高考解析几何常考题型（解析版）

  高考解析几何常考题型（解析版）    

【高考考试趋势】

    解析几何一直是高考数学中的计算量代名词，在高考中所占的比例一直是2+1+1模式。即两道选择，一道填空，一道解答题。高考中选择部分，一道圆锥曲线相关的简单概念以及简单性质，另外一道是圆锥曲线的性质会与直线、圆等结合考查一道综合题目，一般难度诶中等。填空题目也是综合题目，难度中等。大题部分一般是以椭圆抛物线性质为主，加之直线与圆的相关性子相结合，常见题型为定值、定点、对应变量的取值范围问题、面积问题等。双曲线一般不出现在解答题中，一般出现在小题中。复习解答题时也应是以椭圆、抛物线为主。本专题主要通过对高考中解析几何的知识点的统计，整理了高考中常见的解析几何的题型进行详细的分析与总结，通过本专题的学习，能够掌握高考中解析几何出题的脉略，从而能够对于高考中这一重难点有一个比较详细的认知，对于解析几何的题目的做法能够有一定的理解与应用。

【知识点分析及满分技巧】

1、定值问题：采用逆推方法，先计算出结果.即一般会求直线过定点，或者是其他曲线过定点.对于此类题目一般采用特殊点求出两组直线，或者是曲线然后求出两组直线或者是曲线的交点即是所要求的的定点。算出结果以后，再去写出一般情况下的步骤。

    2、定值问题：一般也是采用利用结果写过程的形式。先求结果一般会也是采用满足条件的特殊点进行带入求值（最好是原点或是（1.0）此类的点）.所得答案即是要求的定值.然后再利用答案，写出一般情况下的过程即可。注：过程中比较复杂的解答过程可以不求，因为已经知道答案，直接往答案上凑即可。

    3、关于取值范围问题：一般也是采用利用结果写过程的形式。对于答案的求解，一般利用边界点进行求解，答案即是在边界点范围内。知道答案以后再写出一般情况下的步骤比较好写。一般情况下的步骤对于复杂的计算可以不算。

一、单选题

1．已知为双曲线的右顶点，为双曲线右支上一点，若点关于双曲线中心的对称点为，设直线，的倾斜角分别为，且，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

设，，以及，代入整理可得答案．

【详解】

设，.

因为，

则，所以.

又，

所以.

所以.

所以.

所以.

所以双曲线的渐近线方程为.

故选：B.

2．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若＝2，且·＝1，则点P的轨迹方程是（    ）

A． x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0) B．x2－3y2＝1(x＞0，y＞0)

C．3x2－y2＝1(x＞0，y＞0) D．3x2＋y2＝1(x＞0，y＞0)

【答案】A

【分析】

设A(a，0)，B(0，b)，a＞0，b＞0，由,得a＝x＞0，b＝3y＞0，再由，ax＋by＝1，两式联立求解即可.

【详解】

设A(a，0)，B(0，b)，a＞0，b＞0.

由,

得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，

即a＝x＞0，b＝3y＞0.

又点Q与点P关于y轴对称，则点Q(－x，y)，

由，

得(－x，y)·(－a，b)＝1，即ax＋by＝1.

将a＝x，b＝3y代入ax＋by＝1，

得所求的轨迹方程为x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)．

故选：A

3．已知双曲线的离心率与椭圆的离心率互为倒数，则该双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

先求出双曲线的离心率和椭圆的离心率，根据条件可得，解出的值，再求出双曲线的渐近线方程.

【详解】

双曲线的离心率为

在椭圆中，由于，则，所以焦点在轴上

所以椭圆的离心率为

由条件可得解得：

所以双曲线的渐近线方程为：

故选：B

4．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则的周长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据题中光学性质作出图示，先求解出点坐标以及直线的方程，从而联立直线与抛物线方程求解出点坐标，再根据焦半径公式以及点到点的距离公式求解出的三边长度，从而周长可求.

【详解】

如下图所示：因为，所以，所以，所以，

又因为，所以，即，

又，所以，所以或，所以，所以，所以，

又因为，，，

所以的周长为：，

故选：B.

【点睛】

结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）

（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；

（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；

（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；

（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.

5．设是椭圆的一个焦点，是上的点，圆与直线交于，两点，若，是线段的两个三等分点，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

取中点，椭圆另一个焦点为，连结根据平面几何的知识、勾股定理及中位线的性质得，即可求解.

【详解】

如图，

取中点，椭圆另一个焦点为，连结.

、三等分线段，

也是中点，即

设，则，，，

在中，，解得.

在中，，，，

由

化简得，.

即的离心率为.

故选：

【点睛】

关键点点睛：本题考查椭圆离心率的求解问题，关键是根据题设条件获得关于，，的关系式，最后化归为，（或的关系式，利用方程求解，属于中档题.

6．已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为．若，则该双曲线离心率的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

根据题中的条件求出，根据三角形两边之和大于第三边得到，再根据，得到，即可求出离心率的取值范围.

【详解】

解：如图所示：

，是双曲线的左右焦点，延长交于点，

是的角平分线，

，

又点在双曲线上，

，，

又是的中点，是的中点，

是的中位线，

，

即，

在中，，，，

由三角形两边之和大于第三边得：，

两边平方得：，

即，

两边同除以并化简得：，

解得：，

又，

，

在中，由余弦定理可知，，

在中，，

即，

又，

解得：，

又，

,

即，

，

综上所述：.

故选：B.

【点睛】

方法点睛：求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：

①求出，，代入公式；

②只需要根据一个条件得到关， ，的齐次式，结合转化为，的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围)．

二、多选题

7．已知点在拋物线的准线上，是拋物线的焦点.过点的两条直线分别与抛物线相切于点，，直线交直线于点，则下列结论正确的是（    ）

A．拋物线方程为 B．直线的方程为

C． D．

【答案】BCD

【分析】

首先根据点的坐标，可知准线方程，从而确定抛物线方程，再判断A选项，求出在点处的切线方程，切线都过点,从而确定直线的方程，判断B选项；再根据根与系数的关系求是否为0，判断C选项；确定，再判断D选项.

【详解】

因为点在抛物线的准线上，所以，，抛物线的方程为，故A错误.

设，，则抛物线在，两点处的切线方程分别为，根据，化简可得，同理可得，因为两直线均过点，所以，，则点，均在直线上，所以直线的方程为，即，故B正确.

联立直线与拋物线的方程得得，所以，所以，所以，，故C正确.

又，，所以，所以，所以.

故选：BCD.

【点睛】

本题是综合性题目，属于探索创新情境，具体是数学探究请境.

关键点点睛：本题以直线与抛物线相切为载体,考查抛物线的几何性质及直线与抛物线的位置关系，本题的关键利用在点处的切线方程都过点,求出直线的方程.

8．抛物线的焦点为F，P为其上一动点，设直线l与抛物线C相交于A，B两点，点下列结论正确的是（    ）

A．|PM| +|PF|的最小值为3

B．抛物线C上的动点到点的距离最小值为3

C．存在直线l，使得A，B两点关于对称

D．若过A、B的抛物线的两条切线交准线于点T，则A、B两点的纵坐标之和最小值为2

【答案】AD

【解析】

 【分析】

根据抛物线的性质对每个命题进行判断．

 【详解】

A．设是抛物线的准线，过 作于，则 ，当且仅当三点共线时等号成立．所以 最小值是3，A正确；

B．设 是抛物线上任一点，即， ，时， ，B错误；

C．假设存在直线，使得A， B两点关于 对称，设方程为 ，由 得 ， 

所以， ，设 ，则， 中点为 ，则 ， ，必在直线 上，

所以， ，这与直线 抛物线相交于两个点矛盾，故不存在，C错误；

D．设 ，由即，得 ，则切线方程为 ，

即 ，同理方程是 ，

由 ，解得 ，由题意在准线 上，

所以 ，，

所以 ，

所以时， 为最小值．D 正确．

故选：AD．

  【点睛】

本题考查抛物线的性质，涉及抛物线的定义，抛物线上的点到定点距离的最值，抛物线上的点关于定直线的对称性，抛物线的切线问题，难度较大．

三、填空题

9．设为双曲线的右焦点，为坐标原点，､是以为直径的圆与双曲线渐近线的两个交点.若，则___________.

【答案】

【分析】

由已知得出点坐标，代入渐近线方程即可．

【详解】

由已知可得，又点在渐近线 上，

又 ，

10．平面直角坐标系xOy中，已知AB是圆C：的一条弦，且，M是AB的中点.当弦AB在圆C上运动时，直线l：上总存在P，Q两点，使得恒成立，则线段PQ长度的取值范围是_____.

【答案】

【分析】

由点M所在圆的方程为，要使得恒成立，则点M所在的圆在以PQ为直径的圆的内部，结合点到直线的距离公式，进而得到圆的半径的最小值.

【详解】

由圆C：可知圆心C，半径为，

因为M是AB的中点，所以，

又因为，所以三角形ABC为等腰直角三角形，所以，

即点M在以C为圆心，1为半径的圆上，

点M所在圆的方程为，

要使得恒成立，则点M所在的圆在以PQ为直径的圆的内部，

而P，Q在直线l：上，

点C到直线l：的距离，

所以以PQ为直径的圆的半径的最小值为，

所以PQ的最小值为.

故答案为：.

11．过抛物线的焦点作斜率为2的直线，与该抛物线交于，两点，若的面积等于(为坐标原点)，则______．

【答案】2

【分析】

先由抛物线方程写出焦点的坐标，然后可得直线的方程，把直线方程代入抛物线方程，得到点，的纵坐标的关系式，结合已知并利用三角形的面积公式列出方程，可求得的值.

【详解】

由题意可得抛物线的焦点，从而直线的方程为，

代入抛物线方程，得.设，，则，，

的面积为，得.

故答案为：2.

【点睛】

关键点点睛：解题关键在于，利用联立方程和韦达定理，得到的面积为，进而求解，难度属于基础题

12．已知椭圆：，是轴正半轴上一动点，若以为圆心任意长为半径的圆与椭圆至多有两个交点，则的取值范围是_____.

【答案】

【分析】

联立椭圆方程与圆的方程，消去得到关于的一元二次方程，把圆与椭圆至多有两个交点转化为关于的一元二次方程在至多有一个根，再根据根的分布得到的取值范围.

【详解】

联立方程消去得：，

因为以为圆心任意长为半径的圆与椭圆至多有两个交点，

由于圆和椭圆的对称性，所以关于的方程对任意，在至多有一个根.

令，对称轴，

因为在轴正半轴，所以.

当时，即，方程在至多有一根，符合题意；

当，即，方程在至多有一根，则必有

或，对任意恒成立，

即或对任意的恒成立，其中，

因为，，

所以两个不等式对任意的都不会恒成立，所以不符合题意.

故填：.

【点睛】

本题以椭圆与圆的交点个数的几何问题，转化成一元二次方程在闭区间上根的个数问题，体现解析几何坐标化思想的运用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，是一道综合性较强的试题.

四、解答题

13．已知椭圆过点，其长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，直线与轴的正半轴和轴分别交于点，与椭圆相交于两点，各点互不重合，且满足.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线的方程为，求的值；

（3）若，试证明直线恒过定点，并求此定点的坐标.

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析，.

【分析】

（1）由题意，得到和，结合，求得的值，即可求得椭圆的标准方程；

（2）由直线的方程为，根据，求得，得到，联立方程组，结合根与系数的关系，即可求解；

（3）设直线的方程为，由，得到和，联立方程组，结合根与系数的关系和，求得，得到直线的方程，即可求解.

【详解】

（1）由题意，因为椭圆过点，可得，

设焦距为，又由长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，

可得，即

又因为，解得，

所以椭圆的标准方程为.

（2）由直线的方程为，可得而，

设，因为，

可得，

从而，

于是，所以，

由，整理得，可得，

所以.

（3）显然直线的斜率存在且不为零，

设直线的方程为，，

可得，

由，可得，

所以，从而，同理，

又，∴，
联立，得，
则，

且

③代入①得，∴，(满足②)

故直线的方程为，所以直线恒过定点.

【点睛】

解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：

1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；

2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.

14．已知动点到直线的距离比到点的距离大.

（1）求动点所在的曲线的方程；

（2）已知点，是曲线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值；

（3）已知点，是曲线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率之和为，证明：直线过定点.

【答案】（1）；（2）证明见解析，定值；（3）证明见解析.

【分析】

（1）根据题意转化为动点到直线的距离和到点的距离相等，结合抛物线的定义，即可求得曲线的方程；

（2）由和，分别联立方程组，求得和，结合斜率公式，即可求解；

（3）由：，，分别联立方程组和，求得，求得直线的方程，即可求解.

【详解】

（1）已知动点到直线的距离比到点的距离大，

等价于动点到直线的距离和到点的距离相等，

由抛物线的定义可得曲线的轨迹时以为焦点，以直线为准线的方程，

且，所以曲线的方程为.

（2）设直线的斜率为，

因为直线的斜率与直线的斜率互为相反数，所以直线的斜率为，

则，

联立方程组，整理得，

即，可得

联立方程组，整理得，

即，可得

所以，即直线的斜率为定值.

（3）设直线的斜率为，所以直线的斜率为，

则，

两类方程组，整理得，

即，可得，

联立方程组，可得，

即，可得

所以，

所以，整理得

所以直线恒过.

【点睛】

解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：

1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；

2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.

15．已知椭圆经过点，且离心率.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若斜率为且不过点的直线交于两点，记直线，的斜率分别为，，且，求直线的斜率.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）由题意可得 ，解方程组即可求得的值，进而可得椭圆的标准方程；

（2））设直线的方程为，，，与椭圆方程联立消元可得关于的一元二次方程，由韦达定理可得，因为，所以，同理可得，再利用即可求得直线的斜率.

【详解】

（1）因为在椭圆上，所以，

又，，

由上述方程联立可得，，

所以椭圆的标准方程为.

（2）设直线的方程为，

设，，

由消得：

，

所以，

因为，所以，

同理可得，

因为，，

所以

.

【点睛】

关键点点睛：第二问关键点是设，，则，设直线的方程为与联立，利用韦达定理可以求出，将中的替换为可得，代入直线方程可求，再代入可计算出的值.

16．如图，已知圆：，点是圆内一个定点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点.当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）设过点的直线与曲线相交于两点（点在两点之间）.是否存在直线使得？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）（2）存在，或．

【分析】

（1）结合垂直平分线的性质和椭圆的定义，求出椭圆的方程.

（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用，结合向量相等的坐标表示，求得直线的斜率，进而求得直线的方程.方法一和方法二的主要曲边是直线的方程的设法的不同.

【详解】

（1）因为圆的方程为，

所以，半径．

因为是线段的垂直平分线，所以．

所以．

因为，

所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长的椭圆．

因为，，，

所以曲线的方程为．

（2）存在直线使得．

方法一：因为点在曲线外，直线与曲线相交，

所以直线的斜率存在，设直线的方程为．

设，

由 得．

则，                    ①

，                    ②

由题意知，解得．

因为，

所以，即．  ③

把③代入①得，        ④

把④代入②得，得，满足．

所以直线的方程为：或．

方法二：因为当直线的斜率为0时，，，，

此时．

因此设直线的方程为：．

设，

由  得．

由题意知，解得或，

则，            ①  

，              ②

因为，所以． ③

把③代入①得，        ④

把④代入②得，，满足或．

所以直线的方程为或．

【点睛】

本小题主要考查椭圆的定义和标准方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.

17．已知双曲线的方程为：，其左右顶点分别为：，，一条垂直于轴的直线交双曲线于，两点，直线与直线相交于点.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）过点的直线，与轨迹交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，试探讨是否为定值.若为定值，求出定值，否则说明理由.

【答案】（1）；（2）为定值，.

【分析】

（1）设直线为：，，，以及，利用三点共线得到，，两式相乘化简得，再利用点在双曲线上代入整理即可得到答案；（2）显然直线不垂直轴，①当时，易证，②当时，利用点斜式设出直线方程，联立直线与椭圆的方程消，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理以及弦长公式求出，求出的中点坐标，利用点斜式求出线段的垂直平分线的方程，求出点的坐标，利用两点间的距离公式求解，即可得出答案.

【详解】

（1）由题意知：，，

设直线为：，，，以及，

由三点以及三点共线，则

，，

两式相乘化简得：，

又，

代入上式得轨迹的方程：.

（2）显然直线不垂直轴，

①当时，直线的方程为：，

线段为椭圆的长轴，线段的垂直平分线交轴于点，

则，,,

所以；

②当时，设方程为：，

联立方程得，

化简整理得：，

设，，

，

，

线段的中点的坐标为，

线段的垂直平分线的方程为：，

令，则，

，

∴.

综上：.

【点睛】

本题主要考查了求椭圆的轨迹问题，考查了两条线段的比值是否为定值的问题，解题时要认真审题，考查了学生的运算求解能力.属于中档题.