2019-2020学年八年级（上）月考数学试卷解析版

这是一份2019-2020学年八年级（上）月考数学试卷解析版，共23页。试卷主要包含了六边形的内角和等于，将点P等内容，欢迎下载使用。
2019-2020学年八年级（上）月考数学试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列长度的三条线段，其中能组成三角形的是（　　）
A．4，5，6 B．3，3，6 C．1，3，5 D．2，4，8
2．六边形的内角和等于（　　）
A．180° B．360° C．540° D．720°
3．△ABC中，如果∠A+∠B＝∠C，那么△ABC形状是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
4．下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，图中全等三角形有（　　）对．

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
6．如图，已知AB∥FE且AB＝FE，要证明△ABC≌△EFD，需补充条件（　　）

A．BC＝FD B．AD＝CE C．CD＝DO D．AE＝EA
7．如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是BC的中点，则BE+CF与EF的大小关系是（　　）

A．BE+CF＞EF B．BE+CF＝EF C．BE+CF＜EF D．无法确定
8．如图，有一矩形纸片ABCD，AB＝10，AD＝6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF的面积为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
9．将点P（2，3）向右平移3个单位长至点Q，点Q沿y轴折至点M，则（　　）
A．M（﹣5，﹣3） B．M（5，3） C．M（0，3） D．M（﹣5，3）
10．Rt△ABC中，AB＝AC，D点为Rt△ABC外一点，且BD⊥CD，DF为∠BDA的平分线，当∠ACD＝15°，下列结论：①∠ADC＝45°；②AD＝AF；③AD+AF＝BD；④BC﹣CE＝2DE．其中正确的是（　　）

A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二．填空题（共6小题）
11．五边形的对角线一共有　 　条．
12．若等腰三角形两边长分别为3和5，则它的周长是　 　．
13．一个汽车牌在水中的倒影为，则该车牌照号码　 　．
14．在△ABC中，AC＝5，中线AD＝4，则边AB的取值范围是　 　．
15．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C（2，4）、A（﹣4，0），则点B的坐标是　 　．

16．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合．若∠CEF＝50°，则∠AOF的度数是　 　．

三．解答题（共8小题）
17．如图，AB＝AC，AD＝AE．求证：∠B＝∠C．

18．在△ABC中，∠B＝∠A+20°，∠C＝30，求△ABC各内角的度数．
19．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE于D，BE⊥CE于E，AD＝25m，DE＝17m．求BE的长．

20．（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'（其中A'，B'，C'分别是A，B，C的对应点，不写画法）．
（2）直接写出A′，B′，C'三点的坐标：A'　 　，B'　 　，C'　 　；
（3）△ABC的面积为　 　．

21．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PO的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN⊥AB于N，PM⊥AC于点M．
求证：BN＝CM．

22．已知R△ABDC中，∠C＝90°，AD、BE是角平分线，它们相交于P，PF⊥AD于P交BC的延长线于F，交AC于H．
（1）求证：AH+BD＝AB；
（2）求证：PF＝PA．

23．如图，在△ABC内一点D，点C是AE上一点，AD交BE于点P，射线DC交BE的延长线于点F，且∠ABD＝∠ACD，∠PDB＝∠PDC
（1）求证：AB＝AC；
（2）若AB＝3，AE＝5，求的值；
（3）若＝，＝m，则＝　 　．

24．（1）已知：点P（a，b），P点坐标满足+|3a﹣2b﹣4|＝0将45°角的三角板，直角顶点放在P处，两边与坐标轴交于A、B两点，如图1，求a、b的值．
（2）将三角板绕P点，顺时针旋转，两边与x轴交于B点，与y轴交于A点，求|OA﹣OB|的值．
（3）如图3，若Q是线段AB上一动点，C为AQ中点，PR⊥PQ且PR＝PQ，连BR，请同学们判断线段BR与PC之间的关系，并加以证明．


参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列长度的三条线段，其中能组成三角形的是（　　）
A．4，5，6 B．3，3，6 C．1，3，5 D．2，4，8
【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
A、4+5＞6，能够组成三角形，符合题意
B、3+3＝6，不能够组成三角形，不符合题意；
C、1+3＜5，不能够组成三角形，不符合题意；
D、2+4＜8，不能组成三角形，不符合题意；
故选：A．
2．六边形的内角和等于（　　）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【分析】根据n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，即可求得六边形的内角和．
【解答】解：六边形的内角和是（6﹣2）×180°＝720度．
故选：D．
3．△ABC中，如果∠A+∠B＝∠C，那么△ABC形状是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【分析】据在△ABC中，∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°可求出∠C的度数，进而得出结论．
【解答】解：∵在△ABC中，∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，解得∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
故选：B．
4．下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得出答案．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
5．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，图中全等三角形有（　　）对．

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【分析】首选根据SAS证明△ABD≌△ACE，进而得到∠B＝∠C，再证明EB＝DC，再根据AAS证明△EBF≌△DCF．
【解答】解：∵在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠C，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴AB﹣AE＝AC﹣AD，
即EB＝DC，
在△EBF和△DCF中，
，
∴△EBF≌△DCF（AAS），
故选：B．
6．如图，已知AB∥FE且AB＝FE，要证明△ABC≌△EFD，需补充条件（　　）

A．BC＝FD B．AD＝CE C．CD＝DO D．AE＝EA
【分析】根据全等三角形的判定解决问题即可．
【解答】解：∵AB∥EF，
∴∠A＝∠E，
∵AB＝EF，
∴添加AD＝CE，可得AC＝DE，
∴△ABC≌△EFD（SAS），
故选：B．
7．如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是BC的中点，则BE+CF与EF的大小关系是（　　）

A．BE+CF＞EF B．BE+CF＝EF C．BE+CF＜EF D．无法确定
【分析】可延长ED至P，使DP＝DE，连接FP，连接CP，将BE转化为PC，EF转化为FP，进而在△PCF中即可得出结论．
【解答】解：延长ED至P，使DP＝DE，连接FP，CP，

∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDP中，

∴△BDE≌△CDP（SAS），
∴BE＝CP，
∵DE⊥DF，DE＝DP，
∴EF＝FP，
在△CFP中，CP+CF＝BE+CF＞FP＝EF．
故选：A．
8．如图，有一矩形纸片ABCD，AB＝10，AD＝6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF的面积为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】显然，关键是求CF的长．根据两次折叠后的图形中△ABF∽△ECF得比例线段求解．
【解答】解：
由图可知经过两次折叠后（最右边的图形中），
AB＝AD﹣BD＝AD﹣（10﹣AD）＝2，
BD＝EC＝10﹣AD＝4．
∵AD∥EC，
∴△AFB∽△EFC．
∴．
∵AB＝2，EC＝4，
∴FC＝2BF．
∵BC＝BF+CF＝6，
∴CF＝4．
S△EFC＝EC×CF÷2＝8．
故选：C．
9．将点P（2，3）向右平移3个单位长至点Q，点Q沿y轴折至点M，则（　　）
A．M（﹣5，﹣3） B．M（5，3） C．M（0，3） D．M（﹣5，3）
【分析】根据点P（2，3）向右平移3个单位长可得点Q坐标，再根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变即可得点M坐标．
【解答】解：∵点P（2，3）向右平移3个单位长至点Q，
∴点Q坐标为（5，3），
∵点Q沿y轴折至点M，
∴点M坐标为（﹣5，3）．
故选：D．
10．Rt△ABC中，AB＝AC，D点为Rt△ABC外一点，且BD⊥CD，DF为∠BDA的平分线，当∠ACD＝15°，下列结论：①∠ADC＝45°；②AD＝AF；③AD+AF＝BD；④BC﹣CE＝2DE．其中正确的是（　　）

A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【分析】由题意可证点A，点C，点B，点D四点共圆，可得∠ADC＝∠ABC＝45°；由角平分线的性质和外角性质可得∠AFD＝∠BDF+∠DBF＞∠ADF，可得AD≠AF；如图，延长CD至G，使DE＝DG，在BD上截取DH＝AD，连接HF，由“SAS”可证△ADF≌△HDF，可得∠DHF＝∠DAF＝30°，AF＝HF，由等腰三角形的性质可得BH＝AF，可证BD＝BH+DH＝AF+AD；由“SAS”可证△BDG≌△BDE，可得∠BGD＝∠BED＝75°，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质可得BC＝BG＝2DE+EC．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，且∠ACD＝15°，
∵∠BCD＝30°，
∵∠BAC＝∠BDC＝90°，
∴点A，点C，点B，点D四点共圆，
∴∠ADC＝∠ABC＝45°，故①符合题意，
∠ACD＝∠ABD＝15°，∠DAB＝∠DCB＝30°，
∵DF为∠BDA的平分线，
∴∠ADF＝∠BDF，
∵∠AFD＝∠BDF+∠DBF＞∠ADF，
∴AD≠AF，故②不合题意，
如图，延长CD至G，使DE＝DG，在BD上截取DH＝AD，连接HF，

∵DH＝AD，∠HDF＝∠ADF，DF＝DF，
∴△ADF≌△HDF（SAS）
∴∠DHF＝∠DAF＝30°，AF＝HF，
∵∠DHF＝∠HBF+∠HFB＝30°，
∴∠HBF＝∠BFH＝15°，
∴BH＝HF，
∴BH＝AF，
∴BD＝BH+DH＝AF+AD，故③符合题意，
∵∠ADC＝45°，∠DAB＝30°＝∠BCD，
∴∠BED＝∠ADC+∠DAB＝75°，
∵GD＝DE，∠BDG＝∠BDE＝90°，BD＝BD，
∴△BDG≌△BDE（SAS）
∴∠BGD＝∠BED＝75°，
∴∠GBC＝180°﹣∠BCD﹣∠BGD＝75°，
∴∠GBC＝∠BGC＝75°，
∴BC＝BG，
∴BC＝BG＝2DE+EC，
∴BC﹣EC＝2DE，故④符合题意，
故选：C．
二．填空题（共6小题）
11．五边形的对角线一共有　5　条．
【分析】利用n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n﹣3）（n≥3，且n为整数）计算．
【解答】解：五边形的对角线共有＝5；
故答案为：5
12．若等腰三角形两边长分别为3和5，则它的周长是　11或13　．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：有两种情况：①腰长为3，底边长为5，三边为：3，3，5可构成三角形，周长＝3+3+5＝11；
②腰长为5，底边长为3，三边为：5，5，3可构成三角形，周长＝5+5+3＝13．
故答案为：11或13．
13．一个汽车牌在水中的倒影为，则该车牌照号码　M17936　．
【分析】易得所求的牌照与看到的牌照关于水平的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解．
【解答】解：
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
M 1 7 9 3 6
∴该车的牌照号码是M17936．
故答案为：M17936．
14．在△ABC中，AC＝5，中线AD＝4，则边AB的取值范围是　3＜AB＜13　．
【分析】作出图形，延长AD至E，使DE＝AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB＝CE，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围．
【解答】解：如图，延长AD至E，使DE＝AD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB＝CE，
∵AD＝4，
∴AE＝4+4＝8，
∵8+5＝13，8﹣5＝3，
∴3＜CE＜13，
即3＜AB＜13．
故答案为：3＜AB＜13．

15．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C（2，4）、A（﹣4，0），则点B的坐标是　（6，﹣2）　．

【分析】如图，过点C作CF⊥AO，过点B作BE⊥CF，通过证明△ACF≌△CBE，可得BE＝CF＝4，CE＝AF＝6，即可求解．
【解答】解：如图，过点C作CF⊥AO，过点B作BE⊥CF，

∵点C（2，4）、A（﹣4，0），
∴CF＝4，OF＝2，AO＝4，AF＝6，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACF+∠BCF＝90°，且∠ACF+∠CAF＝90°，
∴∠BCF＝∠CAF，且AC＝BC，∠AFC＝∠CEB＝90°，
∴△ACF≌△CBE（AAS）
∴BE＝CF＝4，CE＝AF＝6，
∴EF＝2，
∴点B（6，﹣2），
故答案为：（6，﹣2）．
16．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合．若∠CEF＝50°，则∠AOF的度数是　105°　．

【分析】由折叠的性质可得OE＝CE，∠CEF＝∠OEF＝50°，OF＝FC，可求∠OCE＝∠COE＝40°，由等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可求OAB＝∠OBA＝∠OAC＝∠OCA＝25°，由三角形内角和定理可求∠AOC＝130°，即可求∠AOF的度数．
【解答】解：如图，连接OB，

∵点C与点O恰好重合，
∴OE＝CE，∠CEF＝∠OEF＝50°，OF＝FC，
∴∠OCE＝∠COE＝40°
∵AB＝AC，AO平分∠BAC，
∴AO是BC的垂直平分线，∠OAB＝∠OAC，
又∵DO是AB的垂直平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∴AO＝BO＝CO，
∴∠OBC＝∠OCB＝40°，∠OAB＝∠OBA＝∠OAC＝∠OCA，
∵∠OAB+∠OAC+∠ABO+∠ACO+∠OBC+∠OCB＝180°
∴∠OAB＝∠OBA＝∠OAC＝∠OCA＝25°，
∵OF＝FC
∴∠FOC＝∠ACO＝25°
在△AOC中，∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝130°
∴∠AOF＝∠AOC﹣∠FOC＝130°﹣25°＝105°
故答案为：105°
三．解答题（共8小题）
17．如图，AB＝AC，AD＝AE．求证：∠B＝∠C．

【分析】欲证明∠B＝∠C，只要证明△AEB≌△ADC．
【解答】证明：在△AEB和△ADC中，
，
∴△AEB≌△ADC（SAS）
∴∠B＝∠C．

18．在△ABC中，∠B＝∠A+20°，∠C＝30，求△ABC各内角的度数．
【分析】利用三角形的内角和定理构建方程组即可解决问题．
【解答】解：由题意：，
∴．
19．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE于D，BE⊥CE于E，AD＝25m，DE＝17m．求BE的长．

【分析】先证明△ACD≌△CBE，再求出EC的长，解决问题．
【解答】解：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∵∠BCE+∠ACE＝∠DAC+∠ACE＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
∵AC＝BC，
∴△ACD≌△CBE（AAS）
∴CE＝AD＝25m，BE＝CD
∴BE＝CE﹣DE＝25﹣17＝8（m）．
20．（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'（其中A'，B'，C'分别是A，B，C的对应点，不写画法）．
（2）直接写出A′，B′，C'三点的坐标：A'　（2，3）　，B'　（3，1）　，C'　（﹣1，﹣2）　；
（3）△ABC的面积为　5.5　．

【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于y轴对称的△A'B'C'；
（2）依据A'，B'，C'的位置，即可得到其坐标；
（3）依据割补法进行计算，即可得到△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求；

（2）由题可得，A'（2，3），B'（3，1），C'（﹣1，﹣2）；
故答案为：（2，3），（3，1），（﹣1，﹣2）；
（3）△ABC的面积为：4×5﹣×1×2﹣×3×4﹣×3×5＝20﹣1﹣6﹣7.5＝5.5．
故答案为：5.5．
21．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PO的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN⊥AB于N，PM⊥AC于点M．
求证：BN＝CM．

【分析】证明Rt△PNB≌Rt△PMC（HL）即可解决问题．
【解答】证明：∵PA平分∠BAC，PM⊥AC，PN⊥AB，
∴PM＝PN，∠N＝∠PMC＝90°，
∵PQ垂直平分线段BC，
∴PB＝PC，
∴Rt△PNB≌Rt△PMC（HL），
∴BN＝MC．
22．已知R△ABDC中，∠C＝90°，AD、BE是角平分线，它们相交于P，PF⊥AD于P交BC的延长线于F，交AC于H．
（1）求证：AH+BD＝AB；
（2）求证：PF＝PA．

【分析】（1）首先计算出∠APB＝135°，进而得到∠BPD＝45°，然后再计算出∠FPB＝135°，然后证明△ABP≌△FBP，得∠F＝∠CAD，然后证明△APH≌△FPD，进而得到AH＝FD，再利用等量代换可得结论．
（2）由△ABP≌△FBP可得PA＝PF．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD+∠ABE＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，
∴∠APB＝135°，
∴∠BPD＝45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB＝90°+45°＝135°，
∴∠APB＝∠FPB，
在△ABP和△FBP中，
，
∴△ABP≌△FBP（ASA），
∴∠BAP＝∠F，
∵∠BAP＝∠CAD，
∴∠F＝∠CAD，
在△APH和△FPD中，
，
∴△APH≌△FPD（ASA），
∴AH＝FD，
又∵AB＝FB，
∴AB＝FD+BD＝AH+BD．
（2）证明：由（1）可知△ABP≌△FBP，
∴PA＝PF，
23．如图，在△ABC内一点D，点C是AE上一点，AD交BE于点P，射线DC交BE的延长线于点F，且∠ABD＝∠ACD，∠PDB＝∠PDC
（1）求证：AB＝AC；
（2）若AB＝3，AE＝5，求的值；
（3）若＝，＝m，则＝　　．

【分析】（1）由∠PDB＝∠PDC，根据邻补角的定义得到∠ADB＝∠ADC，推出△ABD≌△ACD，由全等三角形的性质即可得到结论；
（2）先证明AP为∠BAE的平分线，然后，利用面积法可得到＝＝＝；
（3）先求得的值，然后再依据条件求得＝，设BP＝3，PE＝4，则EF＝3m﹣4，PF＝3m，从而可求得问题答案．
【解答】证明：（1）∵∠PDB＝∠PDC
∴∠ADB＝∠ADC
在△ADB和△ADC中，
∴△ADB≌△ADC．
∴AB＝AC
（2）由△ADB≌△ADC可知，∠BAP＝∠EAP，即AP平分∠BAE
∴P点到AB、AE的距离相等
∴＝＝＝．
（3）∵＝，且AB＝AC
∴＝．
∴＝．
∵＝m，且BD＝CD
∴＝
∴＝．
设BP＝3，PE＝4，则EF＝3m﹣4，PF＝3m，
∴＝．
故答案为：．
24．（1）已知：点P（a，b），P点坐标满足+|3a﹣2b﹣4|＝0将45°角的三角板，直角顶点放在P处，两边与坐标轴交于A、B两点，如图1，求a、b的值．
（2）将三角板绕P点，顺时针旋转，两边与x轴交于B点，与y轴交于A点，求|OA﹣OB|的值．
（3）如图3，若Q是线段AB上一动点，C为AQ中点，PR⊥PQ且PR＝PQ，连BR，请同学们判断线段BR与PC之间的关系，并加以证明．

【分析】（1）利用非负数的性质解决问题即可．
（2）如图2中，作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F．证明△AFP≌△BEP（ASA），推出AF＝BE即可解决问题．
（3）结论：BR＝2PC，PC⊥BR．如图3中，延长PC到G，使得CG＝PC，连接AG，GQ，设PG交BR于J．证明△GAP≌△RPB（SAS）即可解决问题．
【解答】解：（1）∵+|3a﹣2b﹣4|＝0，
∴，
解得：：；
（2）如图2中，作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F．
∵P（4，4），
∴PE＝PF＝4，四边形OEPF是正方形，
∴∠EPF＝∠QPB＝90°，OF＝OE＝PE＝PF＝4，
∴∠APF＝∠BPE，
在△AFP和△BEP中，，
∴△AFP≌△BEP（ASA），
∴AF＝BE，
∴|AO﹣OB＝|OF+AF﹣（BE﹣OE）|＝OF+OE＝8．
（3）结论：BR＝2PC，PC⊥BR．理由如下：
如图3中，延长PC到G，使得CG＝PC，连接AG，GQ，设PG交BR于J．
∵AC＝CQ，PC＝CG，
∴四边形AGQP是平行四边形，
∴AG＝PQ＝PR，AG∥PQ，
∴∠GAP+∠APQ＝180°，
∵∠APB＝∠RPQ＝90°，
∴∠APR+∠APQ+∠APQ+∠BPQ＝180°，
∴∠RPB+∠APQ＝180°，
∴∠GAP＝∠BPQ，
在△GAP和△RPB中，，
∴△GAP≌△RPB（SAS），
∴PG＝BR，∠APG＝∠PBR，
∵∠APG+∠JPB＝90°，
∴∠JPB+∠PBR＝90°，
∴∠PJB＝90°，
∴PC⊥BR，BR＝2PC．