甘肃省兰州市2020届高三第一次模拟考试数学(理)试题

2020届高三第一次模拟考试数学(理)试题答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合，，则（  C ）

A．　　　 　B．          C．          D．

2. 已知复数（为虚数单位），则的虚部为（   C ）

A.         B.        C.         D.

3.设函数，则=（　A）

A．﹣1        B．1            C．﹣2           D．2

4.已知，则（ B  ）

A．    B．   C．   D．

5．下列四个命题中真命题的个数是（ D  ）

①“”是“”的充分不必要条件

②命题“，”的否定是“，”

③命题，，命题，，则为真命题

A．         B．         C．         D．

6. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（ C   ）

A.                 B.          C.          D.

7．已知，，，则，，的大小关系是(   A  )

A．       B．       C．       D．

8、函数的一个零点在区间(1,2)内，则实数的取值范围是(　C　)

A．(1,3)      B．(1,2)          C．(0,3)          D．(0,2)

9.已知点的坐标满足，点的坐标为，点为坐标原点，则的最小值是（  D ）

A．     B．          C．           D．

10．已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则等于（ C  ）

A．   B．    C．   D．

11.函数的图象大致是(　B　)

12．已知定义在上的函数满足：函数的图象关于直线对称，且

当(是函数的导函数)成立.若

,，则的大小关系是（  A  )

A．      B．         C．       D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若向量满足，且与的夹角为，则_________．  

141.．已知函数是奇函数，则实数a的值______1__.

15．已知三棱柱的侧棱垂直底面,所有顶点都在球面上, AC=1,,则球的表面积为 8ℼ    

16.下列结论中 ①函数有最大值   ②函数（）有最大值.  ③若，则正确的序号是_（1）（3）

三.解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分

17.已知顶点在单位圆上的中，角所对的边分别为且.  

（1）求角的大小；  

（2）若，求的面积.

（Ⅰ）由得，

   故    ----  3 分

   又∵    ∴  ----------  5分

（Ⅱ）由得  -------------- 8分

 由余弦定理得 

 即∴  10分

  ∴ --------------    12分

18.（本小题满分12分）

已知等差数列的前项和满足,.

(1)求的通项公式;    

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)设{a}的公差为d,则S=.

由已知可得 ————4分

  ————6分

 (2)由(I)知 ————8分

从而数列.12分

19.(本小题满分12分)  现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏． 

(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；

(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；

(3)用x，y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记 ＝，求随机变量的分布列与数学期望．

答案：这个人中恰有人去参加甲游戏的概率为；

设“这个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件，则＝，
∴   ＝

的所有可能取值为，，，由于与互斥，与互斥，故＝＝
＝＝，＝＝
∴   的分布列是
 

数学期望

20.（本小题满分12分） 

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，点E，F分别为AB和PD的中点．

（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；

（Ⅱ）求点F到平面PEC的距离．

【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．

【分析】（1）设PC的中点为Q，连接EQ，FQ，证明四边形AEQF为平行四边形，得到AF∥EQ，即可证明AF∥平面PEC．

（2）点F到平面PEC的距离等于点A到平面PEC的距离，设为d．通过VA﹣PEC=VP﹣AEC，求解即可．

【解答】（1）证明：设PC的中点为Q，连接EQ，FQ，

由题意，FQ∥DC且，AE∥CD且，

故AE∥FQ且AE=FQ，

所以，四边形AEQF为平行四边形

所以，AF∥EQ，且EQ⊂平面PEC，AF⊄平面AEC

所以，AF∥平面PEC

（2）解：由（1），点F到平面PEC的距离等于点A到平面PEC的距离，设为d．

由条件易求， , ,

所以有得

解得

21．（本小题满分12分）

已知函数为其导函数，且时有极小值.

(1)求的单调递减区间；

(2)若不等式为正整数)对任意正实数x恒成立，求k的最大值   

(解答过程可参考使用以下数据：ln7≈1.95，ln8≈2.08)

解：（1）由，因为函数在时有极小值.

所以，从而

所求的，所以

由解得

（2）因为，所以

等价于，即

令，

则

由，则

所以在上单调递减，在上单调递增

所以；

对任意的正实数恒成立

等价于，即

记，

则，所以在上单调递减，

又，

所以的最大值为6

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．

22.【选修4-4：坐标系与参数方程】(本小题满分10分)

在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：，过点的直线l的参数方程为： (t为参数)，直线l与曲线C分别交于M、N两点．
    (1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
    (2)若|PM |，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值

(1)解：由得：
∴曲线C的直角坐标方程为：(a > 0) 
由消去参数t得直线l的普通方程为 

(2)解：将直线l的参数方程代入中得：
 6分
设M、N两点对应的参数分别为t1、t2，则有 8分
∵，∴
即，解得．

23.(本小题满分10分)选修4—5；不等式选讲．

设函数．

(1)解不等式；

(2)对于实数，若，求证：．

解： （Ⅰ）令，则

作出函数的图象，

它与直线的交点为和．

所以的解集为．------------5分

（Ⅱ）因为

      所以  ．--------10分