湖北省武汉市洪山区2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（word版 含答案）
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一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．
1．（3分）下列图案中，是中心对称图形的是
A． B． C． D．
2．（3分）解方程，可用配方法将其变形为
A． B． C． D．
3．（3分）一元二次方程化成一般形式后，常数项是，一次项系数是
A．2 B． C．4 D．
4．（3分）平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是
A． B． C． D．
5．（3分）某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均每月增长率为，则根据题意列方程为
A．
B．
C．
D．
6．（3分）抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是
A．先向左平移4个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移4个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移4个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移4个单位，再向上平移3个单位
7．（3分）已知一元二次方程，使方程无实数解的的值可以是
A． B． C．1 D．0
8．（3分）如果，，那么二次函数的图象大致是
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，某圆弧形拱桥的跨度米，拱高米，则该拱桥的半径为
A．15米 B．13米 C．9米 D．6.5米
10．（3分）已知，是方程的两根，则代数式的值是
A．0 B． C． D．1
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上．
11．（3分）若是方程的一个根，则方程的另一个根是 ．
12．（3分）已知，是上两点，圆心角，点是上不同于，的点，则 ．
13．（3分）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，则阴影面积等于 ．
14．（3分）已知与轴交于点、，则分解因式 ．
15．（3分）如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线．给出以下结论：①；②；③若，，，为函数图象上的两点，则；④若关于的一元二次方程有整数根，则对于的每一个值，对应的值有2个．其中正确的有 ．（写出所有正确结论的序号）
16．（3分）如图，为等腰直角三角形，且．点，均在外，满足：，且，．若，则线段的长为 ．
三、解答题（共8小题，共72分）在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程．
17．（8分）解方程．
18．（8分）如图、是上的两点，，是弧的中点，求证四边形是菱形．
19．（8分）如图，在一块长，宽的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，若栽种花草的面积是，则道路的宽应设计为多少？
20．（8分）请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
（1）如图（1），，是所在圆的两条等弦，其中点分别为，，作出该圆的直径；
（2）如图（2），为所在圆的直径，弦，作出该圆的圆心；
（3）如图（3），为的直径，在的延长线上，且．又点在圆外，，，作出点关于直线的对称点．
21．（8分）如图，的直径与弦垂直相交于点．取上一点，连与相交于点．
（1）作于，求证：；
（2）若为的中点，且，求的长．
22．（10分）某医疗器械商店经营销售，两种型号的医疗器械，该店5月从厂家购进，型号器械各10台，共用去1100万元；6月购进5台型、8台型器械，共用去700万元．根据器械的特点和使用要求，，两种型号器械需搭配销售，且每月的销售数量与的销售数量须满足的关系．据统计，该商店每月型器械的销量（台与售价（万元）有如下关系：；型器械的销量（台与售价（万元）有如下关系：．
（1）试求，两种器械每台的进货价格；
（2）若该店今年7月销售，两种型号器械的利润恰好相同（利润不为，试求本月型器械的销售数量；
（3）在，两种器械货源充足的情况下，试计算该店每月销售这两种器械能获得的最大利润．
23．（10分）如图1，四边形为正方形，将绕点顺时针旋转至△的位置，旋转角为．连接，为的中点．
（1）当时，如图2，此时 ；
（2）在（1）的条件下，再将绕点旋转至△的位置．请你在图2中完成作图，并证明：；
（3）将绕点顺时针旋转至如图3所示的位置，试判断的形状并证明．
24．（12分）如图1，已知抛物线的解析式为，直线与轴交于，与抛物线相交于点，在的左侧）．
（1）当时，直接写出，，三点的横坐标： ， ， ；
（2）作轴于，轴于，当变化时，的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出其值；
（3）如图2，点在抛物线上，作轴于，以为半径，且与轴相交于定点．
①求定点的坐标；
②点关于原点的对称点到直线距离的最大值是 ．（直接写出结果）
参考答案与解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．
1．（3分）下列图案中，是中心对称图形的是
A． B． C． D．
【解答】解：选项、、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原图重合，所以不是中心对称图形；
选项能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原图重合，所以是中心对称图形；
故选：．
2．（3分）解方程，可用配方法将其变形为
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
则，即，
故选：．
3．（3分）一元二次方程化成一般形式后，常数项是，一次项系数是
A．2 B． C．4 D．
【解答】解：，
移项得：，
即一次项系数是，
故选：．
4．（3分）平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是
A． B． C． D．
【解答】解：点关于原点对称的点坐标是，
故选：．
5．（3分）某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均每月增长率为，则根据题意列方程为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：二月份的营业额为，三月份的营业额在二月份营业额的基础上增加，
为，则列出的方程是．
故选：．
6．（3分）抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是
A．先向左平移4个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移4个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移4个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移4个单位，再向上平移3个单位
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线向左平移4个单位可得到抛物线，
由“上加下减”的原则可知，抛物线向下平移3个单位可得到抛物线，
故选：．
7．（3分）已知一元二次方程，使方程无实数解的的值可以是
A． B． C．1 D．0
【解答】解：一元二次方程无实数解，
△，
，
故选：．
8．（3分）如果，，那么二次函数的图象大致是
A． B．
C． D．
【解答】解：、根据图象可知，，又，，而这与图象矛盾；
、根据图象可知，，又，，而这与图象矛盾；
、，与轴相交于正半轴，这与已知图象矛盾；
、根据图象可知，，又，所以，符合题意．
故选：．
9．（3分）如图，某圆弧形拱桥的跨度米，拱高米，则该拱桥的半径为
A．15米 B．13米 C．9米 D．6.5米
【解答】解：根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在所在的直线上，
设圆心是，半径是米，连接．
根据垂径定理，得：（米，
在中，根据勾股定理，得，
解得：，
即该拱桥的半径为6.5米，
故选：．
10．（3分）已知，是方程的两根，则代数式的值是
A．0 B． C． D．1
【解答】解：，是方程的两根，
，，
，，
，
原式
，
根据根与系数的关系得，
原式
．
故选：．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上．
11．（3分）若是方程的一个根，则方程的另一个根是 ．
【解答】解：设方程的另一个根为，
根据根与系数的关系得，，
解得，
所以方程的另一个根是．
故答案为：．
12．（3分）已知，是上两点，圆心角，点是上不同于，的点，则 或 ．
【解答】解：当点在所对的优弧上，如图，；
当点在所对的劣弧上，如图，，
综上所述，的度数为或．
故答案为或．
13．（3分）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，则阴影面积等于 ．
【解答】解：在中，，
，，
将绕点逆时针旋转得到，
，，，
，
，
阴影面积，
故答案为：．
14．（3分）已知与轴交于点、，则分解因式 ．
【解答】解：与轴交于点、，
抛物线解析式为，
．
故答案为．
15．（3分）如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线．给出以下结论：①；②；③若，，，为函数图象上的两点，则；④若关于的一元二次方程有整数根，则对于的每一个值，对应的值有2个．其中正确的有 ③④ ．（写出所有正确结论的序号）
【解答】解：抛物线开口向下，
；
抛物线的对称轴为直线，
；
抛物线与轴的交点在轴上方，
，
，
故①不正确；
抛物线的对称轴为直线，
，
，
而与大小不一定，
故②不正确；
，，，在对称轴右侧，，
，故③正确；
抛物线的对称轴是直线，与轴的一个交点是，
抛物线与轴的另个交点是，
把代入得，，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
解得，．
，
顶点坐标为，
由图象得当时，，其中为整数时，，1，2，
又与时，关于直线轴对称
当时，直线恰好过抛物线顶点．
所以值可以有2个．故④正确；
故答案为：③④．
16．（3分）如图，为等腰直角三角形，且．点，均在外，满足：，且，．若，则线段的长为 ．
【解答】解：过点作，交的延长线于点，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，，
，
，
在和中，
，
，
．
三、解答题（共8小题，共72分）在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程．
17．（8分）解方程．
【解答】解：，
△，
，．
18．（8分）如图、是上的两点，，是弧的中点，求证四边形是菱形．
【解答】证明：连，如图，
是的中点，
，
又，
和都是等边三角形，
，
四边形是菱形．
19．（8分）如图，在一块长，宽的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，若栽种花草的面积是，则道路的宽应设计为多少？
【解答】解：设道路的宽应为米，
由题意得，．
解得或（舍去）．
答：道路的宽应设计为．
20．（8分）请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
（1）如图（1），，是所在圆的两条等弦，其中点分别为，，作出该圆的直径；
（2）如图（2），为所在圆的直径，弦，作出该圆的圆心；
（3）如图（3），为的直径，在的延长线上，且．又点在圆外，，，作出点关于直线的对称点．
【解答】解：（1）如图（1），直径即为所求；
（2）如图（2），圆心即为所求；
（3）如图（3），点即为所求．
证明：，，
，
，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
．
点关于直线的对称点是点．
21．（8分）如图，的直径与弦垂直相交于点．取上一点，连与相交于点．
（1）作于，求证：；
（2）若为的中点，且，求的长．
【解答】（1）证明：如图1中，
，
，
，
，
，，，
．
（2）解：如图2中，连接，，．
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
．
22．（10分）某医疗器械商店经营销售，两种型号的医疗器械，该店5月从厂家购进，型号器械各10台，共用去1100万元；6月购进5台型、8台型器械，共用去700万元．根据器械的特点和使用要求，，两种型号器械需搭配销售，且每月的销售数量与的销售数量须满足的关系．据统计，该商店每月型器械的销量（台与售价（万元）有如下关系：；型器械的销量（台与售价（万元）有如下关系：．
（1）试求，两种器械每台的进货价格；
（2）若该店今年7月销售，两种型号器械的利润恰好相同（利润不为，试求本月型器械的销售数量；
（3）在，两种器械货源充足的情况下，试计算该店每月销售这两种器械能获得的最大利润．
【解答】解：（1）设，两种型号器械每台进价分别为、万元，
由题意，得，
解得；，
种型号器械每台进价60万元，种型号器械每台进价50万元；
（2）由题知，，
即，
整理得：①，
7月份型号器械利润为：，
7月份型号器械利润为：，
，
②，
联立①②得：，
解得：，
，
月份型器械的销售数量为10台；
（3）总利润
，
，
当时，有最大值，最大值为675，
该店每月销售这两种器械能获得的最大利润为675万元．
23．（10分）如图1，四边形为正方形，将绕点顺时针旋转至△的位置，旋转角为．连接，为的中点．
（1）当时，如图2，此时 ；
（2）在（1）的条件下，再将绕点旋转至△的位置．请你在图2中完成作图，并证明：；
（3）将绕点顺时针旋转至如图3所示的位置，试判断的形状并证明．
【解答】解：（1），，
，
故答案为：；
（2）如图，将绕点旋转至△的位置，
，
，
，
，
、、在同一直线上，
，
，
；
（3）为等腰直角三角形，理由如下：
延长至，使，连接，，
，，，
△，
，，
，，
，
，
，
，，
△，
，，
，
△为等腰直角三角形，
，
，，
为等腰直角三角形．
24．（12分）如图1，已知抛物线的解析式为，直线与轴交于，与抛物线相交于点，在的左侧）．
（1）当时，直接写出，，三点的横坐标： ， ， ；
（2）作轴于，轴于，当变化时，的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出其值；
（3）如图2，点在抛物线上，作轴于，以为半径，且与轴相交于定点．
①求定点的坐标；
②点关于原点的对称点到直线距离的最大值是 ．（直接写出结果）
【解答】解：（1）当时，，
令，得，
解得：，
，
由题意得：，
解得：，，
，，，，
故答案为：，，4；
（2）的值不变．
由，
得：，
整理得：，
，，
轴，轴，
，，
在中，令，得，
，
；
（3）①如图2，设，，
过点作轴于点，与关于原点对称，连接、，
则，，
，
，
整理得：，
解得：，，
点是一个定点，
；
②与关于原点对称，
，
，
在中，，
当直线时，点到直线距离的最大值是5，
故答案为：5．
2021-2022学年湖北省武汉市洪山区八年级（下）期中数学试卷： 这是一份2021-2022学年湖北省武汉市洪山区八年级（下）期中数学试卷，共25页。
2021-2022学年湖北省武汉市洪山区七年级（上）期中数学试卷： 这是一份2021-2022学年湖北省武汉市洪山区七年级（上）期中数学试卷，共15页。
湖北省武汉市洪山区2022_2023学年九年级上学期期中数学试卷： 这是一份湖北省武汉市洪山区2022_2023学年九年级上学期期中数学试卷，共25页。
