湘教版八年级上册2.4 线段的垂直平分线第1课时教学设计

2.4线段的垂直平分线

第1课时 线段垂直平分线的性质和判定

【知识与技能】

证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理.

【过程与方法】

经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力，丰富对几何图形的认识.

【情感态度】

通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.

【教学重点】

运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题.

【教学难点】

垂直平分线的性质与判定的运用.

一、情景导入，初步认知

如图，直线l垂直平分线段AB，P1、P2、P3是l上的点.

（1）P1到端点A、B的距离是什么？分别表示为_______、_______.

（2）量一量这两个距离，你能猜想出什么结论？

（3）你能用什么方法来证明你的猜想，试写出论证(或说明).

二、思考探究，获取新知

1.观察：如图，人字形屋顶的框架中，点A与A′关于线段CD所在的直线l对称，问线段CD所在的直线l与线段AA′有什么关系？

【归纳结论】垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.

2.探究：如图，在线段AB的垂直平分线l上任取一点P,连接PA,PB，线段PA,PB之间有什么关系？

【归纳结论】线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.

3.动脑筋：如图，我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，如果一点P到线段AB两端的距离PA,PB相等，那么点P在线段AB的垂直平分线上吗？

【归纳结论】线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.

【教学说明】引导学生分析证明过程.

三、运用新知，深化理解

1.教材P69例题.

2.已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC.

求证：直线 AO 垂直平分线段BC．

证明：∵ AB = AC

∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.

同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.

∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）

3.如图，DE为△ABC的AB边的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E， AC = 5，BC = 8，求△AEC的周长.

解：∵DE为△ABC的AB边的垂直平分线

∴AE=BE

∴C△AEC=AC+AE+CE=AC+BE+CE

 =AC+BC=5+8=13

4.如图，已知：线段CD垂直平分AB，AB平分∠DAC. 求证：AD∥BC.

证明：∵CD是AB的垂直平分线，

∴AC=BC，

∴∠CAB=∠B，

又∵∠CAB=DAB，

∴∠DAB=∠B，

∴AD∥BC.

5.如图，已知：AD是△ABC的高，E为AD上一点，且BE=CE. 求证：△ABC是等腰三角形.

证明：∵BE=CE,AD⊥BC，

∴AD是BC的垂直平分线，

∴AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形.

6.如图，已知：AB⊥BC，CD⊥BC，∠AMB=75°，∠DMC=45°，AM=DM. 求证：AB=BC.

证明：连接AC

∠AMD=180°-75°-45°=60°，且AM=DM，

∴△AMD是等边三角形

∴AM=AD.

又∵∠MDC=90°-45°=45°，

∴∠MDC=∠DMC，

∴CD=CM，

∴AC为DM的垂直平分线，

又∵CD=CM

∴CH是△CDM的角平分线

∴∠ACM=90°-45°=45°，

∴BC=AB.

【教学说明】学生是第一次证明一条直线是已知线段的垂直平分线，因此老师要引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程.

四、师生互动，课堂小结

先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业:教材“习题2.4”中第1、2、6题.

由于本节课是对垂直平分线的性质与判定的综合应用，学生掌握起来难度较大，所以要引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程.