数学必修13.2.1几类不同增长的函数模型随堂练习题

这是一份数学必修13.2.1几类不同增长的函数模型随堂练习题，共6页。

1．某公司为了适应市场需求对产品结构作了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )
A．一次函数B．幂函数
C．指数型函数D．对数型函数
解析：选D.初期增长迅速，后来增长越来越慢，可用对数型函数模型来反映y与x的关系，故选D.
2．甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )
A．甲比乙先出发
B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同
D．甲先到达终点
解析：选D.从题图可以看出，甲、乙两人同时出发(t＝0)，跑相同多的路程(s0)，甲用时(t1)比乙用时(t2)短，即甲比乙的速度快，甲先到达终点．
3．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(双)的关系式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每双10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )
A．200双B．400双
C．600双D．800双
解析：选D.要使该厂不亏本，只需10x－y≥0，
即10x－(5x＋4 000)≥0，解得x≥800.
4．若x∈(0，1)，则下列结论正确的是( )
A．2x>xeq \s\up6(\f(1,2))>lg x
B．2x>lg x>xeq \s\up6(\f(1,2))
C．xeq \s\up6(\f(1,2))>2x>lg x
D．lg x>xeq \s\up6(\f(1,2))>2x
解析：选A.结合y＝2x，y＝xeq \s\up6(\f(1,2))及y＝lg x的图象易知，当x∈(0，1)时，2x>xeq \s\up6(\f(1,2))>lg x.
5．四人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(i∈{1，2，3，4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝lg2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )
A．f1(x)＝x2B．f2(x)＝4x
C．f3(x)＝lg2xD．f4(x)＝2x
解析：选D.显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，故选D.
6．函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．
解析：当x变大时，x比ln x增长要快，
所以x2要比xln x增长得要快．
答案：y＝x2
7.在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示．现给出下列说法：①前5 min温度增加的速度越来越快；②前5 min温度增加的速度越来越慢；③5 min以后温度保持匀速增加；④5 min以后温度保持不变．
其中正确的说法是________．
解析：因为温度y关于时间t的图象是先凸后平，即5 min前每当t增加一个单位增量Δt，则y相应的增量Δy越来越小，而5 min后y关于t的增量保持为0，则②④正确．
答案：②④
8．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此厂3月份该产品产量为________．
解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝a·0.51＋b，,1.5＝a·0.52＋b，))
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝2，))
所以y＝－2×0.5x＋2，
所以3月份产量为y＝－2×0.53＋2＝1.75(万件)．
答案：1.75万件
9．画出函数f(x)＝eq \r(x)与函数g(x)＝eq \f(1,4)x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．
解：函数f(x)与g(x)的图象如图所示：
根据图象易得：
当0≤x＜4时，f(x)>g(x)；
当x＝4时，f(x)＝g(x)；
当x>4时，f(x)10．某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝lga(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度．
解：据表中数据作出散点图如图．
由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理．
不妨将(2，1)代入到h＝lga(t＋1)中，得1＝lga3，解得a＝3.
故可用函数h＝lg3(t＋1)来拟合这个实际问题．
当t＝8时，求得h＝lg3(8＋1)＝2，
故可预测第8年松树的高度为2米．
[B 能力提升]
11.如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at，有以下叙述：
①这个指数函数的底数是2；
②第5个月时，浮萍的面积就会超过30 m2；
③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月；
④浮萍每个月增加的面积都相等．
其中正确的是( )
A．①③B．①②
C．②③④D．①②④
解析：选B.由题意知图象单调递增，底数大于1，又过点(2，4)，故①对；令t＝5，得y＝25＝32>30，故②对；若浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过的时间是1.5个月，则有12＝23.5，因为23.5＝8eq \r(2)≠12，故③错；由指数函数模型的图象上升特征，可知④错．
12．2017～2019年春运期间，某市长途汽车站平均每日发送旅客数量如表所示．为了估测每年春运期间这个汽车站平均每日发送旅客的数量，以2017～2019年三年的数据为依据，选择函数y＝abx－2 016＋c模拟平均每日发送旅客的数量y(万人)与年份x(年)的关系．根据所给数据，预测2020年春运期间该长途汽车站平均每日发送旅客的数量为____________万人．
解析：依题意有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ab＋c＝1，,ab2＋c＝1.2，,ab3＋c＝1.3，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－0.8，,b＝0.5，,c＝1.4，))
所以y＝－0.8×0.5x－2 016＋1.4.
当x＝2 020时，y＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35，
所以预测2020年春运期间该长途汽车站平均每日发送旅客的数量为1.35万人．
答案：1.35
13．某学校为了实现100万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y随生源利润x的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝lg5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
解：借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝lg5x，y＝1.02x的图象(图略)．观察图象可知，在区间[5，100]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝lg5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝lg5x进行奖励才符合学校的要求．
14．(选做题)2018年1月8日，中共中央、国务院隆重举行国家科学技术奖励大会，在科技界引发热烈反响，自主创新正成为引领经济社会发展的强劲动力．某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新材料的含量x(单位：克)的关系为：当0≤x<6时，y是x的二次函数；当x≥6时，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x－t).测得数据如表(部分)
(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数f(x)的最大值．
解：(1)当0≤x<6时，由题意，
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由表格数据可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（0）＝c＝0，,f（1）＝a＋b＋c＝\f(7,4)，,f（2）＝4a＋2b＋c＝3，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,4)，,b＝2，,c＝0，))
所以，当0≤x<6时，
f(x)＝－eq \f(1,4)x2＋2x，
当x≥6时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x－t).由表格数据可得f(9)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(9－t)＝eq \f(1,9)，
解得t＝7.
所以当x≥6时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x－7)，
综上，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)x2＋2x，0≤x<6，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))\s\up12(x－7)，x≥6.))
(2)当0≤x<6时，
f(x)＝－eq \f(1,4)x2＋2x＝－eq \f(1,4)(x－4)2＋4，
所以当x＝4时，函数f(x)的最大值为4；
当x≥6时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x－7)单调递减，
所以f(x)的最大值为f(6)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(6－7)＝3.
因为4>3，
所以函数f(x)的最大值为4.
t(年)
1
2
3
4
5
6
h(米)
0.6
1
1.3
1.5
1.6
1.7
年份
2017年
2018年
2019年
平均每日发送
旅客数量/万人
1
1.2
1.3
x(单位：克)
0
1
2
9
…
y
0
eq \f(7,4)
3
eq \f(1,9)
…