四川省成都市2020-2021学年九年级上学期期中考试数学试卷（word版 含答案）

这是一份四川省成都市2020-2021学年九年级上学期期中考试数学试卷（word版 含答案），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列函数是二次函数的为（ ）
A．y＝x2B．y＝xC．y＝D．y＝2x+1
2．一元二次方程x2+x﹣2＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
3．当k＜0，x＞0时，反比例函数y＝的图象在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．已知线段AB＝2，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则线段AP的长为（ ）
A．+1B．﹣1C．D．
5．某厂通过改进工艺降低了某种产品的成本，两个月内从每件产品25元降低到每件16元，则平均每月降低的百分率为（ ）
A．10%B．5%C．15%D．20%
6．如图，点D在△ABC的边AB上，连接CD，若∠BCD＝∠A，则下列结论不正确的是（ ）
A．△BCD∽△BACB．∠ACD＝∠AC．∠BDC＝∠ACBD．BC2＝BD•BA
7．若∠A为锐角，则下列三角函数值可能为的是（ ）
A．sinAB．sin2AC．csAD．tanA
8．点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在二次函数y＝﹣x2+x+c（c为常数）的图象上，则y1、y2满足（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2
C．y1＝y2D．y1、y2的大小不确定
9．如图，菱形OABC的顶点B在y轴上，顶点C的坐标为（﹣3，2），若反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过点A，则k的值为（ ）
A．﹣6B．﹣3C．3D．6
10．如图，在任意四边形ABCD中，AC，BD是对角线，E、F、G、H分别是线段BD、BC、AC、AD上的点，对于四边形EFGH的形状，某班的学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（ ）
A．当E，F，G，H是各条线段的中点时，四边形EFGH为平行四边形
B．当E，F，G，H是各条线段的中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形
C．当E，F，G，H是各条线段的中点，且AB＝CD时，四边形EFGH为菱形
D．当E，F，G，H不是各条线段的中点时，四边形EFGH可以为平行四边形
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）
11．已知a，b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则ab的值是 ．
12．如图，已知l1∥l2∥l3，直线l4、l5被这组平行线所截，且直线l4、l5相交于点E，已知AE＝EF＝1，FB＝3，则＝ ．
13．将抛物线y＝x2﹣2x+2先向右平移1个单位，再向下平移1个单位，平移后得抛物线的表达式是 ．
14．如图，平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，3），分别以A、B为圆心，大于AB的长度d为半径作弧，两弧相交于点M、N，直线MN与x轴相交于点C，连接BC，则BC的长度为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15．（1）计算：（﹣2）2+|﹣tan60°|+2sin30°+；
（2）解不等式组：；
（3）解方程：＝2．
16．先化简，再求值：1﹣（1﹣）2÷，其中x是最小的非负整数．
17．为了防范新冠肺炎疫情，我校在网络平台开展防疫宣传，并出了6道选择题，对甲、乙两个班级学生（各有40名学生）的答题情况进行统计分析，得到统计表如下：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲班学生答对的题数的众数为 ；
（2）若答对的题数大于或等于5道的为优秀，则乙班该次考试的优秀率为 ；
（3）从甲、乙两班答题全对的学生中随机抽取2人做学习防疫知识心得交流，通过画树状图或列表法，求抽到的2人来自同一个班级的概率．
18．如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路．现新修一条路AC到公路l．小明测量出∠ACD＝31°，∠ABD＝45°，BC＝100m．请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度？（精确到1m；参考数据tan31°≈0.60，sin31°≈0.51，cs31°≈0.86）．
19．如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，a）是一次函数y＝x+b与反比例函数y＝（m≠0，x＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．
（1）求m、a的值及一次函数表达式；
（2）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．
20．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．
（1）求证：△ABG≌△C′DG；
（2）求tan∠ABG的值；
（3）求EF的长．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．关于x的方程x2﹣kx+2＝0有两个实数根，一个根是1，另一个根为 ．
22．在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且|sinA﹣|+（﹣3tanB）2＝0，则∠C＝ 度．
23．如图，在矩形ABCD中，AD＝13，点E、F均在对角线BC上，且BE＝EF＝FD，若线段AE和CF之间的距离为6，则AB的长为 ．
24．在直角坐标系中，已知A（0，4）、B（2，4），C为x轴正半轴上一点，且OB平分∠ABC，过B的反比例函数y＝交线段BC于点D，E为OC的中点，BE与OD交于点F，若记△BDF的面积为S1，△OEF的面积为S2，则＝ ．
25．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E为BC上一点，且BE＝2，P为AD上动点，将PE绕点P逆时针旋转90°至PQ，则AQ+EQ的最小值为 ．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
26．成都某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为60元，用120元购进甲种玩具的件数与用180元购进乙种玩具的件数相同．
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共40件，其中甲种玩具的件数少于20件，并且商场决定此次进货的总资金不超过1320元，求商场共有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，若每件甲种玩具售价32元，每件乙种玩具售价50元．请求出卖完这批玩具共获利w（元）与甲种玩具进货量m（件）之间的函数关系式，并求出最大利润为多少元？
27．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，对角线AC上，连接AE，EF，且∠AED＝∠CEF，过F作FG⊥AE交边AD于点G，连接EG．
（1）求证：∠AFG＝∠CFE；
（2）设DE＝x，DG＝y，求y与x之间的函数关系式；
（3）当△EFG是以EF为腰的等腰三角形时，求DE的长．
28．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A、点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点P为抛物线上一点，过点P作PE⊥x轴，交直线BC于点D，交x轴于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若线段QF和线段PE关于抛物线的对称轴对称，当四边形PQFE为正方形时，求正方形PQFE的面积；
（3）如图2，在y轴上点C的正下方取点H，使CH＝2DE，在函数图象上取点K，过点H作直线DK的垂线交直线PE于点G，若∠HDC＝∠KDG，∠CHG＝∠KGH，求点K的坐标和点P的坐标．
参考答案
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列函数是二次函数的为（ ）
A．y＝x2B．y＝xC．y＝D．y＝2x+1
【分析】根据二次函数的定义判断即可．
解：A、该函数是二次函数，故本选项符合题意；
B、该函数是一次函数，故本选项不符合题意；
C、该函数是反比例函数，故本选项不符合题意；
D、该函数是一次函数，故本选项不符合题意．
故选：A．
2．一元二次方程x2+x﹣2＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
【分析】计算出判别式的值即可得出答案．
解：Δ＝12﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
3．当k＜0，x＞0时，反比例函数y＝的图象在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据反比例函数比例系数小于0，得到函数图象分别在二、四象限，根据自变量取值为正，得出函数图象只在第四象限．
解：∵在反比例函数y＝中，k＜0，
∴函数图象分别在二、四象限，
又∵x＞0，
∴函数图象在第四象限．
故选：D．
4．已知线段AB＝2，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则线段AP的长为（ ）
A．+1B．﹣1C．D．
【分析】根据黄金比值为计算即可．
解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，
∴AP＝×AB＝×2＝﹣1，
故选：B．
5．某厂通过改进工艺降低了某种产品的成本，两个月内从每件产品25元降低到每件16元，则平均每月降低的百分率为（ ）
A．10%B．5%C．15%D．20%
【分析】降低后的价格＝降低前的价格×（1﹣降低率），如果设平均每次降价的百分率是x，则第一次降低后的价格是25（1﹣x），那么第二次后的价格是25（1﹣x）2，即可列出方程求解．
解：设平均每月降低率为x，根据题意可得，
25（1﹣x）2＝16，
∴x1＝20%，x2＝180%（不合题意，舍去）．
故选：D．
6．如图，点D在△ABC的边AB上，连接CD，若∠BCD＝∠A，则下列结论不正确的是（ ）
A．△BCD∽△BACB．∠ACD＝∠AC．∠BDC＝∠ACBD．BC2＝BD•BA
【分析】由“两角法”判定△BCD∽△BAC，结合相似三角形的性质进行推理即可．
解：由∠B＝∠B，∠BCD＝∠A判定△BCD∽△BAC．故选项A不符合题意．
由△BCD∽△BAC知，∠BDC＝∠ACB，故选项C不符合题意．
由△BCD∽△BAC知，BC：BD＝BA：BC，即BC2＝BD•BA，故选项D不符合题意．
无法判定∠ACD＝∠A，故选项B符合题意．
故选：B．
7．若∠A为锐角，则下列三角函数值可能为的是（ ）
A．sinAB．sin2AC．csAD．tanA
【分析】根据正弦、余弦、正切函数的值的范围即可作出判断．
解：∵对任意的∠α，都一定有sinα≤1，csα≤1，tanα＞0，
∴A、B、C一定是错误的．D正确．
故选：D．
8．点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在二次函数y＝﹣x2+x+c（c为常数）的图象上，则y1、y2满足（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2
C．y1＝y2D．y1、y2的大小不确定
【分析】抛物线开口向下，且对称轴为直线x＝﹣1，根据二次函数的图象性质：在对称轴的左侧，y随x的增大而增大．
解：∵二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+c，
∴该抛物线开口向下，且对称轴为直线：x＝﹣＝．
∵点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在二次函数y＝﹣x2+x+c（c为常数）的图象上，且﹣2＜﹣1＜，
∴y1＞y2．
故选：A．
9．如图，菱形OABC的顶点B在y轴上，顶点C的坐标为（﹣3，2），若反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过点A，则k的值为（ ）
A．﹣6B．﹣3C．3D．6
【分析】根据菱形的对称性求出点A的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征代入函数解析式进行计算即可得解．
解：∵菱形OABC的顶点B在y轴上，顶点C的坐标为（﹣3，2），
∴点A的坐标为（3，2），
∵反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过点A，
∴＝2，
解得k＝6．
故选：D．
10．如图，在任意四边形ABCD中，AC，BD是对角线，E、F、G、H分别是线段BD、BC、AC、AD上的点，对于四边形EFGH的形状，某班的学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（ ）
A．当E，F，G，H是各条线段的中点时，四边形EFGH为平行四边形
B．当E，F，G，H是各条线段的中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形
C．当E，F，G，H是各条线段的中点，且AB＝CD时，四边形EFGH为菱形
D．当E，F，G，H不是各条线段的中点时，四边形EFGH可以为平行四边形
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形的判定判断即可．
解：∵E，F，G，H是BD，BC，AC，AD的中点，
∴EF＝CD，FG＝AB，GH＝CD，HE＝AB，
∴EF＝GH，FG＝HE，
∴四边形EFGH为平行四边形，故A正确；
∵AB＝CD，
∴EF＝FG＝GH＝HE，
∴四边形EFGH是菱形，故C正确；
当AC⊥BD时，∠BOC＝90°，
∵∠BOC＞∠EHG，
∴四边形EHGF不可能是矩形，故B错误；
当E，F，G，H是相应线段的三等分点时，四边形EFGH是平行四边形，
∵E，F，G，H是相应线段的三等分点，
∴△EHD∽△BAD，△CFG∽△CBA，
∴，
∴EH＝FG，
∵EH∥AB，FG∥AB，
∴EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，故D正确；
故选：B．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）
11．已知a，b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则ab的值是 ﹣1 ．
【分析】根据根与系数的关系可得出ab＝﹣1，此题得解．
解：∵a，b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，
∴ab＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．如图，已知l1∥l2∥l3，直线l4、l5被这组平行线所截，且直线l4、l5相交于点E，已知AE＝EF＝1，FB＝3，则＝ ．
【分析】由l1∥l2，根据根据平行线分线段成比例定理可得FG＝AC；由l2∥l3，根据根据平行线分线段成比例定理可得＝＝．
解：∵l1∥l2，AE＝EF＝1，
∴＝＝1，
∴FG＝AC；
∵l2∥l3，
∴＝＝，
∴＝＝，
故答案为．
13．将抛物线y＝x2﹣2x+2先向右平移1个单位，再向下平移1个单位，平移后得抛物线的表达式是 y＝（x﹣2）2 ．
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
解：将抛物线y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1先向右平移1个单位，再向下平移1个单位，平移后得抛物线的表达式是：y＝（x﹣1﹣1）2+1﹣1，即y＝（x﹣2）2．
故答案为：y＝（x﹣2）2．
14．如图，平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，3），分别以A、B为圆心，大于AB的长度d为半径作弧，两弧相交于点M、N，直线MN与x轴相交于点C，连接BC，则BC的长度为 ．
【分析】由作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，得到AC＝BC＝OC+2，在Rt△BCO中，根据勾股定理求出OC即可求出BC的长度．
解：由作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，
∴AC＝BC，
∵A（2，0），B（0，3），
∴OB＝3，OC＝2，
∴BC＝AC＝OC+2，
在Rt△BCO中，
BC2＝OC2+OB2，
∴（OC+2）2＝OC2+32，
解得：OC＝，
∴BC＝2+＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15．（1）计算：（﹣2）2+|﹣tan60°|+2sin30°+；
（2）解不等式组：；
（3）解方程：＝2．
【分析】（1）首先对乘方、特殊角的三角函数值、二次根式、绝对值分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
（3）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：（1）原式＝4+|﹣|+2×+2
＝4++1+2
＝5+3；
（2），
解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x≥﹣1，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜2．
（3）去分母得：x2+4x+4﹣3x2＝2x2+4x，
整理得：x2＝1
解得：x＝±1，
检验：把x＝1代入得：x（x﹣2）＝1×（﹣1）＝﹣1≠0，
把x＝﹣1代入得：x（x﹣2）＝﹣1×（﹣3）＝3≠0，
∴分式方程的解为x＝1或x＝﹣1．
16．先化简，再求值：1﹣（1﹣）2÷，其中x是最小的非负整数．
【分析】先算括号内的减法，再算乘方，同时把除法变成乘法，算乘法，再算减法，最后把x＝﹣1代入求出答案即可．
解：原式＝1﹣（）2÷
＝1﹣•
＝1﹣
＝
∵x是最小的非负整数，
∴x＝0，
当x＝﹣1时，原式＝＝1．
17．为了防范新冠肺炎疫情，我校在网络平台开展防疫宣传，并出了6道选择题，对甲、乙两个班级学生（各有40名学生）的答题情况进行统计分析，得到统计表如下：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲班学生答对的题数的众数为 4 ；
（2）若答对的题数大于或等于5道的为优秀，则乙班该次考试的优秀率为 40% ；
（3）从甲、乙两班答题全对的学生中随机抽取2人做学习防疫知识心得交流，通过画树状图或列表法，求抽到的2人来自同一个班级的概率．
【分析】（1）根据众数的概念直接得出答案；
（2）用优秀的人数除以乙班的总人数即可；
（3）画树状图列出所有等可能结果，从中找到抽到的2人来自同一个班级的结果数，再根据概率公式求解可得．
解：（1）甲班学生答对的题数的众数为4，
故答案为：4．
（2）乙班该次考试的优秀率为×100%＝40%，
故答案为：40%；
（3）把甲班答题全对的2名学生记为A、B，乙班答题全对的2名学生记为C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到的2人来自同一个班级的结果有4种，
∴抽到的2人来自同一个班级的概率为＝．
18．如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路．现新修一条路AC到公路l．小明测量出∠ACD＝31°，∠ABD＝45°，BC＝100m．请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度？（精确到1m；参考数据tan31°≈0.60，sin31°≈0.51，cs31°≈0.86）．
【分析】设BD＝AD＝xm，利用x表示出CD的长，然后在直角△ACD中，利用三角函数即可得到AD和CD的比值，即可列方程求得x的值．
解：设AD＝xm，
∴BD＝xm，
∵∠ACD＝30°，∠ABD＝45°，BC＝100m，
∴tan31°＝＝＝0.51，
解得：x＝150，
∴他家到公路l的距离AD的长度约我150m．
19．如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，a）是一次函数y＝x+b与反比例函数y＝（m≠0，x＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．
（1）求m、a的值及一次函数表达式；
（2）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．
【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征可计算出m＝﹣4×＝﹣2，再把B（﹣1，a）代入y＝﹣可求得a＝2，然后把A点坐标代入y＝x+b求出b，从而得到一次函数解析式；
（2）连接PC、PD，如图，设P（x，x+），根据三角形面积公式得到××（x+4）＝×|﹣1|×（2﹣x﹣），解得x＝，然后计算自变量为时的一次函数值即可得到P点坐标．
解：（1）∵反比例y＝的图象过点（﹣4，），
∴m＝﹣4×＝﹣2，
把B（﹣1，a）代入y＝﹣得﹣a＝﹣2，解得a＝2，
∵y＝x+b的图象过点A（﹣4，）
∴×（﹣4）+b＝，解得b＝，
∴一次函数的表达式是y＝x+；
（2）连接PC、PD，如图，设P（x，x+），
∵△PCA和△PDB面积相等，
∴××（x+4）＝×|﹣1|×（2﹣x﹣），解得x＝，
当x＝时，y＝x+＝，
∴P点坐标是（﹣，）．
20．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．
（1）求证：△ABG≌△C′DG；
（2）求tan∠ABG的值；
（3）求EF的长．
【分析】（1）根据翻折变换的性质可知∠C＝∠BAG＝90°，C′D＝AB＝CD，∠AGB＝∠DGC′，故可得出结论；
（2）由（1）可知GD＝GB，故AG+GB＝AD，设AG＝x，则GB＝8﹣x，在Rt△ABG中利用勾股定理即可求出AG的长，进而得出tan∠ABG的值；
（3）由△AEF是△DEF翻折而成可知EF垂直平分AD，故HD＝AD＝4，再根据tan∠ABG即可得出EH的长，同理可得HF是△ABD的中位线，故可得出HF的长，由EF＝EH+HF即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵△BDC′由△BDC翻折而成，
∴∠C＝∠BAG＝90°，C′D＝AB＝CD，∠AGB＝∠DGC′，
∴∠ABG＝∠ADE，
在△ABG与△C′DG中，
∵，
∴△ABG≌△C′DG（AAS）；
（2）解：
∵由（1）可知△ABG≌△C′DG，
∴GD＝GB，
∴AG+GB＝AD，
设AG＝x，则GB＝8﹣x，
在Rt△ABG中，
∵AB2+AG2＝BG2，
即62+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝，
∴tan∠ABG＝＝＝；
（3）解：
∵△AEF是△DEF翻折而成，
∴EF垂直平分AD，
∴HD＝AD＝4，
∴tan∠ABG＝tan∠ADE＝，
∴EH＝HD×＝4×＝，
∵EF垂直平分AD，AB⊥AD，
∴HF是△ABD的中位线，
∴HF＝AB＝×6＝3，
∴EF＝EH+HF＝+3＝．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．关于x的方程x2﹣kx+2＝0有两个实数根，一个根是1，另一个根为 2 ．
【分析】设方程的另一个根为t，然后根据根与系数的关系得到1•t＝2，再解一次方程即可．
解：设方程的另一个根为t，
根据题意得1•t＝2，
解得t＝2．
故答案为：2．
22．在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且|sinA﹣|+（﹣3tanB）2＝0，则∠C＝ 105 度．
【分析】根据非负数的性质求出∠A，∠B，再根据三角形内角和求出∠C即可．
解：∵|sinA﹣|+（﹣3tanB）2＝0，
∴sinA﹣＝0，﹣3tanB＝0，
∴∠A＝45°，∠B＝30°，
∴∠C＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
故答案为：105．
23．如图，在矩形ABCD中，AD＝13，点E、F均在对角线BC上，且BE＝EF＝FD，若线段AE和CF之间的距离为6，则AB的长为 ．
【分析】延长AE，DC交于点G，过点C作CH⊥AG于点H，可得CH＝6，证明△ABE∽△GDE，可得＝＝，所以DG＝2AB，再证明△GCH∽△GAD，可得＝，所以HG＝AB，利用勾股定理即可求出AB的长．
解：如图，延长AE，DC交于点G，过点C作CH⊥AG于点H，
∴CH＝6，
∵BE＝EF＝FD，
∴＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，∠ADC＝90°，
∴△ABE∽△GDE，
∴＝＝，
∴DG＝2AB，
∴AB＝DC＝CG，
∵∠CHG＝∠ADG＝90°，∠G＝∠G，
∴△GCH∽△GAD，
∴＝，
∴＝，
∴HG＝AB，
在Rt△GCH中，根据勾股定理，得
CG2＝CH2+HG2，
∴AB2＝62+（AB）2，
解得AB＝．
故答案为：．
24．在直角坐标系中，已知A（0，4）、B（2，4），C为x轴正半轴上一点，且OB平分∠ABC，过B的反比例函数y＝交线段BC于点D，E为OC的中点，BE与OD交于点F，若记△BDF的面积为S1，△OEF的面积为S2，则＝ ．
【分析】如图，过点B作BH⊥OC于H．首先证明CB＝OC，设BC＝OC＝m，利用勾股定理构建方程求出m，再根据一次函数，利用方程组确定交点坐标，分别求出D，F，E的坐标，即可解决问题．
解：如图，过点B作BH⊥OC于H．
∵A（0，4）、B（2，4），
∴OA＝4，AB＝2，AB∥OC，
∴∠ABO＝∠BOC，
∵OB平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠OBC，
∴∠BOC＝∠OBC，
∴CB＝OC，设BC＝OC＝m，
∵BH⊥OC，AB∥OC，
∴∠AOH＝∠OHB＝∠ABH＝90°，
∴四边形ABHO是矩形，
∴BH＝OA＝4，AB＝OH＝2，
在Rt△BCH中，则有m2＝42+（m﹣2）2，
∴m＝5，
∴C（5，0），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+，
∵反比例函数y＝经过点B（2，4），
∴k＝8，
由，解得或，
∴D（3，），
∴直线OD的解析式为y＝x，
∵OE＝EC，
∴E（，0），
∴直线BE的解析式为y＝﹣8x+20，
由，解得，
∴F（，2），
∴S1＝2×1﹣×1×﹣×2×﹣××＝，S2＝××2＝，
∴＝＝，
故答案为：．
25．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E为BC上一点，且BE＝2，P为AD上动点，将PE绕点P逆时针旋转90°至PQ，则AQ+EQ的最小值为 2 ．
【分析】如图：过点E作EF⊥AD于F，延长AD至M，使得DM＝1，连接EM，EQ，QM，证明∠FME＝∠FMQ＝45°，推出点Q在射线QM上运动，如图，作点E关于直线QM的对称点E′，连接AE′交QM于点Q，此时AQ+EQ＝AE′的值最小．
解：如图：过点E作EF⊥AD于F，延长AD至M，使得DM＝1，连接EM，EQ，QM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝5，∠B＝∠A＝90°，
∵EF⊥AD，
∴∠AFE＝90°，
∴四边形ABEF是矩形，
∴AB＝EF＝4，BE＝AF＝2，
∴EF＝EM＝4，
∵△EPQ，△EFN都是等腰直角三角形，
∴EQ＝PE，EM＝EF，
∵＝，
∵∠PEQ＝∠FEM＝45°，
∴∠PEF＝∠QEM，
∴△PEF∽△QEM，
∴∠PFE＝∠QME＝90°，
∴∠FME＝∠FMQ＝45°，
∴点Q在射线QM上运动，
如图，作点E关于直线QM的对称点E′，连接AE′交QM于点Q，此时AQ+EQ＝AE′的值最小．
过点E′作E′T⊥AM交AM的延长线于点T，
在Rt△AET中，AE′＝＝＝2．
∴AQ+QE的最小值为2
故答案为：2．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
26．成都某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为60元，用120元购进甲种玩具的件数与用180元购进乙种玩具的件数相同．
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共40件，其中甲种玩具的件数少于20件，并且商场决定此次进货的总资金不超过1320元，求商场共有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，若每件甲种玩具售价32元，每件乙种玩具售价50元．请求出卖完这批玩具共获利w（元）与甲种玩具进货量m（件）之间的函数关系式，并求出最大利润为多少元？
【分析】（1）设甲种玩具进价为x元/件，则乙种玩具进价为（60﹣x）元/件，根据用120元购进甲种玩具的件数与用180元购进乙种玩具的件数相同可列方程求解．
（2）设购进甲种玩具m件，则购进乙种玩具（40﹣m）件，根据甲种玩具的件数少于20件，并且商场决定此次进货的总资金不超过1320元，可列出不等式组求解．
（3）先列出有关总利润和进货量的一次函数关系式，然后利用一次函数的性质结合自变量的取值范围求最大值即可．
解：（1）设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（60﹣x）元/件，
根据题意，得，
解得x＝24，
经检验x＝24是原方程的解．
则60﹣x＝36．
答：甲、乙两种玩具分别是24元/件，36元/件；
（2）设购进甲种玩具m件，则购进乙种玩具（40﹣m）件，
由题意，得，
解得10≤m＜20．
∵m是整数，
故商场共有10种进货方案；
（3）设购进甲种玩具m件，卖完这批玩具获利W元，则购进乙种玩具（40﹣m）件，
根据题意得：w＝（32﹣24）m+（50﹣36）（40﹣m）＝﹣6m+560，
∵k＝﹣6＜0，
∴w随着m的增大而减小，
∴当m＝10时，有最大利润w＝﹣6×10+560＝500元．
27．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，对角线AC上，连接AE，EF，且∠AED＝∠CEF，过F作FG⊥AE交边AD于点G，连接EG．
（1）求证：∠AFG＝∠CFE；
（2）设DE＝x，DG＝y，求y与x之间的函数关系式；
（3）当△EFG是以EF为腰的等腰三角形时，求DE的长．
【分析】（1）利用同角的余角相等可证∠AED＝∠AGF，再根据∠AED＝∠CEF，即可证明结论；
（2）延长CD至M，使得DM＝DE，首先△AGF∽△CEF，得，再证明EF∥AM，得，从而AG＝2DE，即可解决问题；
（3）分EF＝GF或EF＝EG两种情形分别求解，若EF＝GF时，可证△AGF≌△CEF（AAS），得AG＝CE，若EF＝EG时，过点E作EH⊥AC于H，可证AE垂直平分FG，则AG＝AF，进而解决问题．
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∠ADC＝90°，
∴∠DAE+∠AED＝90°，
∵FG⊥AE，
∴∠AGF+∠DAE＝90°，
∴∠AED＝∠AGF，
∵∠AED＝∠CEF，
∴∠CEF＝∠AGF，
∵∠AFG＝180°﹣∠AGF﹣∠GAF＝135°﹣∠AGF，
∠CFE＝180°﹣∠CEF﹣∠ECF＝135°﹣∠CEF，
∴∠AFG＝∠CFE；
（2）∵GAF＝∠ECF＝45°，∠AGF＝∠CEF，
∴△AGF∽△CEF，
∴，
延长CD至M，使得DM＝DE，
∵AD⊥DC，DM＝DE，
∴AM＝AE，
∴∠AME＝∠AEM，
∵∠AEM＝∠CEF，
∴∠AME＝∠CEF，
∴EF∥AM，
∴，
∴AG＝2DE，
∵DE＝x，DG＝y，
∴AG＝2x，
∵AG+DG＝2，
∴2x+y＝2，
∴y＝2﹣2x；
（3）若EF＝GF时，
在△AGF和△CEF中，
，
∴△AGF≌△CEF（AAS），
∴AG＝CE，
∵AG＝2DE，
∴CE＝2DE，
∴DE＝，
若EF＝EG时，过点E作EH⊥AC于H，
∵EF＝EG，AE⊥FG，
∴AE平分FG，
即AE垂直平分FG，
∴AG＝AF，
∴AE平分∠GAF，
∵ED⊥AD，EH⊥AC，
∴ED＝EH，
在Rt△EHC中，∠EHC＝90°，∠ECH＝45°，
∴EC＝EH＝ED，
∵ED+EC＝2，
∴ED+ED＝2，
∴DE＝＝2（）＝2﹣2，
∴DE的长为：或2﹣2．
28．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A、点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点P为抛物线上一点，过点P作PE⊥x轴，交直线BC于点D，交x轴于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若线段QF和线段PE关于抛物线的对称轴对称，当四边形PQFE为正方形时，求正方形PQFE的面积；
（3）如图2，在y轴上点C的正下方取点H，使CH＝2DE，在函数图象上取点K，过点H作直线DK的垂线交直线PE于点G，若∠HDC＝∠KDG，∠CHG＝∠KGH，求点K的坐标和点P的坐标．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）设P点坐标为（m，﹣m2+2m+3），利用正方形性质可求得|OF|＝﹣m2+m+3，F（m2﹣m﹣3，0），再根据抛物线对称轴建立方程求解即可得出m＝，进而可求得答案；
（3）如图2，过点K和点D作y轴的垂线分别交y轴于R和T点，HG和KD相交于点M，根据平行线性质和直角三角形性质得出∠HDK＝45°，进而可得△HMD是等腰直角三角形，再证得△GDK是等腰三角形，从而证得：△KMH≌△DMH（SAS），△KHR≌△HDT（AAS），设点D的坐标为（m，3﹣m），建立方程求解即可．
解：（1）∵已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A、点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），
∴将B（3，0）、C（0，3）两点坐标代入抛物线中，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵P点在抛物线上，
∴设P点坐标为（m，﹣m2+2m+3），
∵四边形QPEF为正方形，
∴PE＝EF，
∴|PE|﹣|OE|＝|OF|，
∴|OF|＝﹣m2+2m+3﹣m＝﹣m2+m+3，
∴F点坐标为（m2﹣m﹣3，0），
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝1，
∴＝1，即＝1，
解得：m＝﹣（舍去）或m＝，
∴E（，0），F（2﹣，0），
∴EF＝﹣（2﹣）＝2﹣2，
∴S正方形PQFE＝EF2＝（2﹣2）2＝24﹣8，
故正方形PQFE的边长为2﹣2，面积为24﹣8；
（3）如图2，过点K和点D作y轴的垂线分别交y轴于R和T点，HG和KD相交于点M，
∵y轴∥PE，
∴∠CHG＝∠HGD，
∵HG⊥KD，
∴∠HGD+∠GDK＝90°，
∵∠GDK＝∠CDH，
∴∠CHG+∠CDH＝90°，
∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，
∴∠OCD＝45°，
∵y轴∥PE，
∴∠KDG+∠CDK＝∠OCD＝45°，
∵∠HDC＝∠KDG，
∴∠HDC+CDK＝45°，
即∠HDK＝45°，
∵HG⊥KD，
∴△HMD是等腰直角三角形，
∵∠CHG＝∠HGD，∠CHG＝∠KGH，
∴∠HGD＝∠KGH，
∵HG⊥KD，
∴△GDK是等腰三角形，
∴KM＝MD，
在△KMH和△DMH中，
，
∴△KMH≌△DMH（SAS），
∴KH＝HD，
∴△KHD是等腰直角三角形，
∴∠KHC＝90°﹣∠DHO＝∠HDT，
在△KHR和△HDT中，
，
∴△KHR≌△HDT（AAS），
∴RH＝DT，KR＝HT，
设点D的坐标为（m，3﹣m），则DT＝m，DE＝3﹣m，
∵CH＝2DE，
∴CH＝6﹣2m，
∴OH＝OC﹣CH＝3﹣（6﹣2m）＝2m﹣3，
∴HT＝OH﹣OT＝2m﹣3﹣（3﹣m）＝3m﹣6，
∴H的坐标为（0，2m﹣3），
∵OK＝OH+RH＝2m﹣3+m＝3m﹣3，
∴K的坐标为（3m﹣6，3m﹣3），
将点K的坐标代入抛物线y＝﹣x2+2x+3中，
得：3m﹣3＝﹣（3m﹣6）2+2（3m﹣6）+3，
解得：m1＝2，m2＝，
∵点H在点C下方，
∴2m﹣3＜3，
∴m＜3，
∴m＝2
∴K的坐标为（0，3），P的坐标为（2，3）．
答对的题数
0
1
2
3
4
5
6
甲班答对人数
0
2
3
4
17
12
2
乙班答对人数
0
1
5
3
15
14
2
答对的题数
0
1
2
3
4
5
6
甲班答对人数
0
2
3
4
17
12
2
乙班答对人数
0
1
5
3
15
14
2