初三数学2020年二模分类汇编：几何综合 专项练习卷试卷

这是一份初三数学2020年二模分类汇编：几何综合 专项练习卷试卷，共16页。

【题1】（2020·东城27二模）
27．在△ABC中AB=AC，，D是△ABC外一点，点D与点C在直线AB的异侧，且点D,A,E不共线，连接AD,BD，CD．
（1）如图1，当，∠ADB=30°时，画出图形，直接写出AD，BD，CD之间的数量关系；
（2）当，∠ADB=45°时，利用图2，继续探究AD，BD，CD之间的数量关系并证明；
（提示：尝试运用图形变换，将要研究的有关线段尽可能转移到一个三角形中）
（3）当时，进一步探究AD，BD，CD之间的数量关系，并用含的等式直接表示出它们之间的关系．
【题2】（2020·西城27二模）
27. 在正方形ABCD中，E是CD边上一点（CE >DE），AE，BD交于点F.
（1）如图1，过点F作GH⊥AE，分别交边AD，BC于点G，H.
求证：∠EAB =∠GHC；
（2）AE的垂直平分线分别与AD， AE， BD交于点P，M，N，连接CN.
① 依题意补全图形；
= 2 \* GB3 ② 用等式表示线段AE与CN之间的数量关系，并证明．

图1 备用图
27．（1）证明：在正方形ABCD中，AD∥BC，∠BAD = 90°，
∴ ∠AGH =∠GHC．
∵ GH⊥AE，
∴ ∠EAB =∠AGH．
∴ ∠EAB =∠GHC．
（2）① 补全图形，如图所示．
② ．
证明：连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q．
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ 点A，点C关于BD对称．
∴ NA =NC，∠1 =∠2．
∵ PN垂直平分AE，
∴ NA =NE．
∴ NC =NE．
∴ ∠3 =∠4．
在正方形ABCD中，BA∥CE，∠BCD = 90°，
∴∠AQE =∠4．
∴∠1+∠AQE =∠2+∠3 =90°．
∴∠ANE =∠ANQ =90°．
在Rt△ANE中，
∴ ． 7分
【题3】（2020·海淀27二模）
27．如图1，等边三角形ABC中，D为BC边上一点，满足, 连接AD, 以点A为中心,
将射线AD顺时针旋转60°，与△ABC的外角平分线BM交于点E.
（1）依题意补全图1；
（2）求证：AD=AE；
（3）若点B关于直线AD的对称点为F，连接CF.
① 求证：AE∥CF；
② 若成立，直接写出∠BAD的度数为__________°.
27．（1）依题意补全图形
（2）证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=AC，∠BAC=∠ABC=∠C=60°.
∴ ∠1+∠2=60°.
∵ 射线AD绕点A顺时针旋转60°得到射线AE，
∴ ∠DAE=60°.
∴ ∠2+∠3=60°.
∴ ∠1=∠3.
∵ ∠ABC=60°，
∴ ∠ABN=180°-∠ABC=120°.
∵ BM平分∠ABN，
∴ ∠4=∠5=60°.
∴ ∠4=∠C.
∴ △ABE≌△ACD.
∴ AD=AE.
（3）① 证明：连接AF，设∠BAD=α，
∵ 点B与点F关于直线AD对称，
∴ ∠FAD=∠BAD=α，FA=AB.
∵ ∠DAE=60°，
∴ ∠BAE=∠DAE-∠DAB=60°-α.
∵ 等边三角形ABC中，∠BAC=60°，
∴ ∠EAC=∠BAE+∠BAC=120°-α.
∵ AB=AC，AF=AB，
∴ AF=AC.
∴ ∠F=∠ACF.
∵ ∠FAC=∠BAC-∠FAD-∠BAD=60°-2α，
且∠F+∠ACF+∠FAC=180°，
∴ ∠ACF=60°+α.
∴ ∠EAC+∠ACF=180°.
∴ AE∥CF.
② 20°.
【题4】（2020·朝阳27二模）
27.已知为射线上一定点，为射线上一动点(不与点重合)，连接，以点为中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接.
(1)依题意补全图1;
(2)求证:;
(3)为射线上一点，连接.写出一个的值，使得对于任意的点总有为定值，并求出此定值.
27．解：（1）补全图形，如图所示.

（2）证明：根据题意可知，∠MPN=∠AOB =40°，
∵∠MPA =∠AOB +∠OMP=∠MPN +∠APN,
∴∠APN=∠OMP.
（3）解： OH的值为1.
在射线PA上取一点G，使得PG=OM，连接GN.
根据题意可知，MP=NP.
∴△OMP≌△GPN.
∴OP=GN，∠AOB=∠NGP=40°.
∴PG=OH.
∴OP=HG.
∴NG=HG.
∴∠NHG=70°.
∴∠OHN=110°.
【题5】（2020·丰台27二模）
27. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将CA绕点C顺时针旋转45°得到CP，点A关于直线CP的对称点为D，连接AD交直线CP于点E，连接CD．
（1）根据题意补全图形；
（2）判断△ACD的形状并证明；
（3）连接BE，用等式表示线段AB，BC，BE之间的数量关系，并证明.
温馨提示：在解决第（3）问的过程中，如果你遇到困难，可以参考
下面几种解法的主要思路.
解法1的主要思路：
延长BC至点F，使CF=AB，连接EF，可证△ABE≌△CEF，再证△BEF是等腰直角
三角形.
解法2的主要思路：
过点A作AM⊥BE于点M，可证△ABM是等腰直角三角形，再证△ABC∽△AME.
解法3的主要思路：
过点A作AM⊥BE于点M，过点C作CN⊥BE于点N，设BN=a，EN=b，用含a或b
的式子表示出AB，BC.
……
. 解：（1）正确补全图形：
……………………………2分
（2）△ACD是等腰直角三角形； …………………………………3分
证明：∵将CA绕点C顺时针旋转45°，
∴∠ACP=45°.
∵点D与A关于直线CP对称，
∴∠DCP=∠ACP=45°，AC=CD.
∴∠ACD=90°.
∴△ACD是等腰直角三角形. ………………………………4分
（3）AB+BC=； ………………………………………………5分
解法1证明：延长BC至点F，使CF= AB，连接DF，EF.
∵△ACD是等腰直角三角形，AE=DE，
∴AE=CE，∠AEC=90°.
∵∠ABC=90°,
∴∠BAE+∠BCE =180°.
∵∠FCE+∠BCE =180°,
∴∠BAE =∠FCE.
∴△ABE≌△CFE. …………………………………………6分
∴BE=FE , ∠1=∠2.
∴∠2+∠3=∠1+∠3=90°.
即∠BEF=90°.
∴△BEF是等腰直角三角形. ……………………………7分
∴BC+CF=.
即AB+BC=. ……………………………………8分
解法2证明：过点A作AM⊥BE于点M,取AC中点G，连接GB，GE.
设∠GBE=，∠ABG=,
∵∠ABC=∠AEC =90°,
∴AG=BG=EG=AC.
∴∠ABG=∠BAC=,∠GBE=∠GEB=.
在△BGE中，
∵∠GBE+∠BGE+∠BEG =180°,
∴.
∴.
即 ∠ABE=45°. ……………………………………6分
（或根据圆的定义判断A，B，C，E在以点G为圆心的圆上，根据同弧CE所对圆周角相等，证明∠ABE=45°）
∵∠AMB=90°,
∴∠BAM=∠CAE=45°.
∴∠BAC=∠MAE.
∵∠ABC=∠AME=90°,
∴△ABC∽△AME. …………………………………………7分
∴.
∴BCME.
又∵ABBM.
∴AB+BC. ……………………8分
解法3证明：过点A作AM⊥BE于点M, 过C作CN⊥BE于点N,
∴∠AME=∠CNE=90°.
即∠MAE+∠AEM=90°.
∵∠MEC+∠AEM=90°.
∴∠MAE=∠MEC.
∵AE=CE,
∴△AME≌△ECN. ……………………………………6分
∴AM=EN.
同解法2，可证∠ABM=∠CBM=45°. ……………………………7分
设BN=a,EN=b
∴BCa，ABb.
∴AB+BC. ……………………8分
（说明：三条线段数量关系写为：等其他等式如果正确也给分 ）
【题6】（2020·房山27二模）
27. 点为线段上一点，以为斜边作等腰，连接，在外侧,以为斜边作等腰，连接.
（1）如图1，当时：
求证：；
判断线段与的数量关系，并证明；
图1

如图2，当时，与的数量关系是否保持不变？
对于以上问题，小牧同学通过观察、实验，形成了解决该问题的几种思路：
想法1： 尝试将点为旋转中心. 过点作线段的垂线，交延长线于点，连接；通过证明三角形≌全等解决以上问题；
想法2： 尝试将点为旋转中心. 过点作线段的垂线，垂足为点，连接.通过证明∽解决以上问题；
想法3：尝试利用四点共圆. 过点作垂线段DF，连接EF，通过证明D、F、B、E四点共圆，利用圆的相关知识解决以上问题.
请你参考上面的想法，证明=（一种方法即可）
图2

27.（1）
① 过点D作DF⊥AC于F ……………………………………1分
∵
∴
∵以为斜边作等腰
∴
∴
∴ ……………………………………2分
② ∵ 等腰与等腰中
∴，
∵
∴,
∴
∴是等边三角形 ……………………………………3分
∵
∴ ……………………………………4分
法1. 添加辅助线 ……………………………5分
证出≌ ……………………………6分
∴
∴
∵
∴ ………………………………7分
法2. 添加辅助线 ……………………………5分
证出⁓ …………………………6分
∴
∴GE平分
∴GE是DC的中垂线
∴ ………………………………7分
法3. 添加辅助线 ……………………………5分
证出……………………6分
∴FE是DC的中垂线
∴ ……………………7分
【题7】（2020·顺义27二模）
27．已知：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D为线段BC上一动点（点D不与点B、C重合），点B关于直线AD的对称点为E，作射线DE，过点C作BC的垂线，交射线DE于点F，连接AE．
（1）依题意补全图形；
（2）AE与DF的位置关系是 ；
（3）连接AF，小昊通过观察、实验，提出猜想：发现点D 在
运动变化的过程中，∠DAF的度数始终保持不变，小昊
把这个猜想与同学们进行了交流，经过测量，小昊猜想
∠DAF= °，通过讨论，形成了证明该猜想的两种
想法：
想法1：过点A作AG⊥CF于点G，构造正方形ABCG，然后可证△AFG≌△AFE……
想法2：过点B作BG∥AF，交直线FC于点G，构造□ABGF，然后可证
△AFE≌△BGC……
请你参考上面的想法，帮助小昊完成证明（一种方法即可）．
27．解：（1）补全图形如下： ……………………………………………………… 1分

（2）AE与DF的位置关系是 互相垂直 ； ………………………… 2分
（3）∠DAF= 45° ………………………………………………… 3分
（想法1图形）
证明如下：过点A做AG⊥CF于点G，依题意可知：
∠B=∠BCG=∠CGA=90°．
∵AB=BC，
∴四边形ABCG是正方形．…………………………………… 4分
∴AG=AB ， ∠BAG=90°．
∵点B关于直线AD的对称点为E，
∴AB=AE ，∠B=∠AED=90° ，∠BAD=∠EAD．…………… 5分
∴AG=AE．
∵AF=AF，
∴Rt△AFG≌Rt△AFE(HL) ． ………………………………… 6分
∴∠GAF=∠EAF．
∵∠BAG=90°，
∴∠BAD+∠EAD+∠EAF +∠GAF =90°．
∵∠BAD=∠EAD， ∠EAF =∠GAF，
∴∠EAD +∠EAF=45°．
即∠DAF=45°． …………………………………………… 7分
（想法2图形）
证明如下：过点B作BG∥AF，交直线FC于点G，
依题意可知：∠ABC=∠BCF =90°．
∴AB∥FG．
∵AF∥BG，
∴四边形ABGF是平行四边形．……………………………… 4分
∴AF=BG，∠BGC=∠BAF．
∵点B关于直线AD的对称点为E，
∴AB=AE，∠ABC=∠AED=90° ，∠BAD=∠EAD．…………5分
∵AB=BC，
∴AE=BC．
∴Rt△AEF≌Rt△BCG (HL) ………………………………… 6分
∴∠EAF =∠CBG．
∵∠BCG=90°，
∴∠BGC+∠CBG=90°．
∴∠BAF+∠EAF=90°．
∴∠BAD+∠EAD +∠EAF+∠EAF =90．
∵∠BAD=∠EAD ，
∴∠EAD +∠EAF =45°．
即∠DAF=45°．……………………………………………… 7分
【题8】（2020·门头沟27二模）
27．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的两个动点（不与点A，B，C重合），且AE=CF，延长BC到G，使CG= CF，连接EG， DF.
（1）依题意将图形补全；
（2）小华通过观察、实验、提出猜想：在点E，F运动过程中，始终有.经过与同学们充分讨论，形成了几种证明的想法：
想法一：连接DE，DG，证明△DEG是等腰直角三角形；
想法二：过点D作DF的垂线，交BA的延长线于H，可得△DFH是等腰直角三角形，
证明HF=EG；
……
请参考以上想法，帮助小华证明.（写出一种方法即可）

【题9】（2020·平谷27二模）
27．如图，在△ABM中，∠ABC=90°，延长BM使BC=BA，线段CM绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，连结DM，AD．
（1）依据题意补全图形；
（2）当∠BAM=15°时，∠AMD的度数是 ；
（3）小聪通过画图、测量发现，当∠AMB是一定度数时，AM=MD．
小聪把这个猜想和同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：通过观察图形可以发现，如果把梯形ABCD补全成为正方形ABCE，就易证△ABM≌△AED，因此易得当∠AMD是特殊值时，问题得证；
想法2：要证AM=MD，通过第（2）问，可知只需要证明△AMD是等边三角形，通过构造平行四边形CDAF，易证AD=CF，通过△ABM≌△CBF，易证AM=CF，从而解决问题；
想法3：通过BC=BA，∠ABC=90°，连结AC，易证△ACM≌△ACD，易得△AMD是等腰三角形，因此当∠AMD是特殊值时，问题得证.
请你参考上面的想法，帮助小聪证明当∠AMB是一定度数时，AM=MB.(一种方法即可）
27.（1）补全图形１

（2）60°
（3）当时结论成立.
证明：想法一：
过A作AE⊥CD于E．
∵∠B=∠C=∠E=90°
AB=BC
∴四边形ABCE是正方形
∴AB=AE，∠B=∠E，
BC=CE
∵MC=DC
∴BM=DE
∴△ABM≌△AED
∴AD=AM
∵∠AMD=75°
∴△AMD是等边三角形
∴AM=DM
6
(其他证明方法类似给分，辅助线正确写出一个正确语句即给1分，证完全等2分，完全正确3分）
【题10】（2020·密云27二模）
27. 已知：MN是经过点A的一条直线，点C是直线MN左侧的一个动点，且满足60°<∠CAN<120°，连接AC，将线段AC绕点C顺时针旋转60°，得到线段CD，在直线MN上取一点B，使∠DBN=60°．
备用图
图1

（1）若点C位置如图1所示．
① 依据题意补全图1；
② 求证：∠CDB=∠MAC；
（2）连接BC，写出一个BC的值，使得对于任意一点C，总有AB+BD=3，并证明．
27 . (1) = 1 \* GB3 ①

………………………………2分
= 2 \* GB3 ② 证明：∵∠C=60°，∠DBN=60°
∴∠C=∠DBN
∵∠DBN +∠ABD=180°
∴∠C+∠ABD=180°
在四边形ACDB中，∠CDB+∠BAC=180°
∵∠BAC +∠MAC=180°
∴∠CDB=∠MAC ………………………………4分
(2) BC=3时，对于任意一点C，总有AB+BD=3 ………………………………5分
证明：连接BC，在直线MN上截取AH=BD，连接CH
∵∠MAC=∠CDB，AC=CD
∴ ………………6分
∴∠ACH=∠DCB，CH=CB
∵∠DCB +∠ACB=∠ACD=60°
∴∠HCB=∠ACH+∠ACB=60°
∴△HCB是等边三角形.
∴BC=BH=BA+BD=3. ………………………………7分
【题11】（2020·燕山27二模）
27．已知菱形ABCD中，∠A＝60°，点E为边AD上一个动点(不与点A，D重合)，点F在边DC上，且AE＝DF，将线段DF绕着点D逆时针旋转120°得线段DG，连接GF，BF，EF．
(1) 依题意补全图形；
(2) 求证：△BEF为等边三角形；
(3) 用等式表示线段BG，GF，CF的数量关系，并证明．
27．(1)解：补全图形，如图．
(2)证明：∵菱形ABCD，
∴AB＝AD．
又∵∠A＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ABD＝∠BDC＝60°，AB＝BD．
在△ABE和△DBF中，
AB＝BD，∠A＝∠BDF，AE＝DF，
∴△ABE≌△DBF，
∴BE＝BF，∠ABE＝∠DBF，
∴∠EBF＝∠EBD＋∠DBF＝∠EBD＋∠ABE＝∠ABD＝60°，
∴△BEF为等边三角形．
(3) BG，GF，CF的数量关系为(BG－CF)＝2GF．
证明：如图2，取FG中点H，连接DH，
∵AE＝DF＝DG，∠FDG＝120°，
∴∠DFG＝∠DGF＝30°，DH⊥GF，
∴GF＝2GH＝2DG·cs30°＝DG．
又∵△BCD为等边三角形，
∴BD＝CD，∠BDC＝60°．
∵∠FDG＝120°，
∴∠BDC＋∠FDG＝180°，即B，D，G三点在同一条直线上，
∴BG＝BD＋DG＝CD＋DG＝CF＋DF＋DG＝CF＋2DG，
∴BG－CF＝2DG．
∴(BG－CF)＝2DG＝2GF．