2021学年7.2 离散型随机变量及其分布列巩固练习

2020—2021学年高二数学下学期  

7.2离散型随机变量及其分布列

专项训练

一、单选题（共12题；共60分）

1．已知随机变量X的分布列表如下表，且随机变量，则Y的期望是（    ）

A． B． C． D．

2．设，随机变量的分布列是

则当在内增大时

A．减小，减小 B．减小，增大

C．增大，减小 D．增大，增大

3．已知离散型随机变量的分布列如下：

由此可以得到期望与方差分别为

A．， B．，

C．， D．，

4．若是离散型随机变量，，且，已知，则的值为（）

A． B． C．3 D．

5．记为两个离散型随机变量，则下列结论不正确的是（    ）

A． B．

C． D．

6．已知随机变量的分布列表，又随机变量，则的均值是

A． B． C． D．3

7．抛掷两枚骰子各一次,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ,则“ξ>4”表示试验的结果为 (　　)

A．第一枚为5点,第二枚为1点

B．第一枚大于4点,第二枚也大于4点

C．第一枚为6点,第二枚为1点

D．第一枚为4点,第二枚为1点

8．设随机变量的分布列为，则，的值分别是（    ）

A．0和1 B．和 C．和 D．和

9．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E（X）=（ ）

A． B． C． D．

10．下列随机变量中不是离散型随机变量的是.

A．掷5次硬币正面向上的次数M

B．某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间T

C．从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球，这2个小球上所标的数字之和Y

D．将一个骰子掷3次,3次出现的点数之和X

11．已知是离散型随机变量，，，，则

A． B． C． D．

12．已知随机变量满足，，若，则

A． ，

B． ，

C． ，

D． ，

二、填空题（共4题；共20分）

13．下面给出三个变量:

（1）2013年地球上发生地震的次数ξ.

（2）在一段时间间隔内某种放射性物质发生的α粒子数η.

（3）在一段时间间隔内某路口通过的宝马车的辆数X.

其中是随机变量的是____.

14．已知的分布列

且，，则______.

15．某同学参加投篮训练，已知每投篮一次，投进球的概率均为．记该同学投篮4次，进球个数为，若，则_______．

16．下列随机变量中不是离散型随机变量的是__________（填序号）．

①某宾馆每天入住的旅客数量是；

②某水文站观测到一天中珠江的水位；

③西部影视城一日接待游客的数量；

④阅海大桥一天经过的车辆数是.

三、解答题（共4题；共20分）

17．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，，，，，得到如下频率分布直方图．

（1）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩．现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，求恰好取到一级口罩个数为的概率；

（2）在2020年“五一”劳动节前，甲、乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加A、B两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成．假定甲、乙两人在A、B两店订单“秒杀”成功的概率分别为，，记甲、乙两人抢购成功的订单总数量、口罩总数量分别为，．

①求的分布列及数学期望；

②求当的数学期望取最大值时正整数的值．

18．武汉出现的新型冠状病毒是一种可以通过飞沫传播的变异病毒，某药物研究所为筛查该新型冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，每份样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：①逐份检验，则需要检验n次；②混合检验，将其中份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k份血液全为阴性，因此这k份血液样本检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份血液再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阴性还是阳性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为.

（1）假设有5份血液样本，其中只有2份为阳性，若采取逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；

（2）现取其中份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.

（i）试运用概率统计知识，若，试求P关于k的函数关系式；

（ii）若，采用混合检验方式可以使得这k份血液样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值.

参考数据：，，，，

19．某公司打算引进一台设备使用一年，现有甲、乙两种设备可供选择.甲设备每台10000元，乙设备每台9000元.此外设备使用期间还需维修，对于每台设备，一年间三次及三次以内免费维修，三次以外的维修费用均为每次1000元.该公司统计了曾使用过的甲、乙各50台设备在一年间的维修次数，得到下面的频数分布表，以这两种设备分别在50台中的维修次数频率代替维修次数发生的概率.

（1）设甲、乙两种设备每台购买和一年间维修的花费总额分别为和，求和的分布列；

（2）若以数学期望为决策依据，希望设备购买和一年间维修的花费总额尽量低，且维修次数尽量少，则需要购买哪种设备？请说明理由.

20．某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：

（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.

（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50．用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.

参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.

（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券3万元．已知硬币出现正、反面的概率都是0.5方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次．若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到）若掷出反面遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到第19格胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移到第格的概率为P试证明是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值．

参考答案

1．A

【详解】

由随机变量X的分布列得：

，

解得，

，

，

．

故选：A．

2．A

【详解】

由题意得，所以当在内增大时，减少；

，

所以当在内增大时，减少．

故选A．

3．C

【详解】

由x＋4x＋5x＝1得x＝0.1，

E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.5＝1.4，

D(X)＝(0－1.4)2×0.1＋(1－1.4)2×0.4＋(2－1.4)2×0.5＝0.44.

故选

4．B

【详解】

由题设可得，，

解得（舍）或，故.

故选：B.

5．D

【详解】

设，

设，Y也是随机变量，

因为，

所以，

，

，故A正确.同理C正确..

根据期望的性质，，

而，所以，故B正确，

，

而，不一定相等，故D错误

.故选：D

6．C

【详解】

由题意得：   

由题意可得：

本题正确选项：

7．C

【详解】

由于表示“第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差”，差的最大值为，而只有一种情况，也即，此时第一枚为点,第二枚为点，故选C.

8．D

【详解】

设随机变量的概率分布为，

则，

，

，故选D.

9．B

【解析】

由题意知X可能的取值为0,1,2,3

故有P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，

P(X＝2)＝，

P(X＝3)＝，E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.

10．B

【详解】

由随机变量的概念可知. 某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间T不能一一举出，故不是离散型随机变量

11．B

【详解】

是离散型随机变量，，，，由已知得，解得，，

，故选B.

12．C

【详解】

依题意可知：

由于，不妨设.故,，故选C.

13．（2）（3）

【详解】

（1）2013年地球上发生地震的次数ξ是确定的，故不是随机变量;（2）发出的α粒子数η是变化的，是随机变量;（3）通过的宝马车的辆数X是变化的，是随机变量.

故答案为：（2）（3）

14．4

【详解】

,

且，

，

即，

解得，

故答案为：4

15．2

【详解】

由题意知离散型随机变量，

则由，得，即，解得，

所以．

故答案为：2

16．②

【详解】

①③④中的随机变量的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；

②中随机变量可以取某一区间内的一切值，但无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量．

故答案为：②

17．（1）；（2）①分布列见解析，数学期望；②6．

【详解】

（1）按分层抽样抽取8个口罩，则其中二级、一级口罩个数分别为6、2，

所以恰好取到一级口罩个数为2的概率．

（2）①由题知，X的可能取值为0，1，2，

；

；

．

所以X的分布列为

．

②因为，所以．

令，设，则，

因为

所以当时，，

所以在区间上单调递增；

当时，，

所以在区间上单调递减；

所以当即时取最大值，所以．

所以取最大值时，n的值为6．

18．(1) ;(2) （i）,;（ii）4

【详解】

(1)设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来的事件为,则,故恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来的概率为

(2) （i）由已知可得,所有可能的取值为.

所以,,

所以.

若,则,所以.

故.

所以P关于k的函数关系式,

（ii）由题意可知,即,化简得.

因为,所以,即.

设函数.

又,故当时, ,即在上单调递减.

又,.

故的最大值为4.

19．（1）分布列见解析，分布列见解析；（2）甲设备，理由见解析

【详解】

（1）的可能取值为10000，11000，12000

，，

因此的分布如下

的可能取值为9000，10000，11000，12000

，，，

因此的分布列为如下

（2）

设甲、乙两设备一年内的维修次数分别为，

的可能取值为2，3，4，5

，，，

则的分布列为

的可能取值为3，4，5，6

，，，

则的分布列为

由于，，因此需购买甲设备

20．（1）300；（2）0.8186；（3）证明见解析，期望值为，约2万元.

【详解】

（1）（千米）

（2）因为服从正态分布

  所以

（3）遥控车开始在第0格为必然事件，，第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为,即．遥控车移到第n（）格的情况是下列两种，而且也只有两种．

  ①遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为

  ②遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为

所以，

  当时，数列是公比为的等比数列                               

以上各式相加，得

 （），  获胜的概率

失败的概率

设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为万元，或0

X的期望

参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为，约2万元.