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重庆市沙坪坝区2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（word版 含答案）
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这是一份重庆市沙坪坝区2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（word版 含答案），共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年重庆市沙坪坝区九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．下列四个实数中最小的是（ ）
A．﹣ B．﹣2 C．0 D．
2．下列几何体中主视图为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
3．将二次函数y＝x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的图象解析式为（ ）
A．y＝（x﹣1）2+3 B．y＝（x+1）2+3 C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x+1）2﹣3
4．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△OAB放大得到△OCD，若A点坐标为（1，2），C点坐标为，则线段CD长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
5．的值在（ ）
A．﹣1和0之间 B．0和1之间 C．1和2之在 D．2和3之间
6．下列命题正确的是（ ）
A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
B．对角线相等的平行四边形是正方形
C．对角线互相平分的矩形是正方形
D．对角线相等的菱形是正方形
7．某渔具店销售一种鱼饵，每包成本价为10元，经市场调研发现：售价为20元时，每天可销售40包，售价每上涨1元，销量将减少3包．如果想获利408元，设这种鱼饵的售价上涨x元，根据题意可列方程为（ ）
A．（20+x）（40﹣3x）＝408
B．（x﹣10）[40﹣3（x﹣20）]＝408
C．（20+x﹣10）（40﹣3x）＝408
D．（20+x）（40﹣3x）﹣10×40＝408
8．下列图形都是由形状大小相同的黑白两色三角形按照一定规律拼成的，第①个图形中一共有2个黑色三角形，第②个图形中一共有2个黑色三角形，第③个图形中一共有4个黑色三角形，第④个图形中一共有4个黑色三角形，……，按此规律排列下去，则第⑨个图形中黑色三角形有（ ）个．
A．6 B．8 C．10 D．12
9．小明家、公园、图书馆依次在一条直线上，周末，小明和妈妈准备去公园放风筝，但是因为小明要先去图书馆还书，所以他们同时从家出发，并约定2小时后在公园碰头．小明先骑自行车匀速前往图书馆，到达图书馆还书后按原路原速返回公园并按照约定时间准时到达公园，妈妈则匀速步行前往公园，结果迟到半小时．如图是他们离家的距离y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象，下列说法中错误的是（ ）
A．小明骑车的速度是20km/h
B．小明还书用了18min
C．妈妈步行的速度为2.4km/h
D．公园距离小明家8km
10．如图，小敏在参观大风车时，想测一下风叶AB的长度．她首先通过C处的铭牌简介得知每个风车杆子BC的高度为98米，然后沿水平方向走到D处，再沿着斜坡DE走了35米到达E处，她站在E处当风叶AB转到铅垂方向时测得点A的仰角为68°；当风叶AB转到水平方向A′B时测得点A′的仰角为45°，若斜坡DE的坡度i＝1：0.75，则风叶AB的长度约为（ ）米．
（参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50）
A．25 B．30 C．32 D．35
11．若关于x的分式方程的解是非负数，关于y的不等式组有且仅有2个奇数解，则所有满足条件的整数m的值之和为（ ）
A．3 B．4 C．11 D．12
二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）将每小题的答案直接填在答题卡对应的横线上.
13．计算：＝ ．
14．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则cosB的值为 ．
15．在桌面上放有四张背面完全一样的卡片，卡片的正面分别标有数字4、﹣2、1、3，把四张卡片背面朝上，随机抽取两张，则两张卡片上的数字之和为正数的概率是 ．
16．如图，已知二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝x+m的图象相交于点A（﹣4，﹣3），B（2，3）则关于x的方程ax2+bx+c＝kx+m的解是 ．
17．如图，在△ABC中，D为AB中点，连接CD，将△BCD沿直线CD翻折至△ABC所在平面内得△B′CD，连接BB′，与CD交于点E．若AB′＝BB′＝4，∠ABC＝60°，则点C到BD的距离为 ．
18．新新面粉厂现有小麦若干千克和面粉500千克准备一边继续将小麦生产成面粉，一边将生产好的面粉加工成面条，现将全部10名工人，分为A、B两组，A组负责将小麦加工成面粉，B组负资将面粉加工成面条．已知每位工人每天可将100千克小麦生产成75千克面粉或将25千克面粉加工成50千克面条．生产m天后，面粉质量与面条质量之比为13：2，又生产了若干天后，小麦全部用完，此时面粉质量与面条质量之比为6：1，若继续将所有面粉都加工成面条再出售，且每千克面条售出后可获利3元，则所有面条售出后，新新面粉厂共可获利 元．
三、解答题（本大题7小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．计算：
（1）（2x+y）2﹣2x（x+2y）；
（2）．
20．如图，四边形ABCD是矩形．
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BE＝CE＝2，求AD的长．
21．抗美援朝战争是新中国的立国之战，中国人民志愿军打破了美军不可战胜的神话．电影《长津湖》将这一段波澜壮阔的历史重新带进了人们的视野，并一举拿下了国庆档的票房冠军，激发了大家的爱国热情．因此，某校开展了抗美援朝专题知识竞赛，所有同学得分都不低于80分，现从该校八、九年级中各抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x（分）表示，共分成四个等级，A：80≤x＜85；B：85≤x＜90；C：90≤x＜95；D：95≤x＜100），下面给出了部分信息：
八年级抽取的学生C等级的成绩为：92，92，93，94
九年级抽取的学生D等级的成绩为：95，95，95，97，100
八，九年级抽取的学生竞赛成绩统计表：
年级
平均分
中位数
众数
方差
八年级
92
a
92
23.4
九年级
92
94
b
29.8
请根据相关信息，回答以下问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，并补全九年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图；
（2）根据以上数据，请判断哪个年级的同学竞赛成绩更好，并说明理由（一条即可）；
（3）规定成绩在95分以上（含95分）的同学被评为优秀，已知该校八年级共有1200人参加知识竞赛，请计算该校八年级约有多少名同学被评为优秀？
22．初中阶段研究新函数的性质往往需要首先确定函数的解析式，再经历列表、描点连线画出函数图象、观察分析函数图象特征等过程．如表是函数y＝的部分信息：
x
……
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
……
y
……
m
﹣3
﹣4
﹣5
0
n
4
3
……
请结合已有的学习经验，探究上述函数的图象与性质，并解决问题：
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）在平面直角坐标系中，结合已有学习经验，用你喜欢的方法补全函数图象，观察函数图象，并请写出该函数的一条性质： ；
（3）已知函数y2＝的图象如图所示，根据函数图象，直接写出不等式y1＜y2的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
23．每年秋天，某地都会举办“猕猴桃节”，去年，果农小张共售出绿心猕猴桃和红心猕猴桃3000千克，绿心猕猴桃售价是20元/千克，红心猕猴桃售价是30元/千克，全部售出后总销售额为80000元．
（1）去年，果农小张共售出红心猕猴桃多少千克？
（2）今年，绿心猕猴桃的单价比去年下降了a%，红心猕猴桃的单价比去年上涨了2a%，结果果农小张售出的绿心猕猴桃数量是去年的2倍，红心猕猴桃数量比去年减少了a%，总销售额比去年增加了25%，求a的值．
24．对于任意一个自然数N，将其各个数位上的数字相加得到一个数，我们把这一过程称为一次操作，把这个得到的数进行同样的操作，不断进行下去，最终会得到一个一位数K，我们把N称作“K的友谊数”．例如：346→3+4+6＝13→1+3＝4，所以346是“4的友谊数”．
（1）请分别判断1357和859是否是“4的友谊数”，并说明理由；
（2）若一个三位自然数M＝100a+10b+8（1≤a≤9，1≤b≤9，a，b均为整数）是“4的友谊数”，且满足a﹣b+3能被7整除，请求出所有符合条件的三位自然数M．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，点P为直线BC上方抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A作AD∥BC交抛物线于D，点E为直线AD上一动点，连接CP，CE，BP，BE，求四边形BPCE面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）将抛物线沿射线CB方向平移个单位，M为平移后的抛物线的对称轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
26．如图，△ABC和△ABD分别位于AB两侧，E为AD中点，连接BE，CE．
（1）如图1，若∠BAC＝∠ABD＝90°，AB＝AC＝BD＝2，求CE的长；
（2）如图2，连接CD交AB于点F，过A作AG∥BD交CD于G，若AC＝AD，BD＝BF，∠GAF＝60°，猜想BC与BE之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，若AB＝4，BD＝2，请直接写出当2CE﹣AE取最大值时△ACE的面积．
参考答案
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．下列四个实数中最小的是（ ）
A．﹣ B．﹣2 C．0 D．
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
解：根据实数比较大小的方法，可得﹣＜﹣2＜0＜，
四个实数中最小的是﹣，
故选：A．
2．下列几何体中主视图为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据主视图是从物体正面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的主视图，即可解答．
解：A、圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意；
B、圆柱的主视图是矩形，符合题意；
C、三棱锥的主视图是三角形，不合题意；
D、球的主视图是圆，不符合题意．
故选：B．
3．将二次函数y＝x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的图象解析式为（ ）
A．y＝（x﹣1）2+3 B．y＝（x+1）2+3 C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x+1）2﹣3
【分析】由二次函数y＝x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度，根据平移的性质，即可求得所得图象的函数解析式．注意二次函数平移的规律为：左加右减，上加下减．
解：∵二次函数y＝x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度，
∴所得图象的函数解析式是：y＝（x﹣1）2+3．
故选：A．
4．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△OAB放大得到△OCD，若A点坐标为（1，2），C点坐标为，则线段CD长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【分析】根据位似变换的性质得到△OCD∽△OAB，且相似比为2：1，根据根据相似比等于位似比计算即可．
解：∵以原点O为位似中心，将△OAB放大得到△OCD，A的坐标为（1，2），点C的坐标为（2，4），
∴△OCD∽△OAB，且相似比为2：1，
∴＝，
∵AB＝，
∴CD＝2，
故选：D．
5．的值在（ ）
A．﹣1和0之间 B．0和1之间 C．1和2之在 D．2和3之间
【分析】先去括号，再估算出的大小，进而可得出结论．
解：
＝﹣2
＝﹣2，
∵9＜12＜16，
∴3＜＜4，
∴1＜﹣2＜2．
故选：C．
6．下列命题正确的是（ ）
A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
B．对角线相等的平行四边形是正方形
C．对角线互相平分的矩形是正方形
D．对角线相等的菱形是正方形
【分析】利用正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；
C、对角线互相垂直的矩形是正方形，故原命题错误，不符合题意；
D、对角线相等的菱形是正方形，正确，符合题意，
故选：D．
7．某渔具店销售一种鱼饵，每包成本价为10元，经市场调研发现：售价为20元时，每天可销售40包，售价每上涨1元，销量将减少3包．如果想获利408元，设这种鱼饵的售价上涨x元，根据题意可列方程为（ ）
A．（20+x）（40﹣3x）＝408
B．（x﹣10）[40﹣3（x﹣20）]＝408
C．（20+x﹣10）（40﹣3x）＝408
D．（20+x）（40﹣3x）﹣10×40＝408
【分析】设这种鱼饵的售价上涨x元，则每包的销售利润为（20+x﹣10）元，每天可销售（40﹣3x）包，利用每天的销售利润＝每包的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：设这种鱼饵的售价上涨x元，则每包的销售利润为（20+x﹣10）元，每天可销售（40﹣3x）包，
依题意得：（20+x﹣10）（40﹣3x）＝408．
故选：C．
8．下列图形都是由形状大小相同的黑白两色三角形按照一定规律拼成的，第①个图形中一共有2个黑色三角形，第②个图形中一共有2个黑色三角形，第③个图形中一共有4个黑色三角形，第④个图形中一共有4个黑色三角形，……，按此规律排列下去，则第⑨个图形中黑色三角形有（ ）个．
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】由所给的图形进行分析，可得当第奇数个图形时，其黑色三角形的个数为：n+1，当第偶数个图形时，其黑色三角形的个数为：n，据此求解即可．
解：∵第①个图形中黑色三角形的个数为：2，
第②个图形中黑色三角形的个数为：2，
第③个图形中黑色三角形的个数为：4，
第④个图形中黑色三角形的个数为：4，
…，
∴当第奇数个图形时，其黑色三角形的个数为：n+1，
当第偶数个图形时，其黑色三角形的个数为：n，
∴第⑨个图形中黑色三角形的个数为：9+1＝10．
故选：C．
9．小明家、公园、图书馆依次在一条直线上，周末，小明和妈妈准备去公园放风筝，但是因为小明要先去图书馆还书，所以他们同时从家出发，并约定2小时后在公园碰头．小明先骑自行车匀速前往图书馆，到达图书馆还书后按原路原速返回公园并按照约定时间准时到达公园，妈妈则匀速步行前往公园，结果迟到半小时．如图是他们离家的距离y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象，下列说法中错误的是（ ）
A．小明骑车的速度是20km/h
B．小明还书用了18min
C．妈妈步行的速度为2.4km/h
D．公园距离小明家8km
【分析】根据小明1小时到达图书馆，图书馆距离家20千米，求出小明骑车的速度判断A选项；根据小明还书用了0.3小时判断B选项；设妈妈的速度为a千米/小时，根据小明走的路程+妈妈走的路程＝20×2列出方程求出方程的解来判断C选项；根据妈妈的速度×妈妈所用的时间求公园距离小明家的距离来判断D选项．
解：观察图象可知，小明1小时到达图书馆，图书馆距离家20千米，小明骑车的速度是20千米/小时，故A选项不符合题意；
1.3﹣1＝0.3（小时）＝18（分），故B选项不符合题意；
设妈妈的速度为a千米/小时，根据小明走的路程+妈妈走的路程＝20×2得：2.5a+20×（2﹣1.7）＝20×2，解得a＝2.4，故C选项不符合题意；
2.4×2.5＝6（千米），故D选项符合题意；
故选：D．
10．如图，小敏在参观大风车时，想测一下风叶AB的长度．她首先通过C处的铭牌简介得知每个风车杆子BC的高度为98米，然后沿水平方向走到D处，再沿着斜坡DE走了35米到达E处，她站在E处当风叶AB转到铅垂方向时测得点A的仰角为68°；当风叶AB转到水平方向A′B时测得点A′的仰角为45°，若斜坡DE的坡度i＝1：0.75，则风叶AB的长度约为（ ）米．
（参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50）
A．25 B．30 C．32 D．35
【分析】过E作EF⊥CD于F，作EG⊥AC于G，A′H⊥EG于H．分别在Rt△DEF和Rt△ABD中，通过解直角三角形求出EF的长，可得BG的长，在Rt△A′EH中，∠A′EH＝45°，则EH＝A′H，设AB＝A′B＝x米，则EG＝（70﹣x）米，AG＝（70+x）米，在Rt△AEG中，解直角三角形得到关于x的方程，解方程即可求得．
解：过E作EF⊥CD于F，作EG⊥AC于G，A′H⊥EG于H．
∵斜坡DE的坡度i＝1：0.75，DE＝35米，
∴EF＝28米，CF＝21米，
∵BC＝98米，
∴A′H＝BG＝98﹣28＝70米，
∵∠A′EB＝45°，
∴EH＝A′H＝70米，
设AB＝A′B＝x米，
∴EG＝（70﹣x）米，AG＝（70+x）米，
在Rt△AEG中，tan∠AEG＝，
∴tan68°＝≈2.5，
解得x＝30（米），
∴AB的长度约为30米，
故选：B．
11．若关于x的分式方程的解是非负数，关于y的不等式组有且仅有2个奇数解，则所有满足条件的整数m的值之和为（ ）
A．3 B．4 C．11 D．12
【分析】先解分式方程，再解一元一次不等式组，从而确定m的值，进而解决此题．
解：∵，
∴3（x﹣1）+1＝m．
∴3x﹣3+1＝m．
∴x＝．
∵关于x的分式方程的解是非负数，
∴x＝≥0且≠1．
∴m≥﹣2且m≠1．
∵，
∴3y﹣6≤y+2．
∴2y≤8．
∴y≤4．
∵4y+1﹣m≥0，
∴y≥．
∵关于y的不等式组有且仅有2个奇数解，
∴﹣1＜≤1．
∴﹣3＜m≤5．
又∵m≥﹣2且m≠1，m为整数，
∴m＝﹣2或﹣1或0或2或3或4或5．
∴所有满足条件的整数m的值之和为﹣2+（﹣1）+0+2+3+4+5＝11．
故选：C．
二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）将每小题的答案直接填在答题卡对应的横线上.
13．计算：＝ 3 ．
【分析】代入特殊角三角函数值，化简零次幂，然后再计算．
解：原式＝2×1+1
＝2+1
＝3，
故答案为：3．
14．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则cosB的值为 ．
【分析】根据勾股定理可以求出AB＝13，根据三角函数的定义即可求得cosB的值．
解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴根据勾股定理AB＝＝13，
∴cosB＝，
故答案为：．
15．在桌面上放有四张背面完全一样的卡片，卡片的正面分别标有数字4、﹣2、1、3，把四张卡片背面朝上，随机抽取两张，则两张卡片上的数字之和为正数的概率是 ．
【分析】画树状图得出共有12种等可能的结果数，其中两张卡片上的数字之和为正数的结果有10种，再由概率公式求解即可．
解：根据题意画图如下：
共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字之和为正数的结果有10种，
则两张卡片上的数字之和为正数的概率是＝．
故答案为：..
16．如图，已知二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝x+m的图象相交于点A（﹣4，﹣3），B（2，3）则关于x的方程ax2+bx+c＝kx+m的解是 x1＝﹣4，x2＝2 ．
【分析】方程的解就是两个函数交点的横坐标，据此即可求解．
解：∵方程ax2+bx+c＝kx+m的解就是二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝x+m两个函数交点的横坐标，
∴ax2+bx+c＝kx+m的解是x1＝﹣4，x2＝2；
故答案是：x1＝﹣4，x2＝2．
17．如图，在△ABC中，D为AB中点，连接CD，将△BCD沿直线CD翻折至△ABC所在平面内得△B′CD，连接BB′，与CD交于点E．若AB′＝BB′＝4，∠ABC＝60°，则点C到BD的距离为 3﹣ ．
【分析】由折叠的性质可得BD＝DB'＝AD，BE＝B'E，BB'⊥CD，可得∠AB'B＝90°，由等腰直角三角形的性质可求BD的长，由直角三角形性质可求DH＝CH，BH＝CH，即可求解．
解：∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵将△BCD沿直线CD翻折至△ABC所在平面内得△B′CD，
∴BD＝DB'＝AD，BE＝B'E，BB'⊥CD，
∴∠AB'B＝90°，
∵AB′＝BB′＝4，
∴∠ABB'＝45°，BE＝2，
∴∠EDB＝∠DBE＝45°，
∴DE＝BE＝2，
∴BD＝2，
如图，过点C作CH⊥BD于H，
∴∠CDH＝∠DCH＝45°，
∴CH＝DH，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BCH＝30°，
∴BH＝CH，
∵BD＝BH+DH＝CH+CH＝2，
∴CH＝3﹣，
∴点C到BD的距离为3﹣，
故答案为3﹣．
18．新新面粉厂现有小麦若干千克和面粉500千克准备一边继续将小麦生产成面粉，一边将生产好的面粉加工成面条，现将全部10名工人，分为A、B两组，A组负责将小麦加工成面粉，B组负资将面粉加工成面条．已知每位工人每天可将100千克小麦生产成75千克面粉或将25千克面粉加工成50千克面条．生产m天后，面粉质量与面条质量之比为13：2，又生产了若干天后，小麦全部用完，此时面粉质量与面条质量之比为6：1，若继续将所有面粉都加工成面条再出售，且每千克面条售出后可获利3元，则所有面条售出后，新新面粉厂共可获利 3000 元．
【分析】设有x名工人分在A组，则有（10﹣x）名工人分在B组，根据题意列出方程求出m及x的值，设又生产了t天后，小麦全部用完，根据此时面粉质量与面条质量之比为6：1，列出关于t的方程，解方程求出t的值，进而得出最后生产的面条质量，即可求出答案．
解：设有x名工人分在A组，则有（10﹣x）名工人分在B组，
生产m天后，
面粉质量为：500+75mx﹣25m（10﹣x）（kg），
面条质量为：50m（10﹣x）（kg），
∵生产m天后，面粉质量与面条质量之比为13：2，
∴，
∴x＝，
∵m、x为正整数，且x＜10，
∴7m﹣1为17的倍数，
∴m＝5，
∴x＝＝＝8，
∴生产m天后，
面粉质量为：500+75mx﹣25m（10﹣x）
＝500+75×5×8﹣25×5×（10﹣8）
＝3250（kg），
面条质量为：50m（10﹣x）
＝50×5×（10﹣8）
＝500（kg），
设又生产了t天后，小麦全部用完，此时面粉质量与面条质量之比为6：1，
∴面粉质量为：3250+75×8t﹣25t×（10﹣8）
＝3250+600t﹣50t
＝（3250+550t）（kg），
面条质量为：500+50t×（10﹣8）
＝（500+100t）（kg），
∴，
解得：t＝5，
∴最后生产面条质量为：500+100×5＝1000（kg），
故所有面条售出后可获利：1000×3＝3000（元），
故答案为：3000．
三、解答题（本大题7小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．计算：
（1）（2x+y）2﹣2x（x+2y）；
（2）．
【分析】（1）先根据完全平方公式和单项式乘多项式进行计算，再合并同类项即可；
（2）先根据分式的加法法则进行计算，再根据分式的除法进行计算即可．
解：（1）原式＝4x2+4xy+y2﹣2x2﹣4xy
＝2x2+y2；
（2）原式＝•
＝•
＝•
＝m（m﹣1）
＝m2﹣m．
20．如图，四边形ABCD是矩形．
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BE＝CE＝2，求AD的长．
【分析】（1）利用基本作图，作∠ABC的平分线；
（2）先根据平行四边形的性质得到BC＝AD，∠ABC＝90°，根据BE平分∠ABC，可得∠ABE＝∠EBC＝∠ABC＝45°，然后证明△BEC是等腰直角三角形，再根据勾股定理可得BC的长，从而得到AD．
解：（1）如图，BE为所作；
（2）∵四边形ABCD为矩形，
∵BC＝AD，∠ABC＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC＝∠ABC＝45°，
∵BE＝CE＝2，
∴∠ECB＝∠EBC＝45°，
∴∠BEC＝90°，
∴BC2＝2BE2＝8，
∴BC＝2，
∴AD＝2．
21．抗美援朝战争是新中国的立国之战，中国人民志愿军打破了美军不可战胜的神话．电影《长津湖》将这一段波澜壮阔的历史重新带进了人们的视野，并一举拿下了国庆档的票房冠军，激发了大家的爱国热情．因此，某校开展了抗美援朝专题知识竞赛，所有同学得分都不低于80分，现从该校八、九年级中各抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x（分）表示，共分成四个等级，A：80≤x＜85；B：85≤x＜90；C：90≤x＜95；D：95≤x＜100），下面给出了部分信息：
八年级抽取的学生C等级的成绩为：92，92，93，94
九年级抽取的学生D等级的成绩为：95，95，95，97，100
八，九年级抽取的学生竞赛成绩统计表：
年级
平均分
中位数
众数
方差
八年级
92
a
92
23.4
九年级
92
94
b
29.8
请根据相关信息，回答以下问题：
（1）填空：a＝ 92 ，b＝ 95 ，并补全九年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图；
（2）根据以上数据，请判断哪个年级的同学竞赛成绩更好，并说明理由（一条即可）；
（3）规定成绩在95分以上（含95分）的同学被评为优秀，已知该校八年级共有1200人参加知识竞赛，请计算该校八年级约有多少名同学被评为优秀？
【分析】（1）根据中位数、众数的意义求解即可，求出“A组”的频数才能补全频数分布直方图；
（2）从中位数、众数、方差的角度比较得出结论；
（3）用样本估算总体即可．
解：（1）由题意可知，八年级10名同学成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是92，因此中位数是92，即a＝92；
九年级10名学生成绩出现次数最多的是95，共出现3次，因此众数是95，即b＝95，
九年级10名学生成绩处在“A组”的有10﹣1﹣2﹣5＝2（人），补全频数分布直方图如下：
故答案为：92；95；
（2）九年级成绩较好，理由：九年级学生成绩的中位数、众数都比八年级的高；
（3）1200×30%＝360（名），
故该校八年级约有360名同学被评为优秀．
22．初中阶段研究新函数的性质往往需要首先确定函数的解析式，再经历列表、描点连线画出函数图象、观察分析函数图象特征等过程．如表是函数y＝的部分信息：
x
……
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
……
y
……
m
﹣3
﹣4
﹣5
0
n
4
3
……
请结合已有的学习经验，探究上述函数的图象与性质，并解决问题：
（1）m＝ ﹣ ，n＝ 5 ；
（2）在平面直角坐标系中，结合已有学习经验，用你喜欢的方法补全函数图象，观察函数图象，并请写出该函数的一条性质： 图象关于原点对称，答案不唯一 ；
（3）已知函数y2＝的图象如图所示，根据函数图象，直接写出不等式y1＜y2的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
【分析】（1）将x＝﹣3，0分别代入解析式即可得m、n的值；
（2）画出函数的图象，观察图象即可得到；
（3）根据图象求得即可．
解：（1）x＝﹣4、1分别代入y＝得m＝＝﹣，n＝＝5，
故答案为：﹣，5；
（2）画出函数的图象如图：
观察图象可知，函数的图象关于原点对称；
故答案为：函数的图象关于原点对称，答案不唯一．
（3）不等式y1＜y2的解集为﹣3＜x＜0.4或x＞2．
23．每年秋天，某地都会举办“猕猴桃节”，去年，果农小张共售出绿心猕猴桃和红心猕猴桃3000千克，绿心猕猴桃售价是20元/千克，红心猕猴桃售价是30元/千克，全部售出后总销售额为80000元．
（1）去年，果农小张共售出红心猕猴桃多少千克？
（2）今年，绿心猕猴桃的单价比去年下降了a%，红心猕猴桃的单价比去年上涨了2a%，结果果农小张售出的绿心猕猴桃数量是去年的2倍，红心猕猴桃数量比去年减少了a%，总销售额比去年增加了25%，求a的值．
【分析】（1）设去年果农小张共售出红心猕猴桃x千克，根据“红心猕猴桃销售总额+绿心猕猴桃销售总额＝80000”列出方程，解方程即可得出答案；
（2）先表示出两种猕猴桃的单价和数量，再根据“红心猕猴桃销售总额+绿心猕猴桃销售总额＝80000（1+25%）”列出方程，解方程即可得出a的值．
解：（1）设去年果农小张共售出红心猕猴桃x千克，由题意得：
20（3000﹣x）+30x＝80000，
解得：x＝2000，
答：设去年果农小张共售出红心猕猴桃2000千克；
（2）今年绿心猕猴桃的单价：20（1﹣a%），
今年红心猕猴桃的单价：30（1+2a%），
今年绿心猕猴桃的销量：（3000﹣2000）×2＝2000（kg），
今年红心猕猴桃的销量：2000（1﹣a%），
∴20（1﹣a%）×2000+30（1+2a%）×2000（1﹣a%）＝80000（1+25%），
解得：a1＝0（舍去），a2＝20，
答：a的值为20．
24．对于任意一个自然数N，将其各个数位上的数字相加得到一个数，我们把这一过程称为一次操作，把这个得到的数进行同样的操作，不断进行下去，最终会得到一个一位数K，我们把N称作“K的友谊数”．例如：346→3+4+6＝13→1+3＝4，所以346是“4的友谊数”．
（1）请分别判断1357和859是否是“4的友谊数”，并说明理由；
（2）若一个三位自然数M＝100a+10b+8（1≤a≤9，1≤b≤9，a，b均为整数）是“4的友谊数”，且满足a﹣b+3能被7整除，请求出所有符合条件的三位自然数M．
【分析】（1）根据“友谊数”的定义即可判断；
（2）先由M是“4的友谊数”得出a和b的关系式，再由a﹣b+3能被7整除得出a和b所有可能的结果，即可得出答案．
【解答】（1）∵1+3+5+7＝16，1+6＝7，
∴1357不是4的“友谊数”，
∵8+5+9＝22，2+2＝4，
∴859是4的“友谊数”；
（2）∵M＝100a+10b+8是“4的友谊数”，
又∵1≤a≤9，1≤b≤9，
∴10≤a+b+8≤26，
在10到26之间是“4的友谊数”的有13，22，
∴a+b+8＝13或22，
①若a+b+8＝13，则a＝5﹣b，
∴a﹣b+3＝5﹣b﹣b+3＝8﹣2b，
∵1≤b≤9，
∴﹣10≤8﹣2b≤6，
在﹣10到6之间能被7整除的有﹣7，0，
∴8﹣2b＝﹣7或0，
∴b＝7.5（舍）或b＝4，
∴a＝5﹣4＝1，
∴M＝148，
②若a+b+8＝22，则a＝14﹣b，
∴a﹣b+3＝14﹣b﹣b+3＝17﹣2b，
∵1≤b≤9，
∴﹣1≤17﹣2b≤15，
在﹣1到15之间能被7整除的有0，7，14，
∴17﹣2b＝0或7或14，
∴b＝8.5（舍）或b＝5或b＝1.5（舍），
∴a＝14﹣5＝9，
∴M＝958，
综上M的值为148或958．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，点P为直线BC上方抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A作AD∥BC交抛物线于D，点E为直线AD上一动点，连接CP，CE，BP，BE，求四边形BPCE面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）将抛物线沿射线CB方向平移个单位，M为平移后的抛物线的对称轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1把A（﹣2，0），B（6，0）两点坐标代入抛物线的解析式即可．
（2）由抛物线的解析式可得，C（0，3），由点B，点C的坐标可求得直线BC的解析式；如过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，设点P的坐标为（m，﹣m2+m+3），则Q（m，﹣m+3），其中0＜m＜6．PQ＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+m，根据S四边形BPCE＝S△BCE+S△BCP可表达出四边形BPCE的面积的面积，再结合二次函数的性质可求出当m＝3时，四边形BPCE的面积最大为，此时P（3，）．
（3）抛物线沿射线CB方向平移个单位，等同于将该抛物线向右平移1个单位，向下移动个单位．则新抛物线的对称轴为：直线x＝3，设点M的坐标为（3，n），点N的坐标为（s，t），当BC为菱形的边时，①以点B为圆心，BC长为半径作圆，交直线x＝3于点M1，M2，此时BM1＝BM2＝BC＝3，可得，M1F＝M2F＝6，利用点的平移可得到点N1（﹣3，﹣3），N2（﹣3，9）；②以点C为圆心，BC长为半径作圆，交直线x＝3于点M3，M4，过点C作CG⊥y轴，交直线x＝3于点G，如图所示，此时CM3＝CM4＝BC＝3，GM3＝GM4＝＝6，由点的平移可知，N3（，﹣6），N4（9，6）；当BC为菱形的对角线时，MN为另一对角线，BC垂直平分MN，此时BC的中点为（3，），则点M与BC的中点重合，此时不存在点N，不能构成菱形．
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，
∴，解得．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+3．
（2）由抛物线的解析式可得，C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，代入点B，点C的坐标，得
，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．
如图，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，
设点P的坐标为（m，﹣m2+m+3），则Q（m，﹣m+3），其中0＜m＜6．
∴PQ＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+m，
∴S四边形BPCE＝S△BCE+S△BCP
＝S△BCA+S△BCP
＝×8×3+×（6﹣0）×（﹣m2+m）
＝﹣（m﹣3）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝3时，四边形BPCE的面积最大为，此时P（3，）．
（3）存在点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为菱形，理由如下：
∵（）2+12＝（）2，
∴抛物线沿射线CB方向平移个单位，等同于将该抛物线向右平移1个单位，向下移动个单位．
∵原抛物线的顶点坐标为（2，4），
∴新抛物线的顶点坐标为（3，），
∴新抛物线的对称轴为：直线x＝3，设对称轴与x轴交于点F；
设点M的坐标为（3，n），点N的坐标为（s，t），
当BC为菱形的边时，
①以点B为圆心，BC长为半径作圆，交直线x＝3于点M1，M2，如图所示，
此时BM1＝BM2＝BC＝3，
可得，M1F＝M2F＝6，
∴M1（3，﹣6），M2（3，6），
∵C（0，3），B（6，0），
∴点B向上平移3个单位长度，向左平移6个单位长度可得到点C，
∴点M1（3，﹣6）向上平移3个单位长度，向左平移6个单位长度可得到点N1（﹣3，﹣3），
同理可得，N2（﹣3，9）；
②以点C为圆心，BC长为半径作圆，交直线x＝3于点M3，M4，过点C作CG⊥y轴，交直线x＝3于点G，如图所示，
此时CM3＝CM4＝BC＝3，
∴GM3＝GM4＝＝6，
∴M3F＝3，M4F＝9，
∴M3（3，﹣3），M4（3，9），
由点的平移可知，N3（9，﹣6），N4（9，6）；
当BC为菱形的对角线时，MN为另一对角线，BC垂直平分MN，此时BC的中点为（3，），
则点M与BC的中点重合，此时不存在点N，不能构成菱形．
综上，点N的坐标为N1（﹣3，﹣3），N2（﹣3，9），N3（9，﹣6），N4（9，6）．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
26．如图，△ABC和△ABD分别位于AB两侧，E为AD中点，连接BE，CE．
（1）如图1，若∠BAC＝∠ABD＝90°，AB＝AC＝BD＝2，求CE的长；
（2）如图2，连接CD交AB于点F，过A作AG∥BD交CD于G，若AC＝AD，BD＝BF，∠GAF＝60°，猜想BC与BE之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，若AB＝4，BD＝2，请直接写出当2CE﹣AE取最大值时△ACE的面积．
【分析】（1）可得BC＝AD＝2，BE＝AD＝，△ABC是直角三角形，进而求得；
（2）以A为圆心，AD长为半径，交BD的延长线于K，连接AK，延长GA交BE的延长线于H，连接CH，证明△AHE≌△DBE，△AKB≌△CAF，△ABH≌△FBC，得出△BCH是等边三角形，从而得出BE＝BC；
（3）取AB的中点O，连接OE，可推出点E在以O为圆心，半径是1的圆上运动，在OA上截取OI＝，构造△IOE∽△EOA，从而得出IE＝AE，确定当C、I、E在同一直线上时，2CE＝AE最小，进而解斜△IOE，从而进一步求出结果．
解：（1）如图1，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴BC＝AB＝2，
同理可得：AD＝2，
∵∠ABD＝90°，E是AD的中点，
∴BE＝AD＝，
∠ABE＝∠ABD＝45°，
∴∠CBE＝∠ABC+∠ABE＝90°，
∴CE＝
＝
＝；
（2）如图2，
BE＝BC，证明如下：
以A为圆心，AD长为半径，交BD的延长线于K，连接AK，
延长GA交BE的延长线于H，连接CH，
∴AK＝AD，
∴∠K＝∠ADK，
∵AG∥BD，
∴∠DBF＝∠GAF＝60°，
∠AHE＝∠EBD，∠HAE＝∠BDE，
∵BD＝BF，
∴△BDF是等边三角形，
∴∠AFC＝∠DFB＝∠FBD＝60°，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
又∵∠ADK＝180°﹣∠ADC﹣∠BDF
＝180°﹣60°﹣∠ADC
＝120°﹣∠ADC，
∠CAF＝180°﹣∠AFC﹣∠ACD
＝180°﹣60°﹣∠ACD
＝120°﹣∠ACD，
∴∠ADK＝∠CAF
∴∠K＝∠CAF，
∴△AKB≌△CAF（AAS），
∴AB＝CF，
∵E是AD的中点，
∴AE＝ED，
∴△AEH≌△DEB（AAS），
∴AH＝BD＝BF，EH＝EB，
∵GA∥BD，
∴∠HAB＝180°﹣∠FBD＝180°﹣60°＝120°，
∵∠BFC＝180°﹣∠AFG＝120°，
∴∠BFC＝∠HAB，
∴△HAB≌△BFC（SAS），
∴BH＝BC，
∠ABH＝∠BCF，
∵∠BCF+∠CBF＝∠AFC＝60°，
∴∠ABH+∠CBF＝60°，
即：∠HBC＝60°，
∴△CHB是等边三角形，
∴BH＝BC，
∴EH+BE＝BC，
∴2BE＝BC，
∴BE＝BC；
（3）如图3，
取AB的中点O，连接OE，
∵E是AD的中点，
∴OE＝，
∴E点在以O为圆心，半径是1的⊙O上运动，
在OA上截取OI＝，
∴＝＝，
∵∠IOE＝∠AOE，
∴△IOE∽△EOA，
∴＝＝，
∴IE＝AE，
∵CE﹣IE≤IC，
∴当C、I、E在一条直线上时，
（CE﹣IE）最大，
∵2CE﹣AE＝2（CE﹣AE），
∴（2CE﹣AE）最大＝2CI，
如图4，
连接CO，作EM⊥AB于M，
∴EM∥OC，
∴＝＝＝4，
设MI＝x，EM＝4x，
在Rt△EOM中，
OM2+EM2＝OE2，
∴（x+）2+（4x）2＝1，
∴x1＝，x2＝（舍去），
∴EM＝4x＝
∴S△ACE＝
＝××（2+）
＝．
2021-2022学年重庆市沙坪坝区九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．下列四个实数中最小的是（ ）
A．﹣ B．﹣2 C．0 D．
2．下列几何体中主视图为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
3．将二次函数y＝x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的图象解析式为（ ）
A．y＝（x﹣1）2+3 B．y＝（x+1）2+3 C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x+1）2﹣3
4．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△OAB放大得到△OCD，若A点坐标为（1，2），C点坐标为，则线段CD长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
5．的值在（ ）
A．﹣1和0之间 B．0和1之间 C．1和2之在 D．2和3之间
6．下列命题正确的是（ ）
A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
B．对角线相等的平行四边形是正方形
C．对角线互相平分的矩形是正方形
D．对角线相等的菱形是正方形
7．某渔具店销售一种鱼饵，每包成本价为10元，经市场调研发现：售价为20元时，每天可销售40包，售价每上涨1元，销量将减少3包．如果想获利408元，设这种鱼饵的售价上涨x元，根据题意可列方程为（ ）
A．（20+x）（40﹣3x）＝408
B．（x﹣10）[40﹣3（x﹣20）]＝408
C．（20+x﹣10）（40﹣3x）＝408
D．（20+x）（40﹣3x）﹣10×40＝408
8．下列图形都是由形状大小相同的黑白两色三角形按照一定规律拼成的，第①个图形中一共有2个黑色三角形，第②个图形中一共有2个黑色三角形，第③个图形中一共有4个黑色三角形，第④个图形中一共有4个黑色三角形，……，按此规律排列下去，则第⑨个图形中黑色三角形有（ ）个．
A．6 B．8 C．10 D．12
9．小明家、公园、图书馆依次在一条直线上，周末，小明和妈妈准备去公园放风筝，但是因为小明要先去图书馆还书，所以他们同时从家出发，并约定2小时后在公园碰头．小明先骑自行车匀速前往图书馆，到达图书馆还书后按原路原速返回公园并按照约定时间准时到达公园，妈妈则匀速步行前往公园，结果迟到半小时．如图是他们离家的距离y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象，下列说法中错误的是（ ）
A．小明骑车的速度是20km/h
B．小明还书用了18min
C．妈妈步行的速度为2.4km/h
D．公园距离小明家8km
10．如图，小敏在参观大风车时，想测一下风叶AB的长度．她首先通过C处的铭牌简介得知每个风车杆子BC的高度为98米，然后沿水平方向走到D处，再沿着斜坡DE走了35米到达E处，她站在E处当风叶AB转到铅垂方向时测得点A的仰角为68°；当风叶AB转到水平方向A′B时测得点A′的仰角为45°，若斜坡DE的坡度i＝1：0.75，则风叶AB的长度约为（ ）米．
（参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50）
A．25 B．30 C．32 D．35
11．若关于x的分式方程的解是非负数，关于y的不等式组有且仅有2个奇数解，则所有满足条件的整数m的值之和为（ ）
A．3 B．4 C．11 D．12
二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）将每小题的答案直接填在答题卡对应的横线上.
13．计算：＝ ．
14．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则cosB的值为 ．
15．在桌面上放有四张背面完全一样的卡片，卡片的正面分别标有数字4、﹣2、1、3，把四张卡片背面朝上，随机抽取两张，则两张卡片上的数字之和为正数的概率是 ．
16．如图，已知二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝x+m的图象相交于点A（﹣4，﹣3），B（2，3）则关于x的方程ax2+bx+c＝kx+m的解是 ．
17．如图，在△ABC中，D为AB中点，连接CD，将△BCD沿直线CD翻折至△ABC所在平面内得△B′CD，连接BB′，与CD交于点E．若AB′＝BB′＝4，∠ABC＝60°，则点C到BD的距离为 ．
18．新新面粉厂现有小麦若干千克和面粉500千克准备一边继续将小麦生产成面粉，一边将生产好的面粉加工成面条，现将全部10名工人，分为A、B两组，A组负责将小麦加工成面粉，B组负资将面粉加工成面条．已知每位工人每天可将100千克小麦生产成75千克面粉或将25千克面粉加工成50千克面条．生产m天后，面粉质量与面条质量之比为13：2，又生产了若干天后，小麦全部用完，此时面粉质量与面条质量之比为6：1，若继续将所有面粉都加工成面条再出售，且每千克面条售出后可获利3元，则所有面条售出后，新新面粉厂共可获利 元．
三、解答题（本大题7小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．计算：
（1）（2x+y）2﹣2x（x+2y）；
（2）．
20．如图，四边形ABCD是矩形．
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BE＝CE＝2，求AD的长．
21．抗美援朝战争是新中国的立国之战，中国人民志愿军打破了美军不可战胜的神话．电影《长津湖》将这一段波澜壮阔的历史重新带进了人们的视野，并一举拿下了国庆档的票房冠军，激发了大家的爱国热情．因此，某校开展了抗美援朝专题知识竞赛，所有同学得分都不低于80分，现从该校八、九年级中各抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x（分）表示，共分成四个等级，A：80≤x＜85；B：85≤x＜90；C：90≤x＜95；D：95≤x＜100），下面给出了部分信息：
八年级抽取的学生C等级的成绩为：92，92，93，94
九年级抽取的学生D等级的成绩为：95，95，95，97，100
八，九年级抽取的学生竞赛成绩统计表：
年级
平均分
中位数
众数
方差
八年级
92
a
92
23.4
九年级
92
94
b
29.8
请根据相关信息，回答以下问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，并补全九年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图；
（2）根据以上数据，请判断哪个年级的同学竞赛成绩更好，并说明理由（一条即可）；
（3）规定成绩在95分以上（含95分）的同学被评为优秀，已知该校八年级共有1200人参加知识竞赛，请计算该校八年级约有多少名同学被评为优秀？
22．初中阶段研究新函数的性质往往需要首先确定函数的解析式，再经历列表、描点连线画出函数图象、观察分析函数图象特征等过程．如表是函数y＝的部分信息：
x
……
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
……
y
……
m
﹣3
﹣4
﹣5
0
n
4
3
……
请结合已有的学习经验，探究上述函数的图象与性质，并解决问题：
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）在平面直角坐标系中，结合已有学习经验，用你喜欢的方法补全函数图象，观察函数图象，并请写出该函数的一条性质： ；
（3）已知函数y2＝的图象如图所示，根据函数图象，直接写出不等式y1＜y2的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
23．每年秋天，某地都会举办“猕猴桃节”，去年，果农小张共售出绿心猕猴桃和红心猕猴桃3000千克，绿心猕猴桃售价是20元/千克，红心猕猴桃售价是30元/千克，全部售出后总销售额为80000元．
（1）去年，果农小张共售出红心猕猴桃多少千克？
（2）今年，绿心猕猴桃的单价比去年下降了a%，红心猕猴桃的单价比去年上涨了2a%，结果果农小张售出的绿心猕猴桃数量是去年的2倍，红心猕猴桃数量比去年减少了a%，总销售额比去年增加了25%，求a的值．
24．对于任意一个自然数N，将其各个数位上的数字相加得到一个数，我们把这一过程称为一次操作，把这个得到的数进行同样的操作，不断进行下去，最终会得到一个一位数K，我们把N称作“K的友谊数”．例如：346→3+4+6＝13→1+3＝4，所以346是“4的友谊数”．
（1）请分别判断1357和859是否是“4的友谊数”，并说明理由；
（2）若一个三位自然数M＝100a+10b+8（1≤a≤9，1≤b≤9，a，b均为整数）是“4的友谊数”，且满足a﹣b+3能被7整除，请求出所有符合条件的三位自然数M．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，点P为直线BC上方抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A作AD∥BC交抛物线于D，点E为直线AD上一动点，连接CP，CE，BP，BE，求四边形BPCE面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）将抛物线沿射线CB方向平移个单位，M为平移后的抛物线的对称轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
26．如图，△ABC和△ABD分别位于AB两侧，E为AD中点，连接BE，CE．
（1）如图1，若∠BAC＝∠ABD＝90°，AB＝AC＝BD＝2，求CE的长；
（2）如图2，连接CD交AB于点F，过A作AG∥BD交CD于G，若AC＝AD，BD＝BF，∠GAF＝60°，猜想BC与BE之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，若AB＝4，BD＝2，请直接写出当2CE﹣AE取最大值时△ACE的面积．
参考答案
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．下列四个实数中最小的是（ ）
A．﹣ B．﹣2 C．0 D．
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
解：根据实数比较大小的方法，可得﹣＜﹣2＜0＜，
四个实数中最小的是﹣，
故选：A．
2．下列几何体中主视图为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据主视图是从物体正面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的主视图，即可解答．
解：A、圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意；
B、圆柱的主视图是矩形，符合题意；
C、三棱锥的主视图是三角形，不合题意；
D、球的主视图是圆，不符合题意．
故选：B．
3．将二次函数y＝x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的图象解析式为（ ）
A．y＝（x﹣1）2+3 B．y＝（x+1）2+3 C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x+1）2﹣3
【分析】由二次函数y＝x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度，根据平移的性质，即可求得所得图象的函数解析式．注意二次函数平移的规律为：左加右减，上加下减．
解：∵二次函数y＝x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度，
∴所得图象的函数解析式是：y＝（x﹣1）2+3．
故选：A．
4．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△OAB放大得到△OCD，若A点坐标为（1，2），C点坐标为，则线段CD长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【分析】根据位似变换的性质得到△OCD∽△OAB，且相似比为2：1，根据根据相似比等于位似比计算即可．
解：∵以原点O为位似中心，将△OAB放大得到△OCD，A的坐标为（1，2），点C的坐标为（2，4），
∴△OCD∽△OAB，且相似比为2：1，
∴＝，
∵AB＝，
∴CD＝2，
故选：D．
5．的值在（ ）
A．﹣1和0之间 B．0和1之间 C．1和2之在 D．2和3之间
【分析】先去括号，再估算出的大小，进而可得出结论．
解：
＝﹣2
＝﹣2，
∵9＜12＜16，
∴3＜＜4，
∴1＜﹣2＜2．
故选：C．
6．下列命题正确的是（ ）
A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
B．对角线相等的平行四边形是正方形
C．对角线互相平分的矩形是正方形
D．对角线相等的菱形是正方形
【分析】利用正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；
C、对角线互相垂直的矩形是正方形，故原命题错误，不符合题意；
D、对角线相等的菱形是正方形，正确，符合题意，
故选：D．
7．某渔具店销售一种鱼饵，每包成本价为10元，经市场调研发现：售价为20元时，每天可销售40包，售价每上涨1元，销量将减少3包．如果想获利408元，设这种鱼饵的售价上涨x元，根据题意可列方程为（ ）
A．（20+x）（40﹣3x）＝408
B．（x﹣10）[40﹣3（x﹣20）]＝408
C．（20+x﹣10）（40﹣3x）＝408
D．（20+x）（40﹣3x）﹣10×40＝408
【分析】设这种鱼饵的售价上涨x元，则每包的销售利润为（20+x﹣10）元，每天可销售（40﹣3x）包，利用每天的销售利润＝每包的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：设这种鱼饵的售价上涨x元，则每包的销售利润为（20+x﹣10）元，每天可销售（40﹣3x）包，
依题意得：（20+x﹣10）（40﹣3x）＝408．
故选：C．
8．下列图形都是由形状大小相同的黑白两色三角形按照一定规律拼成的，第①个图形中一共有2个黑色三角形，第②个图形中一共有2个黑色三角形，第③个图形中一共有4个黑色三角形，第④个图形中一共有4个黑色三角形，……，按此规律排列下去，则第⑨个图形中黑色三角形有（ ）个．
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】由所给的图形进行分析，可得当第奇数个图形时，其黑色三角形的个数为：n+1，当第偶数个图形时，其黑色三角形的个数为：n，据此求解即可．
解：∵第①个图形中黑色三角形的个数为：2，
第②个图形中黑色三角形的个数为：2，
第③个图形中黑色三角形的个数为：4，
第④个图形中黑色三角形的个数为：4，
…，
∴当第奇数个图形时，其黑色三角形的个数为：n+1，
当第偶数个图形时，其黑色三角形的个数为：n，
∴第⑨个图形中黑色三角形的个数为：9+1＝10．
故选：C．
9．小明家、公园、图书馆依次在一条直线上，周末，小明和妈妈准备去公园放风筝，但是因为小明要先去图书馆还书，所以他们同时从家出发，并约定2小时后在公园碰头．小明先骑自行车匀速前往图书馆，到达图书馆还书后按原路原速返回公园并按照约定时间准时到达公园，妈妈则匀速步行前往公园，结果迟到半小时．如图是他们离家的距离y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象，下列说法中错误的是（ ）
A．小明骑车的速度是20km/h
B．小明还书用了18min
C．妈妈步行的速度为2.4km/h
D．公园距离小明家8km
【分析】根据小明1小时到达图书馆，图书馆距离家20千米，求出小明骑车的速度判断A选项；根据小明还书用了0.3小时判断B选项；设妈妈的速度为a千米/小时，根据小明走的路程+妈妈走的路程＝20×2列出方程求出方程的解来判断C选项；根据妈妈的速度×妈妈所用的时间求公园距离小明家的距离来判断D选项．
解：观察图象可知，小明1小时到达图书馆，图书馆距离家20千米，小明骑车的速度是20千米/小时，故A选项不符合题意；
1.3﹣1＝0.3（小时）＝18（分），故B选项不符合题意；
设妈妈的速度为a千米/小时，根据小明走的路程+妈妈走的路程＝20×2得：2.5a+20×（2﹣1.7）＝20×2，解得a＝2.4，故C选项不符合题意；
2.4×2.5＝6（千米），故D选项符合题意；
故选：D．
10．如图，小敏在参观大风车时，想测一下风叶AB的长度．她首先通过C处的铭牌简介得知每个风车杆子BC的高度为98米，然后沿水平方向走到D处，再沿着斜坡DE走了35米到达E处，她站在E处当风叶AB转到铅垂方向时测得点A的仰角为68°；当风叶AB转到水平方向A′B时测得点A′的仰角为45°，若斜坡DE的坡度i＝1：0.75，则风叶AB的长度约为（ ）米．
（参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50）
A．25 B．30 C．32 D．35
【分析】过E作EF⊥CD于F，作EG⊥AC于G，A′H⊥EG于H．分别在Rt△DEF和Rt△ABD中，通过解直角三角形求出EF的长，可得BG的长，在Rt△A′EH中，∠A′EH＝45°，则EH＝A′H，设AB＝A′B＝x米，则EG＝（70﹣x）米，AG＝（70+x）米，在Rt△AEG中，解直角三角形得到关于x的方程，解方程即可求得．
解：过E作EF⊥CD于F，作EG⊥AC于G，A′H⊥EG于H．
∵斜坡DE的坡度i＝1：0.75，DE＝35米，
∴EF＝28米，CF＝21米，
∵BC＝98米，
∴A′H＝BG＝98﹣28＝70米，
∵∠A′EB＝45°，
∴EH＝A′H＝70米，
设AB＝A′B＝x米，
∴EG＝（70﹣x）米，AG＝（70+x）米，
在Rt△AEG中，tan∠AEG＝，
∴tan68°＝≈2.5，
解得x＝30（米），
∴AB的长度约为30米，
故选：B．
11．若关于x的分式方程的解是非负数，关于y的不等式组有且仅有2个奇数解，则所有满足条件的整数m的值之和为（ ）
A．3 B．4 C．11 D．12
【分析】先解分式方程，再解一元一次不等式组，从而确定m的值，进而解决此题．
解：∵，
∴3（x﹣1）+1＝m．
∴3x﹣3+1＝m．
∴x＝．
∵关于x的分式方程的解是非负数，
∴x＝≥0且≠1．
∴m≥﹣2且m≠1．
∵，
∴3y﹣6≤y+2．
∴2y≤8．
∴y≤4．
∵4y+1﹣m≥0，
∴y≥．
∵关于y的不等式组有且仅有2个奇数解，
∴﹣1＜≤1．
∴﹣3＜m≤5．
又∵m≥﹣2且m≠1，m为整数，
∴m＝﹣2或﹣1或0或2或3或4或5．
∴所有满足条件的整数m的值之和为﹣2+（﹣1）+0+2+3+4+5＝11．
故选：C．
二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）将每小题的答案直接填在答题卡对应的横线上.
13．计算：＝ 3 ．
【分析】代入特殊角三角函数值，化简零次幂，然后再计算．
解：原式＝2×1+1
＝2+1
＝3，
故答案为：3．
14．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则cosB的值为 ．
【分析】根据勾股定理可以求出AB＝13，根据三角函数的定义即可求得cosB的值．
解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴根据勾股定理AB＝＝13，
∴cosB＝，
故答案为：．
15．在桌面上放有四张背面完全一样的卡片，卡片的正面分别标有数字4、﹣2、1、3，把四张卡片背面朝上，随机抽取两张，则两张卡片上的数字之和为正数的概率是 ．
【分析】画树状图得出共有12种等可能的结果数，其中两张卡片上的数字之和为正数的结果有10种，再由概率公式求解即可．
解：根据题意画图如下：
共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字之和为正数的结果有10种，
则两张卡片上的数字之和为正数的概率是＝．
故答案为：..
16．如图，已知二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝x+m的图象相交于点A（﹣4，﹣3），B（2，3）则关于x的方程ax2+bx+c＝kx+m的解是 x1＝﹣4，x2＝2 ．
【分析】方程的解就是两个函数交点的横坐标，据此即可求解．
解：∵方程ax2+bx+c＝kx+m的解就是二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝x+m两个函数交点的横坐标，
∴ax2+bx+c＝kx+m的解是x1＝﹣4，x2＝2；
故答案是：x1＝﹣4，x2＝2．
17．如图，在△ABC中，D为AB中点，连接CD，将△BCD沿直线CD翻折至△ABC所在平面内得△B′CD，连接BB′，与CD交于点E．若AB′＝BB′＝4，∠ABC＝60°，则点C到BD的距离为 3﹣ ．
【分析】由折叠的性质可得BD＝DB'＝AD，BE＝B'E，BB'⊥CD，可得∠AB'B＝90°，由等腰直角三角形的性质可求BD的长，由直角三角形性质可求DH＝CH，BH＝CH，即可求解．
解：∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵将△BCD沿直线CD翻折至△ABC所在平面内得△B′CD，
∴BD＝DB'＝AD，BE＝B'E，BB'⊥CD，
∴∠AB'B＝90°，
∵AB′＝BB′＝4，
∴∠ABB'＝45°，BE＝2，
∴∠EDB＝∠DBE＝45°，
∴DE＝BE＝2，
∴BD＝2，
如图，过点C作CH⊥BD于H，
∴∠CDH＝∠DCH＝45°，
∴CH＝DH，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BCH＝30°，
∴BH＝CH，
∵BD＝BH+DH＝CH+CH＝2，
∴CH＝3﹣，
∴点C到BD的距离为3﹣，
故答案为3﹣．
18．新新面粉厂现有小麦若干千克和面粉500千克准备一边继续将小麦生产成面粉，一边将生产好的面粉加工成面条，现将全部10名工人，分为A、B两组，A组负责将小麦加工成面粉，B组负资将面粉加工成面条．已知每位工人每天可将100千克小麦生产成75千克面粉或将25千克面粉加工成50千克面条．生产m天后，面粉质量与面条质量之比为13：2，又生产了若干天后，小麦全部用完，此时面粉质量与面条质量之比为6：1，若继续将所有面粉都加工成面条再出售，且每千克面条售出后可获利3元，则所有面条售出后，新新面粉厂共可获利 3000 元．
【分析】设有x名工人分在A组，则有（10﹣x）名工人分在B组，根据题意列出方程求出m及x的值，设又生产了t天后，小麦全部用完，根据此时面粉质量与面条质量之比为6：1，列出关于t的方程，解方程求出t的值，进而得出最后生产的面条质量，即可求出答案．
解：设有x名工人分在A组，则有（10﹣x）名工人分在B组，
生产m天后，
面粉质量为：500+75mx﹣25m（10﹣x）（kg），
面条质量为：50m（10﹣x）（kg），
∵生产m天后，面粉质量与面条质量之比为13：2，
∴，
∴x＝，
∵m、x为正整数，且x＜10，
∴7m﹣1为17的倍数，
∴m＝5，
∴x＝＝＝8，
∴生产m天后，
面粉质量为：500+75mx﹣25m（10﹣x）
＝500+75×5×8﹣25×5×（10﹣8）
＝3250（kg），
面条质量为：50m（10﹣x）
＝50×5×（10﹣8）
＝500（kg），
设又生产了t天后，小麦全部用完，此时面粉质量与面条质量之比为6：1，
∴面粉质量为：3250+75×8t﹣25t×（10﹣8）
＝3250+600t﹣50t
＝（3250+550t）（kg），
面条质量为：500+50t×（10﹣8）
＝（500+100t）（kg），
∴，
解得：t＝5，
∴最后生产面条质量为：500+100×5＝1000（kg），
故所有面条售出后可获利：1000×3＝3000（元），
故答案为：3000．
三、解答题（本大题7小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．计算：
（1）（2x+y）2﹣2x（x+2y）；
（2）．
【分析】（1）先根据完全平方公式和单项式乘多项式进行计算，再合并同类项即可；
（2）先根据分式的加法法则进行计算，再根据分式的除法进行计算即可．
解：（1）原式＝4x2+4xy+y2﹣2x2﹣4xy
＝2x2+y2；
（2）原式＝•
＝•
＝•
＝m（m﹣1）
＝m2﹣m．
20．如图，四边形ABCD是矩形．
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BE＝CE＝2，求AD的长．
【分析】（1）利用基本作图，作∠ABC的平分线；
（2）先根据平行四边形的性质得到BC＝AD，∠ABC＝90°，根据BE平分∠ABC，可得∠ABE＝∠EBC＝∠ABC＝45°，然后证明△BEC是等腰直角三角形，再根据勾股定理可得BC的长，从而得到AD．
解：（1）如图，BE为所作；
（2）∵四边形ABCD为矩形，
∵BC＝AD，∠ABC＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC＝∠ABC＝45°，
∵BE＝CE＝2，
∴∠ECB＝∠EBC＝45°，
∴∠BEC＝90°，
∴BC2＝2BE2＝8，
∴BC＝2，
∴AD＝2．
21．抗美援朝战争是新中国的立国之战，中国人民志愿军打破了美军不可战胜的神话．电影《长津湖》将这一段波澜壮阔的历史重新带进了人们的视野，并一举拿下了国庆档的票房冠军，激发了大家的爱国热情．因此，某校开展了抗美援朝专题知识竞赛，所有同学得分都不低于80分，现从该校八、九年级中各抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x（分）表示，共分成四个等级，A：80≤x＜85；B：85≤x＜90；C：90≤x＜95；D：95≤x＜100），下面给出了部分信息：
八年级抽取的学生C等级的成绩为：92，92，93，94
九年级抽取的学生D等级的成绩为：95，95，95，97，100
八，九年级抽取的学生竞赛成绩统计表：
年级
平均分
中位数
众数
方差
八年级
92
a
92
23.4
九年级
92
94
b
29.8
请根据相关信息，回答以下问题：
（1）填空：a＝ 92 ，b＝ 95 ，并补全九年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图；
（2）根据以上数据，请判断哪个年级的同学竞赛成绩更好，并说明理由（一条即可）；
（3）规定成绩在95分以上（含95分）的同学被评为优秀，已知该校八年级共有1200人参加知识竞赛，请计算该校八年级约有多少名同学被评为优秀？
【分析】（1）根据中位数、众数的意义求解即可，求出“A组”的频数才能补全频数分布直方图；
（2）从中位数、众数、方差的角度比较得出结论；
（3）用样本估算总体即可．
解：（1）由题意可知，八年级10名同学成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是92，因此中位数是92，即a＝92；
九年级10名学生成绩出现次数最多的是95，共出现3次，因此众数是95，即b＝95，
九年级10名学生成绩处在“A组”的有10﹣1﹣2﹣5＝2（人），补全频数分布直方图如下：
故答案为：92；95；
（2）九年级成绩较好，理由：九年级学生成绩的中位数、众数都比八年级的高；
（3）1200×30%＝360（名），
故该校八年级约有360名同学被评为优秀．
22．初中阶段研究新函数的性质往往需要首先确定函数的解析式，再经历列表、描点连线画出函数图象、观察分析函数图象特征等过程．如表是函数y＝的部分信息：
x
……
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
……
y
……
m
﹣3
﹣4
﹣5
0
n
4
3
……
请结合已有的学习经验，探究上述函数的图象与性质，并解决问题：
（1）m＝ ﹣ ，n＝ 5 ；
（2）在平面直角坐标系中，结合已有学习经验，用你喜欢的方法补全函数图象，观察函数图象，并请写出该函数的一条性质： 图象关于原点对称，答案不唯一 ；
（3）已知函数y2＝的图象如图所示，根据函数图象，直接写出不等式y1＜y2的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
【分析】（1）将x＝﹣3，0分别代入解析式即可得m、n的值；
（2）画出函数的图象，观察图象即可得到；
（3）根据图象求得即可．
解：（1）x＝﹣4、1分别代入y＝得m＝＝﹣，n＝＝5，
故答案为：﹣，5；
（2）画出函数的图象如图：
观察图象可知，函数的图象关于原点对称；
故答案为：函数的图象关于原点对称，答案不唯一．
（3）不等式y1＜y2的解集为﹣3＜x＜0.4或x＞2．
23．每年秋天，某地都会举办“猕猴桃节”，去年，果农小张共售出绿心猕猴桃和红心猕猴桃3000千克，绿心猕猴桃售价是20元/千克，红心猕猴桃售价是30元/千克，全部售出后总销售额为80000元．
（1）去年，果农小张共售出红心猕猴桃多少千克？
（2）今年，绿心猕猴桃的单价比去年下降了a%，红心猕猴桃的单价比去年上涨了2a%，结果果农小张售出的绿心猕猴桃数量是去年的2倍，红心猕猴桃数量比去年减少了a%，总销售额比去年增加了25%，求a的值．
【分析】（1）设去年果农小张共售出红心猕猴桃x千克，根据“红心猕猴桃销售总额+绿心猕猴桃销售总额＝80000”列出方程，解方程即可得出答案；
（2）先表示出两种猕猴桃的单价和数量，再根据“红心猕猴桃销售总额+绿心猕猴桃销售总额＝80000（1+25%）”列出方程，解方程即可得出a的值．
解：（1）设去年果农小张共售出红心猕猴桃x千克，由题意得：
20（3000﹣x）+30x＝80000，
解得：x＝2000，
答：设去年果农小张共售出红心猕猴桃2000千克；
（2）今年绿心猕猴桃的单价：20（1﹣a%），
今年红心猕猴桃的单价：30（1+2a%），
今年绿心猕猴桃的销量：（3000﹣2000）×2＝2000（kg），
今年红心猕猴桃的销量：2000（1﹣a%），
∴20（1﹣a%）×2000+30（1+2a%）×2000（1﹣a%）＝80000（1+25%），
解得：a1＝0（舍去），a2＝20，
答：a的值为20．
24．对于任意一个自然数N，将其各个数位上的数字相加得到一个数，我们把这一过程称为一次操作，把这个得到的数进行同样的操作，不断进行下去，最终会得到一个一位数K，我们把N称作“K的友谊数”．例如：346→3+4+6＝13→1+3＝4，所以346是“4的友谊数”．
（1）请分别判断1357和859是否是“4的友谊数”，并说明理由；
（2）若一个三位自然数M＝100a+10b+8（1≤a≤9，1≤b≤9，a，b均为整数）是“4的友谊数”，且满足a﹣b+3能被7整除，请求出所有符合条件的三位自然数M．
【分析】（1）根据“友谊数”的定义即可判断；
（2）先由M是“4的友谊数”得出a和b的关系式，再由a﹣b+3能被7整除得出a和b所有可能的结果，即可得出答案．
【解答】（1）∵1+3+5+7＝16，1+6＝7，
∴1357不是4的“友谊数”，
∵8+5+9＝22，2+2＝4，
∴859是4的“友谊数”；
（2）∵M＝100a+10b+8是“4的友谊数”，
又∵1≤a≤9，1≤b≤9，
∴10≤a+b+8≤26，
在10到26之间是“4的友谊数”的有13，22，
∴a+b+8＝13或22，
①若a+b+8＝13，则a＝5﹣b，
∴a﹣b+3＝5﹣b﹣b+3＝8﹣2b，
∵1≤b≤9，
∴﹣10≤8﹣2b≤6，
在﹣10到6之间能被7整除的有﹣7，0，
∴8﹣2b＝﹣7或0，
∴b＝7.5（舍）或b＝4，
∴a＝5﹣4＝1，
∴M＝148，
②若a+b+8＝22，则a＝14﹣b，
∴a﹣b+3＝14﹣b﹣b+3＝17﹣2b，
∵1≤b≤9，
∴﹣1≤17﹣2b≤15，
在﹣1到15之间能被7整除的有0，7，14，
∴17﹣2b＝0或7或14，
∴b＝8.5（舍）或b＝5或b＝1.5（舍），
∴a＝14﹣5＝9，
∴M＝958，
综上M的值为148或958．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，点P为直线BC上方抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A作AD∥BC交抛物线于D，点E为直线AD上一动点，连接CP，CE，BP，BE，求四边形BPCE面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）将抛物线沿射线CB方向平移个单位，M为平移后的抛物线的对称轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1把A（﹣2，0），B（6，0）两点坐标代入抛物线的解析式即可．
（2）由抛物线的解析式可得，C（0，3），由点B，点C的坐标可求得直线BC的解析式；如过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，设点P的坐标为（m，﹣m2+m+3），则Q（m，﹣m+3），其中0＜m＜6．PQ＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+m，根据S四边形BPCE＝S△BCE+S△BCP可表达出四边形BPCE的面积的面积，再结合二次函数的性质可求出当m＝3时，四边形BPCE的面积最大为，此时P（3，）．
（3）抛物线沿射线CB方向平移个单位，等同于将该抛物线向右平移1个单位，向下移动个单位．则新抛物线的对称轴为：直线x＝3，设点M的坐标为（3，n），点N的坐标为（s，t），当BC为菱形的边时，①以点B为圆心，BC长为半径作圆，交直线x＝3于点M1，M2，此时BM1＝BM2＝BC＝3，可得，M1F＝M2F＝6，利用点的平移可得到点N1（﹣3，﹣3），N2（﹣3，9）；②以点C为圆心，BC长为半径作圆，交直线x＝3于点M3，M4，过点C作CG⊥y轴，交直线x＝3于点G，如图所示，此时CM3＝CM4＝BC＝3，GM3＝GM4＝＝6，由点的平移可知，N3（，﹣6），N4（9，6）；当BC为菱形的对角线时，MN为另一对角线，BC垂直平分MN，此时BC的中点为（3，），则点M与BC的中点重合，此时不存在点N，不能构成菱形．
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，
∴，解得．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+3．
（2）由抛物线的解析式可得，C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，代入点B，点C的坐标，得
，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．
如图，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，
设点P的坐标为（m，﹣m2+m+3），则Q（m，﹣m+3），其中0＜m＜6．
∴PQ＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+m，
∴S四边形BPCE＝S△BCE+S△BCP
＝S△BCA+S△BCP
＝×8×3+×（6﹣0）×（﹣m2+m）
＝﹣（m﹣3）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝3时，四边形BPCE的面积最大为，此时P（3，）．
（3）存在点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为菱形，理由如下：
∵（）2+12＝（）2，
∴抛物线沿射线CB方向平移个单位，等同于将该抛物线向右平移1个单位，向下移动个单位．
∵原抛物线的顶点坐标为（2，4），
∴新抛物线的顶点坐标为（3，），
∴新抛物线的对称轴为：直线x＝3，设对称轴与x轴交于点F；
设点M的坐标为（3，n），点N的坐标为（s，t），
当BC为菱形的边时，
①以点B为圆心，BC长为半径作圆，交直线x＝3于点M1，M2，如图所示，
此时BM1＝BM2＝BC＝3，
可得，M1F＝M2F＝6，
∴M1（3，﹣6），M2（3，6），
∵C（0，3），B（6，0），
∴点B向上平移3个单位长度，向左平移6个单位长度可得到点C，
∴点M1（3，﹣6）向上平移3个单位长度，向左平移6个单位长度可得到点N1（﹣3，﹣3），
同理可得，N2（﹣3，9）；
②以点C为圆心，BC长为半径作圆，交直线x＝3于点M3，M4，过点C作CG⊥y轴，交直线x＝3于点G，如图所示，
此时CM3＝CM4＝BC＝3，
∴GM3＝GM4＝＝6，
∴M3F＝3，M4F＝9，
∴M3（3，﹣3），M4（3，9），
由点的平移可知，N3（9，﹣6），N4（9，6）；
当BC为菱形的对角线时，MN为另一对角线，BC垂直平分MN，此时BC的中点为（3，），
则点M与BC的中点重合，此时不存在点N，不能构成菱形．
综上，点N的坐标为N1（﹣3，﹣3），N2（﹣3，9），N3（9，﹣6），N4（9，6）．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
26．如图，△ABC和△ABD分别位于AB两侧，E为AD中点，连接BE，CE．
（1）如图1，若∠BAC＝∠ABD＝90°，AB＝AC＝BD＝2，求CE的长；
（2）如图2，连接CD交AB于点F，过A作AG∥BD交CD于G，若AC＝AD，BD＝BF，∠GAF＝60°，猜想BC与BE之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，若AB＝4，BD＝2，请直接写出当2CE﹣AE取最大值时△ACE的面积．
【分析】（1）可得BC＝AD＝2，BE＝AD＝，△ABC是直角三角形，进而求得；
（2）以A为圆心，AD长为半径，交BD的延长线于K，连接AK，延长GA交BE的延长线于H，连接CH，证明△AHE≌△DBE，△AKB≌△CAF，△ABH≌△FBC，得出△BCH是等边三角形，从而得出BE＝BC；
（3）取AB的中点O，连接OE，可推出点E在以O为圆心，半径是1的圆上运动，在OA上截取OI＝，构造△IOE∽△EOA，从而得出IE＝AE，确定当C、I、E在同一直线上时，2CE＝AE最小，进而解斜△IOE，从而进一步求出结果．
解：（1）如图1，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴BC＝AB＝2，
同理可得：AD＝2，
∵∠ABD＝90°，E是AD的中点，
∴BE＝AD＝，
∠ABE＝∠ABD＝45°，
∴∠CBE＝∠ABC+∠ABE＝90°，
∴CE＝
＝
＝；
（2）如图2，
BE＝BC，证明如下：
以A为圆心，AD长为半径，交BD的延长线于K，连接AK，
延长GA交BE的延长线于H，连接CH，
∴AK＝AD，
∴∠K＝∠ADK，
∵AG∥BD，
∴∠DBF＝∠GAF＝60°，
∠AHE＝∠EBD，∠HAE＝∠BDE，
∵BD＝BF，
∴△BDF是等边三角形，
∴∠AFC＝∠DFB＝∠FBD＝60°，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
又∵∠ADK＝180°﹣∠ADC﹣∠BDF
＝180°﹣60°﹣∠ADC
＝120°﹣∠ADC，
∠CAF＝180°﹣∠AFC﹣∠ACD
＝180°﹣60°﹣∠ACD
＝120°﹣∠ACD，
∴∠ADK＝∠CAF
∴∠K＝∠CAF，
∴△AKB≌△CAF（AAS），
∴AB＝CF，
∵E是AD的中点，
∴AE＝ED，
∴△AEH≌△DEB（AAS），
∴AH＝BD＝BF，EH＝EB，
∵GA∥BD，
∴∠HAB＝180°﹣∠FBD＝180°﹣60°＝120°，
∵∠BFC＝180°﹣∠AFG＝120°，
∴∠BFC＝∠HAB，
∴△HAB≌△BFC（SAS），
∴BH＝BC，
∠ABH＝∠BCF，
∵∠BCF+∠CBF＝∠AFC＝60°，
∴∠ABH+∠CBF＝60°，
即：∠HBC＝60°，
∴△CHB是等边三角形，
∴BH＝BC，
∴EH+BE＝BC，
∴2BE＝BC，
∴BE＝BC；
（3）如图3，
取AB的中点O，连接OE，
∵E是AD的中点，
∴OE＝，
∴E点在以O为圆心，半径是1的⊙O上运动，
在OA上截取OI＝，
∴＝＝，
∵∠IOE＝∠AOE，
∴△IOE∽△EOA，
∴＝＝，
∴IE＝AE，
∵CE﹣IE≤IC，
∴当C、I、E在一条直线上时，
（CE﹣IE）最大，
∵2CE﹣AE＝2（CE﹣AE），
∴（2CE﹣AE）最大＝2CI，
如图4，
连接CO，作EM⊥AB于M，
∴EM∥OC，
∴＝＝＝4，
设MI＝x，EM＝4x，
在Rt△EOM中，
OM2+EM2＝OE2，
∴（x+）2+（4x）2＝1，
∴x1＝，x2＝（舍去），
∴EM＝4x＝
∴S△ACE＝
＝××（2+）
＝．
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