电磁感应重点难点易错点——“杆＋导轨”类问题

这是一份电磁感应重点难点易错点——“杆＋导轨”类问题，共9页。
类型一：单杆+电阻+导轨模型类
【初建模型】
【例题1】如图所示，相距为L的两条足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ与水平面的夹角为θ，N、Q两点间接有阻值为R的电阻。整个装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下。将质量为m、阻值也为R的金属杆cd垂直放在导轨上，杆cd由静止释放，下滑距离x时达到最大速度。重力加速度为g，导轨电阻不计，杆与导轨接触良好。求：
(1)杆cd下滑的最大加速度和最大速度；
(2)上述过程中，杆上产生的热量。
【内化模型】
单杆+电阻+导轨四种题型剖析
【应用模型】
【变式】：此题若已知金属杆与导轨之间的动摩擦因数为μ。现用沿导轨平面向上的恒定外力F作用在金属杆cd上，使cd由静止开始沿导轨向上运动，求cd的最大加速度和最大速度。
类型二：单杆+电容器(或电源)+导轨模型类
【初建模型】
【例题2】如图所示，在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L。一质量为m的导体棒cd垂直于MN、PQ放在轨道而上，与轨道接触良好。轨道和导体棒的电阻均不计。
(1)如图1所示，若轨道左端M、P间接一阻值为R的电阻，导体棒在拉力F的作用下以速度v沿轨道做匀速运动。请通过公式推导证明：在任意一段时间Δt内，拉力F所做的功与电路获得的电能相等。
(2)如图2所示，若轨道左端接一电动势为E、内阻为r的电源和一阻值未知的电阻，闭合开关S，导体棒从静止开始运动，经过一段时间后，导体棒达到最大速度vm，求此时电源的输出功率。
(3)如图3所示，若轨道左端接一电容器，电容器的电容为C，导体棒在水平拉力的作用下从静止开始向右运动。电容器两极板间电势差随时间变化的图像如图4所示，已知t1时刻电容器两极板间的电势差为U1。求导体棒运动过程中受到的水平拉力大小。
【内化模型】
单杆+电容器(或电源)+导轨模型四种题型剖析
【应用模型】
【变式】：例题2第(3)问变成，图3中导体棒在恒定水平外力F作用下，从静止开始运动，导轨与棒间的动摩擦因数为μ，写出导体棒的速度大小随时间变化的关系式。
类型三：双杆+导轨模型类
【初建模型】
【例题3】(1)如图1所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度为B的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计，导轨间的距离为l，两根质量均为m、电阻均为R的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直。在t＝0时刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行，大小恒为F的力作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动，试分析金属杆甲、乙的收尾运动情况。
(2)如图2所示，两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，导轨上横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路。在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行。开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度。若两导体棒在运动中始终不接触，试定性分析两棒的收尾运动情况。
【内化模型】
三大观点透彻解读双杆模型
【应用模型】
【变式】：若例题3(1)中甲、乙两金属杆受恒力作用情况如图所示，两杆分别在方向相反的恒力作用下运动(两杆不会相撞)，试分析这种情况下甲、乙金属杆的收尾运动情况。
电磁感应中的“杆＋导轨”类问题(3大模型)解题技巧训练题
1．如图所示，一对光滑的平行金属导轨固定在同一水平面内，导轨间距l＝0.5m，左端接有阻值R＝0.3Ω的电阻。一质量m＝0.1kg、电阻r＝0.1Ω的金属棒MN放置在导轨上，整个装置置于竖直向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B＝0.4T。棒在水平向右的外力作用下由静止开始以a＝2m/s2的加速度做匀加速运动，当棒的位移x＝9m时撤去外力，棒继续运动一段距离后停下来，已知撤去外力前后回路中产生的焦耳热之比Q1∶Q2＝2∶1。导轨足够长且电阻不计，棒在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触。求：
(1)棒在匀加速运动过程中，通过电阻R的电荷量q；
(2)撤去外力后回路中产生的焦耳热Q2；
(3)外力做的功WF。
2．如图所示，水平面内有两根足够长的平行导轨L1、L2，其间距d＝0.5m，左端接有容量C＝2000μF的电容。质量m＝20g的导体棒可在导轨上无摩擦滑动，导体棒和导轨的电阻不计。整个空间存在着垂直导轨所在平面的匀强磁场，磁感应强度B＝2T。现用一沿导轨方向向右的恒力F1＝0.44N作用于导体棒，使导体棒从静止开始运动，经t时间后到达B处，速度v＝5m/s。此时，突然将拉力方向变为沿导轨向左，大小变为F2，又经2t时间后导体棒返回到初始位置A处，整个过程电容器未被击穿。求
(1)导体棒运动到B处时，电容C上的电量；
(2)t的大小；
(3)F2的大小。
3．如图所示，两根竖直固定的足够长的金属导轨ab和cd相距L＝0.2m，另外两根水平金属杆MN和PQ的质量均为m＝10kg，可沿导轨无摩擦地滑动，MN杆和PQ杆的电阻均为R＝0.2Ω(竖直金属导轨电阻不计)，PQ杆放置在水平绝缘平台上，整个装置处于垂直导轨平面向里的磁场中，g取10m/s2。
(1)若将PQ杆固定，让MN杆在竖直向上的恒定拉力F＝0.18N的作用下由静止开始向上运动，磁感应强度B0＝1.0T，杆MN的最大速度为多少？
(2)若将MN杆固定，MN和PQ的间距为d＝0.4m，现使磁感应强度从零开始以eq \f(ΔB,Δt)＝0.5T/s的变化率均匀地增大，经过多长时间，杆PQ对地面的压力为零？
4．如图所示，两平行且无限长光滑金属导轨MN、PQ与水平面的夹角为θ＝30°，两导轨之间相距为L＝1m，两导轨M、P间接入电阻R＝0.2Ω，导轨电阻不计。在abdc区域内有一个方向垂直于两导轨平面向下的磁场Ⅰ，磁感应强度为B0＝1T，磁场的宽度x1＝1m，在cd连线以下的区域有一个方向也垂直于两导轨平面向下的磁场Ⅱ，磁感应强度为B1＝0.5T。一个质量为m＝1kg的金属棒垂直放在金属导轨上，与导轨接触良好，金属棒的电阻r＝0.2Ω。若将金属棒在离ab连线上端x0处自由释放，则金属棒进入磁场Ⅰ恰好做匀速直线运动。金属棒进入磁场Ⅱ后，经过ef时系统达到稳定状态，cd与ef之间的距离x2＝8m。(g取10m/s2)
(1)求金属棒从开始静止到在磁场Ⅱ中达到稳定状态这一过程中电阻R产生的热量；
(2)求金属棒从开始运动到在磁场Ⅱ中达到稳定状态所经过的时间。
电磁感应中的“杆＋导轨”类问题(3大模型)解题技巧
训练题参考答案
1．【答案】：(1)4.5C；(2)1.8J；(3)5.4J。
【解析】：(1)设金属棒做匀加速运动的时间为Δt，回路中磁通量的变化量为ΔΦ，回路中产生的平均感应电动势为eq \x\t(E)，则由法拉第电磁感应定律得eq \x\t(E)＝eq \f(ΔΦ,Δt)，其中ΔΦ＝Blx
设回路中的平均电流为eq \x\t(I)，则由闭合电路欧姆定律得eq \x\t(I)＝eq \f(\x\t(E),R＋r)
通过电阻R的电荷量q＝eq \x\t(I)Δt
联立以上各式，代入数据解得q＝4.5C。
(2)设撤去外力时棒的速度为v，在棒做匀加速运动的过程中，由运动学公式得v2＝2ax
设棒在撤去外力后的运动过程中安培力做的功为W，由动能定理得W＝0－eq \f(1,2)mv2
撤去外力后回路中产生的焦耳热Q2＝－W
代入数据解得Q2＝1.8J。
(3)由题意知，撤去外力前后回路中产生的焦耳热之比Q1∶Q 2＝2∶1，
可得Q1＝3.6J
在棒运动的整个过程中，由功能关系可知WF＝Q1＋Q2＝5.4J。
2．【答案】：(1)1×10－2C；(2)0.25s；(3)0.55N。
【解析】：(1)当导体棒运动到B处时，电容器两端电压为U＝Bdv＝2×0.5×5 V＝5V
此时电容器的带电量q＝CU＝2 000×10－6×5 C＝1×10－2C。
(2)棒在F1作用下有F1－BId＝ma1，
又I＝eq \f(Δq,Δt)＝eq \f(CBdΔv,Δt)，a1＝eq \f(Δv,Δt)
联立解得：a1＝eq \f(F1,m＋CB2d2)＝20 m/s2
则t＝eq \f(v,a1)＝0.25s。
(3)由(2)可知棒在F2作用下，运动的加速度a2＝eq \f(F2,m＋CB2d2)，方向向左，
又eq \f(1,2)a1t2＝－
将相关数据代入解得F2＝0.55N。
3．【答案】：(1)0.8m/s；(2)10s。
【解析】：(1)MN杆切割磁感线产生的感应电动势为E1＝B0Lv
由闭合电路欧姆定律，得I1＝eq \f(E1,2R)
MN杆所受安培力大小为F安＝B0I1L
对MN杆应用牛顿第二定律，得F－mg－F安＝ma
当MN杆速度最大时，MN杆的加速度为零，联立解得，MN杆的最大速度为
vm＝＝m/s＝0.8m/s。
(2)回路中的感应电动势为E2＝eq \f(ΔΦ,Δt)＝eq \f(ΔBLd,Δt)
由闭合电路欧姆定律得I2＝eq \f(E2,2R)
t时刻的磁感应强度为B＝eq \f(ΔB,Δt)t
PQ杆对地面的压力恰好为零时，由平衡条件，有mg＝BI2L
联立解得t＝eq \f(2mgR,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ΔB,Δt)))2L2d)＝eq \f(2×10－2×10×0.2,0.52×0.22×0.4)s＝10s。
4．【答案】：(1)7.5J；(2)3.1s。
【解析】：(1)金属棒进入磁场Ⅰ区域匀速运动，则I＝eq \f(B0Lv1,R＋r)
mgsin30°＝B0IL
解得：v1＝2 m/s
金属棒在未进入磁场前做初速度为0的匀加速直线运动，则mgsin30°＝ma
解得：a＝5m/s2
由运动学公式，有2ax0＝v12
解得：x0＝0.4 m
金属棒在通过磁场Ⅱ区域达到稳定状态时，重力沿斜轨道向下的分力与安培力相等。
I′＝eq \f(B1Lv2,R＋r)
mgsin30°＝B1I′L
解得：v2＝8 m/s
金属棒从开始运动到在磁场Ⅱ区域中达到稳定状态过程中，根据动能定理，有
mg(x0＋x1＋x2)sin 30°＋W安＝eq \f(1,2)mv22－0
产生的热量：Q＝－W安＝15J
QR＝eq \f(1,2)Q＝7.5J。
(2)v1＝at1，t1＝0.4s，x1＝v1t2，t2＝0.5 s
金属棒在磁场Ⅱ中达到稳定状态前的过程中取任意微小过程，设这一微小过程的时间为Δti，速度为vi，速度的变化量为Δvi，则由牛顿第二定律，有：
mgsin30°－eq \f(B12L2vi,R＋r)＝meq \f(Δvi,Δti)
mgsin30°Δti－eq \f(B12L2viΔti,R＋r)＝mΔvi
金属棒从进入磁场Ⅱ到在磁场Ⅱ中达到稳定状态的过程中，有：
mgsin30°∑Δti－eq \f(B12L2∑viΔti,R＋r)＝m∑Δvi
mgsin30°t3－eq \f(B12L2x2,R＋r)＝m(v2－v1)
解得：t3＝2.2s
所以：t＝t1＋t2＋t3＝3.1s。题型一(v0≠0)
题型二(v0＝0)
题型三(v0＝0)
题型四(v0＝0)
说明
杆cd以一定初速度v0在光滑水平轨道上滑动，质量为m，电阻不计，两导轨间距为L
轨道水平光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两导轨间距为L，拉力F恒定
倾斜轨道光滑，倾角为α，杆cd质量为m，两导轨间距为L
竖直轨道光滑，杆cd质量为m，两导轨间距为L
示意图
力学观点
杆以速度v切割磁感线产生感应电动势E＝BLv，电流I＝eq \f(BLv,R)，安培力F＝BIL＝eq \f(B2L2v,R)。杆做减速运动：v↓⇒F↓⇒a↓，当v＝0时，a＝0，杆保持静止
开始时a＝eq \f(F,m)，杆cd速度v↑⇒感应电动势E＝BLv↑⇒I↑⇒安培力F安＝BIL↑，由F－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，vm＝eq \f(FR,B2L2)
开始时a＝gsin α，杆cd速度v↑⇒感应电动势E＝BLv↑⇒I↑⇒安培力F安＝BIL↑，由mgsin α－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，vm＝eq \f(mgRsin α,B2L2)
开始时a＝g，杆cd速度v↑⇒感应电动势E＝BLv↑⇒I↑⇒安培力F安＝BIL↑，由mg－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，vm＝eq \f(mgR,B2L2)
图像观点
能量观点
动能全部转化为内能：Q＝eq \f(1,2)mv02
F做的功一部分转化为杆的动能，一部分转化为内能：WF＝Q＋eq \f(1,2)mvm2
重力做的功(或减少的重力势能)一部分转化为杆的动能，一部分转化为内能：WG＝Q＋eq \f(1,2)mvm2
重力做的功(或减少的重力势能)一部分转化为杆的动能，一部分转化为内能：WG＝Q＋eq \f(1,2)mvm2
题型一(v0＝0)
题型二(v0＝0)
题型三(v0＝0)
题型四(v0＝0)
说明
轨道水平光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两导轨间距为L
轨道水平光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两导轨间距为L，拉力F恒定
倾斜轨道光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两导轨间距为L
竖直轨道光滑，杆cd质量为m，电阻为R，两导轨间距为L
示意图
力学观点
S闭合，杆cd受安培力F＝eq \f(BLE,r)，a＝eq \f(BLE,mr)，杆cd速度v↑⇒感应电动势E感＝BLv↑⇒I↓⇒安培力F＝BIL↓⇒加速度a↓，当E感＝E时，v最大，且vm＝eq \f(E,BL)
开始时a＝eq \f(F,m)，杆cd速度v↑⇒E＝BLv↑，经过Δt速度为v＋Δv，E′＝BL(v＋Δv)，Δq＝C(E′－E)＝CBLΔv，I＝eq \f(Δq,Δt)＝CBLa，F安＝CB2L2a，a＝eq \f(F,m＋B2L2C)，所以杆匀加速运动
开始时a＝gsinα，杆cd速度v↑⇒E＝BLv↑，经过Δt速度为v＋Δv，E′＝BL(v＋Δv)，Δq＝C(E′－E)＝CBLΔv，I＝eq \f(Δq,Δt)＝CBLa，F安＝CB2L2a，mgsin α－F安＝ma，a＝eq \f(mgsin α,m＋CB2L2)，所以杆匀加速运动
开始时a＝g，杆cd速度v↑⇒E＝BLv↑，经过Δt速度为v＋Δv，E′＝BL(v＋Δv)，Δq＝C(E′－E)＝CBLΔv，I＝eq \f(Δq,Δt)＝CBLa，F安＝CB2L2a，mg－F安＝ma，a＝eq \f(mg,m＋CB2L2)，所以杆匀加速运动
图像观点
能量观点
电源输出的电能转化为动能：W电＝eq \f(1,2)mvm2
F做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能：WF＝eq \f(1,2)mv2＋EC
重力做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能：WG＝eq \f(1,2)mv2＋EC
重力做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能：WG＝eq \f(1,2)mv2＋EC
示意图
力学观点
图像观点
能量观点
导体棒1受安培力的作用做加速度减小的减速运动，导体棒2受安培力的作用做加速度减小的加速运动，最后两棒以相同的速度做匀速直线运动
棒1动能的减少量＝棒2动能的增加量＋焦耳热
两棒以相同的加速度做匀加速直线运动
外力做的功＝棒1的动能＋棒2的动能＋焦耳热