宁夏银川市2021年普通高等学校招生全国统一考试（第一次模拟考试）数学(理)试卷

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2021年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题卷

( 第一次模拟考试 )

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，等于

A． B． C． D．

2．已知是纯虚数，若，则实数的值为

A．1    B．3     C．－1    D．－3

3．在数列中，则

A．15        B．17            C．21          D．26

4．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过7个步骤首次变成1（简称为7步“雹程”）.则下列叙述不正确的是

A．当时，经过9步雹程变成1

B．若需经过5步雹程首次变成1，则所有可能的取值集合为

C．当越大时，首次变成1需要的雹程数越大

D．当时，经过步雹程变成1

5．银川市为了迎接国家文明城市验收，要求某单位4名工作人员到路口执勤，协助交警劝导人们规范出行.现有含甲､乙在内的4名工作人员，按要求分配到2个不同的路口执勤，每个路口至少一人，则甲､乙不在同一路口的分配方案共有

A．4种 B．6种 C．8种 D．12种

6．定义行列式运算，将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于原点对称，则的最小值为

A．    B． C．   D．

7．某几何体的三视图如图所示(单位：)，

则该几何体的体积是

A．     B．   

C．      D.

8．若，则

A．        B．          C．或       D．或 

9．已知圆的一条切线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为

A．     B．     C．        D．

10．在发生某公共卫生事件期间，我国有关机构规定：该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续天每天新增加疑似病例不超过人”.根据过去天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是

A．甲地中位数为，众数为            

B．乙地平均数为，标准差小于3

C．丙地平均数为，总体方差为      

D．丁地平均数为，中位数为

11．已知抛物线,过其焦点的直线交抛物线于两点，且满足: （为坐标原点）则抛物线的标准方程为

A．          B．           C．        D．

12．下列四个命题：①；②；③； ④.其中真命题的个数是（   ）（为自然对数的底数，）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知向量若则________.

14．若实数满足约束条件，则的最小值为______.

15．已知定义域为的函数满足：①图象关于原点对称；②；

③当时，.若，则________． 

16．（本小题第一空2分，第二空3分）

底面为等边三角形的直三棱柱所有顶点都在半径为2的球上，则该三棱柱的侧面积最大值为___________；此时该三棱柱的高为　　　　　.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分)

17．(12分)

在△ABC中，角，，的对边分别是，，，已知．

（1）求；

（2）若边上的中线的长为，求△ABC面积的最大值．

18．(12分)

如图，三棱锥中，底面是边长为2的

正三角形，，底面，点分别为

、的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）在线段上是否存在点，使得直线与

平面所成的角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.

19．(12分)

2020年是具有里程碑意义的一年，我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标；2020年也是脱贫攻坚决战决胜之年.（总书记二〇二〇年新年贺词）截至2018年底，中国农村贫困人口从2012年的9899万人减少至1660万人，贫困发生率由2012年的10.2%下降至2018年的1.7%；连续7年每年减贫规模都在1000万人以上；确保到2020年农村

贫困人口实现脱贫，是我们党立下的军令

状，脱贫攻坚越到最后时刻，越要响鼓重

锤.某贫困地区截至2018年底，按照农村

家庭人均年纯收入8000元的小康标准，

该地区仅剩部分家庭尚未实现小康.现从

这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50

户，得到这50户家庭2018年的家庭人均

年纯收入的频率分布直方图.

（1）补全频率分布直方图，并求出这50户家庭人均年纯收入的中位数和平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）（精确到元）；

（2）2019年7月，为估计该地能否在2020年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭2019年1至6月的人均月纯收入如下表：

由散点图及相关性分析发现：家庭人均月纯收入与时间代码之间具有较强的线性相关关系，请求出回归直线方程；由于2020年1月突如其来的新冠肺炎疫情影响了奔小康的进展，该家庭2020年第一季度（1，2，3月份）每月的人均月纯收人均为预估值的，从4月份开始，每月的人均月纯收人均为预估值的，由此估计该家庭2020年能否达到小康标准，并说明理由；

①可能用到的数据：参考数据：

②参考公式：线性回归方程中，，.

20．(12分)

已知椭圆的左右焦点分别是,焦距为，点在椭圆上且满足,

（1）求椭圆的标准方程；

（2）不过原点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，记直线的斜率分别为.若成等比数列，求直线的斜率.

21．(12分)

已知函数，，．

（1）设，讨论极值点的个数；

（2）判断方程的实数根的个数，并证明：．

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]

直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线．

（1）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求，的极坐标方程；

（2）射线与异于极点的交点为，与的交点为，求．

23．[选修4-5：不等式选讲]

已知函数．

（1）若恒成立，求实数的最大值；

（2）记（1）中的最大值为，正实数，满足，证明：．

2021届高三第一次模拟数学(理科)参考答案

一、选择题

10. 对于A选项，反例：、、、、、、、、、，满足中位数为，众数为，与题意矛盾，A选项不合乎要求；

对于B选项，反例：、、、、、、、、、，满足均值为，标准差，与题意矛盾，B选项不合乎题意；

对于C选项，将个数由小到大依次记为、、、、、、、、、，

假设，若均值为，则方差为，矛盾，故，

对于D选项，反例：、、、、、、、、、，满足中位数为，均值为，与题意矛盾，D选项不合乎题意；

11. 

  故选D

12. 构造函数，易得在区间单调递增，在区间单调递减。

对于A选项：显然成立

于于B选项： 显然错误

对于C选项：显然错误

对于D选项：显然错误

故选A

二、填空题

13. 6      14. -4     15. 1    16.   

16. 【详解】如图所示，设正三棱柱上下底面的中心分别为.底面

边长与高分别为，则，在中，，

化为，，

当且仅当时取等号，此时正三棱柱的侧面积的最大值为.

故答案为：8，

三、解答题

17．

解：（1）因为，

所以由正弦定理可得，即．

再由余弦定理可得，即．

因为，所以．因为，所以．

（2）因为，所以，

即．

因为，所以，当且仅当时取等，

故，则的最大值为．

18．

（1）因为底面，底面，

所以，易知，，所以平面，..

因为平面，所以平面平面

（2）因为两两垂直，所以以为坐标原点，分别

以的正方向为轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则，

，设平面的一个法向量

为，

由，得，不妨设，则，所以，

设，则，

由题知：，

即，解得，所以在线段上存在点为PB的中点，

使得直线与平面所成的角的余弦值为.

19．

（1）频率分布直方图见解析，中位数5.133千元，平均数5.16千元（2），该家庭2020年能达到小康标准.

【分析】

（1）由频率之和为1可得：家庭人均年纯收入在[6,7)的频率为0.18，即可补全频率分布直方图，在根据频率分布直方图，即可求出中位数和平均数；

（2）根据线性回归方程公式即可求出回归方程，再取，根据题意以及等差数列的相关性质，即可求出2020年该家庭人均年纯收入估计值，与8000判断即可．

【详解】

（1）由频率之和为1可得：家庭人均年纯收入在[6,7)的频率为0.18，所以频率分布直方图如下：

中位数为：（千元）

（或：设中位数为，则，解得：）

平均数（千元）

（2）解：由题意得：，

所以：

所以回归直线方程为：

设为2020年该家庭人均月纯收入，则时，，即2020年前三月总收入为：元；

当时，，

即2020年从4月份起的家庭人均月纯收入依次为：728，760,…,984，

构成以32为公差的等差数列，所以4月份至12月份的总收入为

所以2020年该家庭总收入为：，所以该家庭2020年能达到小康标准.

20.

（1）设则，

∴椭圆C的方程为．

（2）设直线的方程为，，，，

由，得，

∴，．

由题设知

∴，∴，∵，∴，，

故直线的斜率为，．

21．

（1），，

∴，

①当时，，在内单调递增，没有极值点．

②当时，令，当时，，

∴在上单调递增．又，，

∴，使，且当时，，当时，，

从而，当时，，单调递减，

当时，，单调递增，∴是函数的极小值点．

综上，当时，无极值点，当时，有一个极值点．

（2）方程可化为．

设，则原方程又可化为．设，则．

∵，当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增；，

所以当时，，所以方程只有一个实数根，

∴方程只有一个实数根．∵对于任意的，．

∴

，

即，∴．

22．

【解析】（1）曲线：（为参数）化为普通方程为，

所以曲线的极坐标方程为，···········3分

曲线的极坐标方程为．···········5分

（2）射线与曲线的交点的极径为，···········7分

射线与曲线的交点的极径满足，

解得，···········9分

所以．···········10分

23．

【解析】由，·········2分

得，要使恒成立，

只要，即，实数的最大值为2；·········5分

（2）由（1）知，又，故；

，

∵，∴，∴．·····10分