2021-2022学年河南省部分学校联考九年级上学期第一次调研数学试卷

这是一份2021-2022学年河南省部分学校联考九年级上学期第一次调研数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题{共75分）等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年九年级第一学期第一次调研数学试卷
一、选择题（下面各题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的序号填涂在答题卡相应位置。每小题3分，共30分）
1．下列二次根式，化简后能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
2．在根式①②③④中，最简二次根式是（　　）
A．①② B．③④ C．①③ D．①④
3．在函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣1 B．x＞﹣1且x≠ C．x≥﹣1且x≠ D．x≤﹣1且x≠
4．下列方程属于一元二次方程的是（　　）
A．x2+y﹣2＝0 B．x+y＝3 C．x2+2x＝3 D．x+＝5
5．若，则下列变形错误的是（　　）
A． B． C．3a＝2b D．2a＝3b
6．下列各组中的四条线段成比例的是（　　）
A．a＝1，b＝3，c＝2，d＝4 B．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10
C．a＝2，b＝4，c＝3，d＝6 D．a＝2，b＝3，c＝4，d＝1
7．如图，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，若AB＝2，BC＝4，DE＝3，则EF的长是（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
8．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣ B．k＜ C．k＞﹣且k≠0 D．k＜且k≠0
9．已知y＝kx+k﹣1的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2﹣x﹣k2﹣k＝0的根的情况是（　　）

A．无实数根
B．有两个相等或不相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．有两个相等的实数根
10．如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到．矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么等于（　　）

A．0.618 B． C． D．2
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．已知m是的小数部分，则＝　 　．
12．若y＝++1，则x﹣y＝　 　．
13．已知三角形的两边长分别是4和7，第三边是方程x2﹣16x+55＝0的根，则第三边长是　 　．
14．某种型号的电脑，原售价6000元/台，经连续两次降价后，现售价为4860元/台．设平均每次降价的百分率为x，则根据题意可列出方程：　 　．
15．如图，正方形ABCD的对角线AC上有一动点P，作PN⊥CD于点N，连接BP，BN，若AB＝3，BP＝，则BN的长为　 　．

三、解答题{共75分）
16．计算：
（1）；
（2）（）2+（﹣1）（+1）．
17．先化简，再求值：÷（x﹣1﹣），从“1、﹣1、0、2、+1”中选一个合适的实数x代入求值．
18．已知一元二次方程（k﹣2）x2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）定义：如果两个一元二次方程有且仅有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，若一元二次方程x2﹣4x+k＝0与x2+mx﹣1＝0是友好方程，且k是符合（1）中条件的最大整数，求此时m的值．
19．我们知道，解一元二次方程，可以把它转化为两个一元一次方程来解，其实用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，通过解方程x＝0和x2+x﹣2x＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．
（1）方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝　 　，x3＝　 　．
（2）用“转化”的思想求方程＝x的解．
（3）试直接写出方程组的解．
20．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝2，CD＝6，BC＝6，P是BC上任意一点，设BP＝x．
（1）直接写出线段AP＝　 　，DP＝　 　；（用含x的式子表示）
（2）当AP＝DP时，求x的值；
（3）利用“数形结合”的思想，结合此图求代数式+的最小值．

21．如图，在△ABC中，DF∥AC，DE∥BC．
（1）求证：；
（2）若AE＝4，EC＝2，BC＝10，求BF和CF长．

22．阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“减半”矩形．
请你解决下列问题：
（1）当矩形的长和宽分别为1，7时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由．
（2）边长为a的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由．

23．请阅读下列材料，并完成相应的任务：
公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割（goldensection）是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值．
如图①，在线段AD上找一个点C，C把AD分为AC和CD两段，其中AC是较小的一段，如果AC：CD＝CD：AD，那么称线段AD被C点黄金分割，点C叫做线段AD的黄金分割点，AC与CD的比值叫做黄金分割数．
为简单起见，设AD＝1，CD＝x，则AC＝1﹣x．
∵AC：CD＝CD：AD，∴……
任务：
（1）请根据上面的部分解题过程，求黄金分割数．
（2）如图②，采用如下方法可以得到黄金分割点：
①设AB是已知线段，过点B作BD⊥AB且使BD＝AB；
②连结DA，在DA上截取DE＝DB；
③在AB上截取AC＝AE；
则点C即为线段AB黄金分割点．你能说说其中的道理吗？
（3）已知线段AB＝1，点C，D是线段AB上的两个黄金分割点，则线段CD的长是 　 　．



参考答案
一、选择题（下面各题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的序号填涂在答题卡相应位置。每小题3分，共30分）
1．下列二次根式，化简后能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用化简后被开方数相同的二次根式能够合并可得答案．
解：A、＝5不能与﹣合并，故此选项不合题意；
B、＝2能与﹣合并，故此选项符合题意；
C、不能与﹣合并，故此选项不合题意；
D、不能与﹣合并，故此选项不合题意；
故选：B．
2．在根式①②③④中，最简二次根式是（　　）
A．①② B．③④ C．①③ D．①④
【分析】直接根据最简二次根式的定义求解．
解：①不能化简，是最简二次根式；
②＝，不是最简二次根式；
③，不能化简，是最简二次根式；
④＝3，不是最简二次根式；
故选：C．
3．在函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣1 B．x＞﹣1且x≠ C．x≥﹣1且x≠ D．x≤﹣1且x≠
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
解：由题意得：x+1≥0且2x﹣1≠0，
解得：x≥﹣1且x≠，
故选：C．
4．下列方程属于一元二次方程的是（　　）
A．x2+y﹣2＝0 B．x+y＝3 C．x2+2x＝3 D．x+＝5
【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案．
解：A、该方程中含有2个未知数，不符合一元二次方程的定义，此选项不符合题意；
B、该方程中含有未知数的项的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义，此选项不符合题意；
C、该方程符合一元二次方程的定义，此选项符合题意；
D、该方程中含有分式，不符合一元二次方程的定义，此选项不符合题意．
故选：C．
5．若，则下列变形错误的是（　　）
A． B． C．3a＝2b D．2a＝3b
【分析】根据分式的性质可得3a＝2b，再逐个判断即可．
解：∵＝，
∴3a＝2b，
A．∵＝，
∴3a＝2b，故本选项不符合题意；
B．∵＝，
∴3a＝2b，故本选项不符合题意；
C．3a＝2b，故本选项不符合题意；
D．2a＝3b，故本选项符合题意；
故选：D．
6．下列各组中的四条线段成比例的是（　　）
A．a＝1，b＝3，c＝2，d＝4 B．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10
C．a＝2，b＝4，c＝3，d＝6 D．a＝2，b＝3，c＝4，d＝1
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
解：A.1×4≠3×2，故本选项错误；
B.4×10≠6×5，故本选项错误；
C.4×3＝2×6，故本选项正确；
D.2×3≠1×4，故本选项错误；
故选：C．
7．如图，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，若AB＝2，BC＝4，DE＝3，则EF的长是（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝，然后根据比例的性质求EF的长．
解：∵直线a∥b∥c，
∴＝，即＝，
∴EF＝6．
故选：B．
8．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣ B．k＜ C．k＞﹣且k≠0 D．k＜且k≠0
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝（2k﹣1）2﹣4k•（k﹣2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
解：根据题意得k≠0且Δ＝（2k﹣1）2﹣4k•（k﹣2）＞0，
解得k＞﹣且k≠0．
故选：C．
9．已知y＝kx+k﹣1的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2﹣x﹣k2﹣k＝0的根的情况是（　　）

A．无实数根
B．有两个相等或不相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．有两个相等的实数根
【分析】本题首先由图像经过第一、三、四象限，
可知：k＞0，k﹣1＜0，再通过根的判别式来判断根的情况．
解：本题首先由图像经过第一、三、四象限，
可知：k＞0，k﹣1＜0，
∴0＜k＜1，
则（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣k），
＝1+4k2+4k，
＝（2k+1）2，
因为0＜k＜1，
所以（2k+1）2＞0，
所以方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
10．如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到．矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么等于（　　）

A．0.618 B． C． D．2
【分析】根据相似多边形的对应边成比例求解．
解：∵矩形ABCD∽矩形BFEA，
∴AB：BF＝AD：AB，
∴AD•BF＝AB•AB，
又∵BF＝AD，
∴AD2＝AB2，
∴＝．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．已知m是的小数部分，则＝　　．
【分析】由题意可知：m＝，代入原式后化简二次根式即可．
解：∵2＜＜3，
∴m＝，
∴．
故答案为：．
12．若y＝++1，则x﹣y＝　　．
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数可得x、y的值，再代入所求数轴计算即可．
解：∵y＝++1，
∴，
∴2x﹣3＝0，
解得x＝，
∴y＝1，
∴x﹣y＝．
故答案为：．
13．已知三角形的两边长分别是4和7，第三边是方程x2﹣16x+55＝0的根，则第三边长是　5　．
【分析】利用因式分解法解方程得到x1＝5，x2＝11，然后利用三角形三边的关系即可得到第三边为5．
解：x2﹣16x+55＝0，
（x﹣5）（x﹣11）＝0，
所以x1＝5，x2＝11，
又因为三角形的两边长分别是4和7，所以第三边为5．
故答案为5．
14．某种型号的电脑，原售价6000元/台，经连续两次降价后，现售价为4860元/台．设平均每次降价的百分率为x，则根据题意可列出方程：　6000（1﹣x）2＝4860　．
【分析】设平均每次的降价率为x，根据原售价6000元/台，经连续两次降价后，现售4860元/台，可列方程求解．
解：设平均每次的降价率为x，由题意，得
6000（1﹣x）2＝4860
故答案为6000（1﹣x）2＝4860．
15．如图，正方形ABCD的对角线AC上有一动点P，作PN⊥CD于点N，连接BP，BN，若AB＝3，BP＝，则BN的长为　或　．

【分析】延长NP交AB于H，易知AH＝PH，设AH＝PH＝x，则BH＝3﹣x，设AH＝PH＝x，则BH＝3﹣x，在Rt△PBH中，根据PB2＝PH2+BH2，可求解x值，再分两种情况分别求出BN的值．
解：延长NP交AB于H，

∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD＝90°，AB∥CD，∠BAC＝45°，
∵PN⊥CD，
∴PN⊥AB，
∴∠HAP＝∠HPA＝45°，
∴AH＝PH，
设AH＝PH＝x，则BH＝3﹣x，
在Rt△PBH中，PB2＝PH2+BH2，
∴，
解得x＝1或2，
当x＝1时，BH＝CN＝2，在Rt△BCN中，；
当x＝2时，BH＝CN＝1，在Rt△BCN中，．
故答案为或．
三、解答题{共75分）
16．计算：
（1）；
（2）（）2+（﹣1）（+1）．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用完全平方公式和平方差公式计算．
解：（1）原式＝2﹣2+12
＝12；
（2）原式＝3+2+5+（3﹣1）
＝10+2．
17．先化简，再求值：÷（x﹣1﹣），从“1、﹣1、0、2、+1”中选一个合适的实数x代入求值．
【分析】先把括号内通分，再把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，则约分得到原式＝，然后根据分式有意义的条件确定x的值，再把x的值代入计算即可．
解：原式＝÷
＝÷
＝•
＝，
∵x≠0且x≠±1且x≠2，
∴当x＝+1时，原式＝＝．
18．已知一元二次方程（k﹣2）x2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）定义：如果两个一元二次方程有且仅有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，若一元二次方程x2﹣4x+k＝0与x2+mx﹣1＝0是友好方程，且k是符合（1）中条件的最大整数，求此时m的值．
【分析】（1）利用根的判别式可得到关于k的不等式，可求得k的取值范围；
（2）利用（1）可求得k的值，则可求得方程的两根，代入x2+mx﹣1＝0可求得m的值．
解：（1）∵一元二次方程（k﹣2）x2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，即16﹣8k+16＞0且k≠2，
∴k＜4且k≠2；
（2）当k＝3时，解x2﹣4x+3＝0，得x1＝3，x2＝1，
当x＝3时，m＝﹣，当x＝1时，m＝0，
∴m的值为﹣或0．
19．我们知道，解一元二次方程，可以把它转化为两个一元一次方程来解，其实用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，通过解方程x＝0和x2+x﹣2x＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．
（1）方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝　﹣2　，x3＝　1　．
（2）用“转化”的思想求方程＝x的解．
（3）试直接写出方程组的解．
【分析】（1）先把方程的左边分解因式，即可得出三个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（2）方程两边平方，即可得出一个一元二次方程，再求出方程的解即可；
（3）由②得出y＝1﹣x③，把③代入①得出x2﹣4（1﹣x）2＝0，求出x，再代入③求出y即可．
解：（1）x3+x2﹣2x＝0，
x（x2+x﹣2）＝0，
x（x+2）（x﹣1）＝0，
x＝0或x+2＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣2，x3＝1，
故答案为：﹣2，1；

（2），
两边平方，得2x+3＝x2（x≥0），即x2﹣2x﹣3＝0，
（x+1）（x﹣3）＝0，
x+1＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
经检验x1＝﹣1不是原方程的解，x2＝3是原方程的解，
所以原方程的解是x＝3；

（3），
由②得：y＝1﹣x③，
把③代入①得：x2﹣4（1﹣x）2＝0，
化简得：﹣3x2+8x﹣4＝0，
解得：x＝2或，
当x＝2时，y＝﹣1，
当x＝时，
所以原方程组的解为：，．
20．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝2，CD＝6，BC＝6，P是BC上任意一点，设BP＝x．
（1）直接写出线段AP＝　　，DP＝　　；（用含x的式子表示）
（2）当AP＝DP时，求x的值；
（3）利用“数形结合”的思想，结合此图求代数式+的最小值．

【分析】（1）根据勾股定理即可得到答案；
（2）根据题意列方程即可得到答案；
（3）延长AB至A′使A′B＝AB，连接A′D与BC交于P′，连接AP′，当P到P′位置时，AP′+P′D＝A′D，即为AP+DP的最小值，即的最小值，过A′作BC的平行线与DC的延长线交于E，根据平行四边形的性质得到A′E＝BC＝6，A′B＝CE，根据勾股定理即可得到结论．
解：（1）∵∠B＝∠C＝90°，AB＝2，CD＝6，BC＝6，BP＝x．
∴AP＝＝，DP＝＝，
故答案为：，；
（2）∵AD＝DP，
∴，
则4+x2＝72﹣12x+x2，即4+x2﹣x2+12x＝72，解得．
（3）延长AB至A′使A′B＝AB，连接A′D与BC交于P′，连接AP′，
当P到P′位置时，AP′+P′D＝A′D，即为AP+DP的最小值，
即的最小值，
过A′作BC的平行线与DC的延长线交于E，
∵A′E∥BC，A′B∥CE，
∴四边形A′BCE为平行四边形，
∴A′E＝BC＝6，A′B＝CE，
∵AB＝2，
∴A′B＝2，
∴CE＝2，
∵CD＝6，
∴DE＝6+2＝8，
在Rt△A′DE中，A′D2＝A′E2+DE2＝62+82＝100＝102，
∴A′D＝10，
∴的最小值为10．

21．如图，在△ABC中，DF∥AC，DE∥BC．
（1）求证：；
（2）若AE＝4，EC＝2，BC＝10，求BF和CF长．

【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理求解即可；
（2）直接利用（1）的结果求解即可．
【解答】（1）证明：∵DF∥AC，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴＝，
∴＝；
（2）解：设BF＝x，
∵BC＝10，
∴CF＝10﹣x，
由（1）得，＝，
∵AE＝4，EC＝2，
∴＝，
∴x＝，
∴BF＝，
∴CF＝10﹣＝．
22．阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“减半”矩形．
请你解决下列问题：
（1）当矩形的长和宽分别为1，7时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由．
（2）边长为a的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由．

【分析】（1）假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y，根据如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程组求解．
（2）正方形和其他的正方形是相似图形，周长比是，面积比就应该是，所以不存在“减半”正方形．
解：（1）存在．
假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x，y，则
，
由①得：y＝4﹣x，③
把③代入②，得，
解得，．
所以“减半”矩形长和宽分别为与．
（2）不存在．
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，面积比必定是，
所以正方形不存在“减半”正方形．
23．请阅读下列材料，并完成相应的任务：
公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割（goldensection）是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值．
如图①，在线段AD上找一个点C，C把AD分为AC和CD两段，其中AC是较小的一段，如果AC：CD＝CD：AD，那么称线段AD被C点黄金分割，点C叫做线段AD的黄金分割点，AC与CD的比值叫做黄金分割数．
为简单起见，设AD＝1，CD＝x，则AC＝1﹣x．
∵AC：CD＝CD：AD，∴……
任务：
（1）请根据上面的部分解题过程，求黄金分割数．
（2）如图②，采用如下方法可以得到黄金分割点：
①设AB是已知线段，过点B作BD⊥AB且使BD＝AB；
②连结DA，在DA上截取DE＝DB；
③在AB上截取AC＝AE；
则点C即为线段AB黄金分割点．你能说说其中的道理吗？
（3）已知线段AB＝1，点C，D是线段AB上的两个黄金分割点，则线段CD的长是 　﹣2　．

【分析】（1）设AD＝1，CD＝x，则AC＝1﹣x．根据黄金分割的定义，构建方程求出x即可．
（2）想办法证明AC：CB＝即可．
（3）利用黄金分割的定义求出AD，BC，再根据CD＝AD+BC﹣AB求解即可．
解：（1）设AD＝1，CD＝x，则AC＝1﹣x．
∵AC：CD＝CD：AD，
∴CD2＝AC•AD，
∴x2＝1﹣x，
∴x＝，
∵x＞0，
∴x＝，
∴CB：AB＝，
即黄金分割数为．

（2）设AB＝2m，则BD＝m，
∴DE＝BD＝m，
∵BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∴AD＝＝＝m，
∴AE＝AD﹣DE＝m﹣m＝（﹣1）m，
∴AC＝AE＝（﹣1）m，
∴AC：AB＝＝，
∴点C是线段AB的黄金分割点．

（3）如图，设AB＝1，CB＝x，AC＝1﹣x，

∵AC：CB＝CB：AB，
∴CB2＝AC•AB，
∴x2＝1﹣x，
∴x＝，
∵x＞0，
∴x＝，
∵AD＝CB＝，
∴CD＝AD+BC﹣AB＝﹣2，
故答案为：﹣2．