x≤1 200)
B．y＝3 000－2.5x(100C．y＝3 000－2.5x(0＜x＜1 200)
D．y＝3 000－2.5x(0≤x≤1 200)
解析：选A.因为3 000÷2.5＝1 200，
所以100≤x≤1 200.
2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )
A．310元 B．300元 C．290元 D．280元
解析：选B.设函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
函数图象过点(1，800)，(2，1 300)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＋b＝800，,2k＋b＝1 300，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝500，,b＝300，))
所以y＝500x＋300，
当x＝0时，y＝300.
所以营销人员没有销售量时的收入是300元．
3．有浓度为90%的溶液100 g，从中倒出10 g后再倒入10 g水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)( )
A．19B．20
C．21D．22
解析：选C.操作次数为n时的浓度为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,10)))eq \s\up12(n＋1)，由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,10)))eq \s\up12(n＋1)<10%，得n＋1>eq \f(－1,lg\f(9,10))＝eq \f(－1,2lg 3－1)≈21.8，所以n≥21.
4．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是T1(℃)，空气的温度是T0(℃)，经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)e－0.25t求得．把温度是90 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50 ℃，那么t的值约等于(参考数据：ln 3≈1.099，ln 2≈0.693)( )
A．1.78B．2.77
C．2.89D．4.40
解析：选B.由题意可知50＝10＋(90－10)·e－0.25t，整理得e－0.25t＝eq \f(1,2)，即－0.25t＝ln eq \f(1,2)＝－ln 2＝－0.693，解得t≈2.77.
5．某城市出租汽车的收费标准是：起步价为6元，行程不超过2千米者均按此价收费；行程超过2千米，超过部分按3元/千米收费(不足1千米按1千米计价)；另外，遇到堵车或等候时，汽车虽没有行驶，但仍按6分钟折算1千米计算(不足1千米按1千米计价)．陈先生坐了一趟这种出租车，车费24元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程的取值范围是( )
A．[5，6)B．(5，6]
C．[6，7)D．(6，7]
解析：选B.若按x(x∈Z)千米计价，则6＋(x－2)×3＋2×3＝24，得x＝6.故实际行程应属于区间(5，6]．
6．某电脑公司2018年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2020年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2018年到2020年，每年经营总收入的年增长率相同，2019年预计经营总收入为____________万元．
解析：设年增长率为x，则有eq \f(400,40%)×(1＋x)2＝1 690，1＋x＝eq \f(13,10)，因此2019年预计经营总收入为eq \f(400,40%)×eq \f(13,10)＝1 300(万元)．
答案：1 300
7．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用．当截取的矩形面积最大时，矩形的两边长x，y分别为________．
解析：由三角形相似，
即eq \f(24－y,24－8)＝eq \f(x,20)，得x＝eq \f(5,4)×(24－y)，
所以S＝xy＝－eq \f(5,4)(y－12)2＋180，
故当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.
答案：15，12
8．某地固定电话市话收费规定：前三分钟0.20元(不满三分钟按三分钟计算)，以后每加一分钟增收0.10元(不满一分钟按一分钟计算)，那么某人打市话550秒，应支付电话费____________元．
解析：设x为通话时间，y为通话费用，则y＝0.2＋0.1×([x]－3)([x]是大于x的最小整数，x＞0)，令x＝eq \f(550,60)，故[x]＝10，则y＝0.90.
答案：0.90
9．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝eq \f(a,x－3)＋10(6－x)，其中3(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
解：(1)因为x＝5时，y＝11，
所以eq \f(a,2)＋10＝11，
解得a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝eq \f(2,x－3)＋10(6－x)．
设商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)(单位：元)，则f(x)＝(x－3)·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,x－3)＋10（6－x）))＝2＋10(x－3)(6－x)＝－10x2＋90x－178＝－10eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(9,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(49,2)，3当x＝eq \f(9,2)时，函数f(x)在定义域(3，6)上取得最大值，为eq \f(49,2).即当销售价格为4.5元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
10．季节性服装的销售当旺季来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后旺季过去，平均每周减价2元，直到16周后，该服装不再销售．
(1)试建立价格p与周次t之间的函数关系式；
(2)若此服装每周进货一次，每件进价Q与周次t之间的关系为Q＝－0.125(t－8)2＋12，t∈[0，16]，t∈N，试问该服装第几周每件销售利润最大？最大值是多少？
解：(1)p＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(10＋2t，t∈[0，5]，t∈N，,20，t∈（5，10]，t∈N，,40－2t，t∈（10，16]，t∈N.))
(2)设第t周时每件销售利润为L(t)，则
L(t)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(10＋2t＋0.125（t－8）2－12，t∈[0，5]，t∈N,20＋0.125（t－8）2－12，t∈（5，10]，t∈N,40－2t＋0.125（t－8）2－12，t∈（10，16]，t∈N))
＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0.125t2＋6，t∈[0，5]，t∈N，,0.125（t－8）2＋8，t∈（5，10]，t∈N，,0.125t2－4t＋36，t∈（10，16]，t∈N.))
当t∈[0，5]，t∈N时，L(t)单调递增，L(t)max＝L(5)＝9.125；
当t∈(5，10]，t∈N时，L(t)max＝L(6)＝L(10)＝8.5；
当t∈(10，16]，t∈N时，L(t)单调递减，L(t)max＝L(11)＝7.125.
由9.125>8.5>7.125，知L(t)max＝9.125.
所以该服装第5周每件销售利润最大，最大值为9.125元．
[B 能力提升]
11．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(米/秒)和燃料的质量M(千克)、火箭(除燃料外)的质量m(千克)的函数关系式是v＝2 000·lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m))).当燃料质量是火箭质量的____________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．
解析：当v＝12 000米/秒时，2 000·lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m)))＝12 000，所以lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m)))＝6，所以eq \f(M,m)＝e6－1.
答案：e6－1
12．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝eq \f(1,2)n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是____________年．
解析：由题意知，第一年产量为a1＝eq \f(1,2)×1×2×3＝3；
以后各年产量分别为an＝f(n)－f(n－1)
＝eq \f(1,2)n(n＋1)(2n＋1)－eq \f(1,2)n(n－1)(2n－1)
＝3n2(n∈N*)，
令3n2≤150，得1≤n≤5eq \r(2)⇒1≤n≤7，
故生产期限最长为7年．
答案：7
13．商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售．问：
(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？
(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？
解：(1)设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，
则x∈(100，300]，n＝kx＋b(k<0)，
因为0＝300k＋b，即b＝－300k，
所以n＝k(x－300)，y＝(x－100)k(x－300)
＝k(x－200)2－10 000k(x∈(100，300])，
因为k<0，所以x＝200时，ymax＝－10 000k，
即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．
(2)由题意得，
k(x－100)(x－300)＝－10 000k·75%，
即x2－400x＋37 500＝0，
解得x＝250或x＝150，
所以商场要获得最大利润的75%，羊毛衫的标价为每件250元或150元．
14．(选做题)某公司对营销人员有如下规定：①年销售额x(万元)在8万元以下，没有奖金；②年销售额x(万元)，x∈[8，64]时，奖金为y万元，且y＝lgax，y∈[3，6]，且年销售额越大，奖金越多；③年销售额x(万元)超过64万元，按年销售额的10%发奖金．
(1)求奖金y关于x的函数解析式；
(2)某营销人员争取年奖金y∈[4，10](万元)，求年销售额x在什么范围内．
解：(1)依题意知y＝lgax在x∈[8，64]上为增函数，
由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lga8＝3，,lga64＝6，))
所以a＝2，
所以y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0，0≤x＜8，,lg2x，8≤x≤64，,\f(1,10)x，x＞64.))
(2)易知x≥8.
当8≤x≤64时，要使y∈[4，10]，
则4≤lg2x≤10，所以16≤x≤1 024，所以16≤x≤64.
当x＞64时，要使y∈[4，10]，
则eq \f(1,10)x∈[4，10]，即40≤x≤100，
所以64＜x≤100.
综上，当年销售额x在[16，100](万元)内时，年奖金y∈[4，10](万元)．