综合检测08-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册

这是一份数学选择性必修 第三册全册综合课时练习，共12页。试卷主要包含了若随机变量X的分布列是等内容，欢迎下载使用。

2020—2021学年高二数学下学期
综合检测08
满分： 100分 时间： 60分钟
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、 单项选择题：本题共12小题，每题只有一个选项正确，每小题5分，共计60分。
1.已知随机变量 ξ~B(12,p) ，且 E(2ξ-3)=5 ，则 D(3ξ)= （    ）
A. 83                                          B. 8                                          C. 12                                          D. 24
2.若随机变量X的分布列是：
X
0
a
1
P
a2
12
1-a2
则当实数a在 (0,1) 内增大时，（    ）
A. D(X) 增大              B. D(X) 减小              C. D(X) 先增大后减小              D. D(X) 先减小后增大
3.在某次联考数学测试中，学生成绩 ξ 服从正态分布 (100,σ2)(σ>0) ，若 ξ 在 (80,120) 内的概率为0.8，则任意选取一名学生，该生成绩不高于80的概率为（     ）
A. 0.05                                      B. 0.1                                      C. 0.15                                      D. 0.2
4.已知在最小二乘法原理下，具有相关关系的变量x，y之间的线性回归方程为 y=-0.7x+10.3 ，且变量x，y之间的相关数据如表所示，则下列说法正确的是（    ）
x
6
8
10
12
y
6
m
3
2
A. 变量x，y之间呈现正相关关系                             B. 可以预测，当 x=20 时， y=3.7
C. 可求得表中 m=4.7                                         D. 由表格数据知，该回归直线必过点 (9,4)
5.甲、乙、丙、丁、戊5个人分到 A,B,C 三个班，要求每班至少一人，则甲不在A班的分法种数有（    ）
A. 160                                       B. 112                                       C. 100                                       D. 86
6.某小组有 5 名男生、 3 名女生，从中任选 3 名同学参加活动，若 X 表示选出女生的人数，则 P(X≥2)= （    ）
A. 17                                         B. 1556                                         C. 27                                         D. 57
7.安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（    ）
A. 100种                                   B. 60种                                   C. 42种                                   D. 25种
8.有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：

优秀
非优秀
总计
甲班
10
b

乙班
c
30

总计105



已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为 27 ，则下列说法正确的是（    ）
参考公式： K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
附表：
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
A. 列联表中c的值为30，b的值为35
B. 列联表中c的值为15，b的值为50
C. 根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”
D. 根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”
9.已知具有线性相关关系的两个变量 x ， y 之间的一组数据如下表：
x
0
1
2
3
4
y
2.2
n
4.5
4.8
6.7
若回归直线方程是 4.3 ，则下列说法不正确的是（    ）．
A. n 的值是4.3
B. 变量 x ， y 是正相关关系
C. 若 x=6 ，则 y 的值一定是8.3
D. 若 x 的值增加1，则 y 的值约增加0.95
10.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X，已知 E(X)=3 ，则 D(X)=(    )
A. 85                                         B. 65                                         C. 45                                         D. 25
11.已知盒中装有3只螺口灯池与9只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放若，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为（    ）
A. 14                                        B. 944                                        C. 911                                        D. 79
12.(x+2y+3z)5 的展开式中 xy2z2 的系数为（    ）
A. 5                                       B. 30                                       C. 1080                                       D. 2160
第Ⅱ卷（非选择题 共40分）
二、填空题：本题共计4小题，共计16分。
13.已知 x6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+⋅⋅⋅+a6(x+1)6 ，则 a2= ________， a1+a2+⋅⋅⋅+a6= ________.
14.甲乙两人进行5局球赛，甲每局获胜的概率为 34 ，且各局的比赛相互独立，已知甲胜一局的奖金为8元，设甲所获的奖金总额为 X 元，则甲所获奖金总额的方差 D(X)= ________.
15.在某市高二的联考中，这些学生的数学成绩 ξ 服从正态分布 N(100,100) ，随机抽取10位学生的成绩，记X表示抽取的10位学生成绩在 (80,120) 之外的人数，则 P(X≥1)= ________，X的数学期望 EX= ________．
附：若随机变量Z服从正态分布 N(μ,σ2) ，则 P(μ-2σ 16.若某商品的广告费支出x(单位：万元）与销售额y(单位：万元）之间有如下对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
20
40
60
70
80
根据上表，利用最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为 y = b x+1.5，据此预测，当投人10万元时，销售额的估计值为________万元.
三、解答题：本题共计4小题，共计24分。
17.为确保我国如期全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标打下了坚实的基础．在产业扶贫政策的大力支持下，某玩具厂对原有的生产线进行技术升级，为了更好地对比升级前和升级后的效果，其中甲生产线继续使用旧的生产模式，乙生产线采用新的生产模式．质检部门随机抽检了甲、乙两条生产线的各100件玩具，在抽取的200件玩具中，根据检测结果将它们分为“A”、“B”、“C”三个等级， A,B 等级都是合格品，C等级是次品，统计结果如表所示：
等级
A
B
C
频数
100
75
25
（表二）

合格品
次品
合计
甲
80


乙

5

合计



在相关政策扶持下，确保每件合格品都有对口销售渠道，但从安全起见，所有的次品必须由厂家自行销毁．
附： K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ，其中 n=a+b+c+d ．
P(K2≥k0)
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（1）请根据所提供的数据，完成上面的 2×2 列联表（表二），并判断是否有 99.5% 的把握认为产品的合格率与技术升级有关？
（2）每件玩具的生产成本为20元， A,B 等级产品的出厂单价分别为m元、40元．若甲生产线抽检的玩具中有35件为A等级，用样本的频率估计概率，若进行技术升级后，平均生产一件玩具比技术升级前多盈利12元，则A等级产品的出产单价为多少元？
18.某地处偏远山区的古镇约有人口5000人，为了响应国家号召，镇政府多项并举，鼓励青壮劳力外出务工的同时发展以旅游业为龙头的乡村特色经济，到2020年底一举脱贫.据不完全统计该镇约有 20% 的人外出务工.下图是根据2020年扶贫工作期间随机调查本地100名在外务工人员的年收入(单位：千元)数据绘制的频率分布直方图.

（1）根据样本数据怙计该镇外出务工人员的创收总额(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
（2）假设该镇外出务工人员年收入服从正态分布 N(μ,σ2) ，其分布密度函数为 f(x)=1σ2πe-(x-μ)22σ2 ，其中 μ 为样本平均值.若 f(x) 的最大值为 2π10π ，求 σ 的值；
（3）完成脱贫任务后，古镇党政班子并不懈怠，决心带领全镇人民在奔小康道路上再上一个新台阶，出台了多项优惠政策，鼓励本地在外人员返乡创业.调查显示务工收入在 [μ+σ,μ+2σ] 和 [μ+2σ,μ+3σ] 的人群愿意返乡创业的人数比例分别为15%和20%.从样本人群收入在 [μ+σ,μ+3σ] 的人中随机抽取3人进行调查，设 X 为愿意返乡创业的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望.
19.某奶茶店推出一款新品奶茶，每杯成本为4元，售价为6元，如果当天卖不完，剩下的奶茶只能倒掉，奶茶店记录了60天这款新品奶茶的日需求量，整理得下表：
日需求量杯数
20
25
30
35
40
45
50
天数
5
5
10
15
10
10
5
以这60天记录中各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
（1）若奶茶店一天准备了35杯这款新品奶茶，用 ξ 表示当天销售这款新品奶茶的利润(单位：元)，求 ξ 的分布列和数学期望；
（2）假设奶茶店每天准备的这款新晶奶茶杯数都是5的倍数，有顾客建议店主每天准备40杯这款新品奶茶，你认为店主应该接受这个建议吗？请说明理由.
20.一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单．
（1）2个相声节目要排在一起，有多少种排法？
（2）2个相声节目彼此要隔开，有多少种排法？
（3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？

答案解析
一、单选题
1.【答案】 D
【解析】因为 E(2ξ-3)=2E(ξ)-3=2×12p-3=5 ，所以 p=13 .
故 D(3ξ)=32D(ξ)=9×12×13×(1-13)=24 .
故答案为：D
2.【答案】 D
【解析】∵ E(X)=0⋅a2+a⋅12+1⋅1-a2=12
∴ D(X)=a2⋅(0-12)2+12⋅(a-12)2+1-a2⋅(1-12)2 =2a2-2a+14
由二次函数的性质可知， D(X) 在 (0,12) 上递减，在 (12,1) 上递增.
故答案为：D.
3.【答案】 B
【解析】 P(X≤80)=P(X≥120)=1-P(80 故答案为：B.
4.【答案】 D
【解析】解：由x与y的线性回归方程可知， ∵-0.7<0 ，
∴ 变量x，y之间呈现负相关关系，即A不符合题意；
当 x=20 时， y=-0.7×20+10.3=-3.7 ，即B不符合题意；
由表中数据可知， x=6+8+10+124=9 ， y=6+m+3+24=11+m4 ，
根据样本中心点必在线性回归方程上，
有 11+m4=-0.7×9+10.3 ，解得 m=5 ，即C不符合题意；
∵m=5 ， ∴y=11+m4=4 ，
∴  样本中心点为 (9,4) ，即D符合题意.
故答案为：D.
5.【答案】 C
【解析】根据题意有以下三类情况：
⒈甲单独去一个班，则有 C21=2 种方法，剩下四人就分两组去剩下的二个班，
（1）每班都有2人，则有 C42⋅C22=4×32×1=6 种方法；
（2）一班1人，一班3人，则有 C43⋅A22=4×2×1=8 种方法，
因此甲单独去一个班，共有 2×(6+8)=28 种方法；
⒉甲和剩下4人中其中一人去一个班，则有 C41⋅C21=4×2=8 种方法，剩下的3人，分两组分别去剩下的2个班，则有 C32⋅A22=3×2×1=6 种方法，因此甲和剩下4人中其中一人去一个班，共有 8×6=48 种方法；
⒊甲和剩下4人中其中二人去一个班，则有 C42⋅C21=4×32×2=12 种方法，因此剩下的2人去剩下的2个班，共有 A22=2×1=2 种方法，所以甲和剩下4人中其中二人去一个班共有 12×2=24 ，
所以甲不在A班的分法种数有 28+48+24=100 种方法，
故答案为：C
6.【答案】 C
【解析】当 X=2 时， P(X=2)=C51C32C83=1556 ；
当 X=3 时， P(X=3)=C33C83=156 ，
则 P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=1556+156=27 ，
故答案为：C.
7.【答案】 C
【解析】甲可有3种安排方法，
若甲先安排第1社区，
则第2社区可安排1个、第3社区安排3个，共 C41⋅C33 ；
第2社区2个、第3社区安排2个，共 C42⋅C22 ；
第2社区3个，第3社区安排1个，共 C41⋅C11 ；
故所有安排总数为 3×(C41⋅C33+C42⋅C22+C41⋅C11)=42 .
故答案为：C.
8.【答案】 C
【解析】由题意知，成绩优秀的学生数是 105×27=30 ，成绩非优秀的学生数是 105-30=75 ，所以c＝20，b＝45，A，B不符合题意；根据列联表中的数据，得到 K2 ＝ 105×(10×30-20×45)255×50×30×75 ≈6.109>3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”，C符合题意．
故答案为：C．
9.【答案】 C
【解析】由题知， x=1+2+3+45=2 ，则 y=2.2+n+4.5+4.8+6.75=0.95×2+2.6=4.5 ，
求得 n 的值是4.3，A正确，不符合题意；
因为变量 x ， y 的回归直线方程是 4.3 ，所以变量 x ， y 呈正相关系，B正确，不符合题意；
若 x 的值增加1，则 y 的值约增加0.95，D正确，不符合题意；
若 x=6 ，则求得 y=8.3 ，但并不能断定 y 的值一定是8.3，C错误，符合题意．
故答案为：C
10.【答案】 B
【解析】由题意知， X~B(5,3m+3) ，
∴EX=5×3m+3=3 ，解得 m=2 ，
∴X~B(5,35) ，
∴D(X)=5×35×(1-35)=65 ．
故答案为：B．
11.【答案】 C
【解析】方法一：因为电工师傅每次从中任取一只且不放回，且第1次抽到的是螺口灯泡，
所以第1次抽到的是螺口灯泡，第2次抽到的是卡口灯泡的概率等价于：从装有2只螺口灯池与9只卡口灯泡中抽取一只，恰为卡口灯泡的概率，即为 92+9=911 ，
方法二：设事件A为：第1次抽到的是螺口灯泡，事件B为：第2次抽到的是卡口灯泡,
则第1次抽到的是螺口灯泡，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为 P(B|A)=P(AB)P(A)=3×912×11312=911
故答案为：C
12.【答案】 C
【解析】解： (x+2y+3z)5 表示5个因式 x+2y+3z 的乘积，所以它的展开式中含 xy2z2 的项是由其中一个因式取 x ，其中两个因式取 2y ，剩下的两个因式取 3z 得到的，
所以 xy2z2 的系数为 C51⋅C42⋅22⋅C22⋅32=5×6×4×9=1080 ，
故答案为：C
二、填空题
13.【答案】 15；-1
【解析】空一：因为 x6=[(x+1)-1]6 ，所以该二项式的通项公式为： Tr+1=C6r⋅(x+1)6-r⋅(-1)r ，
令 6-r=2⇒r=4 ，所以 a2=C64⋅(-1)4=C62=6×52=15 ；
空二：在 x6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+⋅⋅⋅+a6(x+1)6 中，
令 x=0 ，所以 0=a0+a1+a2+⋅⋅⋅+a6 ，
令 x=-1 ，所以 1=a0 ，因此 a1+a2+⋅⋅⋅+a6=-1 ，
故答案为：15；-1
14.【答案】 60
【解析】设甲获胜的局数为 Y ，则 Y∼B(5,34),X=8Y
所以 D(X)=64D(Y)=64×5×34×14=60
故答案为：60
15.【答案】 0.7329；0.456
【解析】由题意，数学成绩 X 服从正态分布 N(100,100) ，则 μ=100 ， σ=10 ，
∵80=μ-2σ ， 120=μ+2σ ，则 P(80<ξ<120)=P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544 ，
从而数学成绩在 (80,120) 之外的概率为 1-0.9544=0.0456 ，故 X~B(10,0.0456) ，
因此 P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.954410=1-0.6271=0.3729 ，
所以， X 的数学期望为 EX=10×0.0456=0.456 ．
故答案为：0.7329,0.456
16.【答案】 106.5
【解析】由题得 x=15(2+4+5+6+8)=5,
y=15(20+40+60+70+80)=54 ，
所以 54 =5 b +1.5，所以 b=10.5 ，
所以 y = 10.5 x+1.5，
当 x=10 时， y=10.5×10+1.5=106.5 .
故答案为：106.5
三、解答题
17.【答案】 （1）解：根据所提供的数据，可得 2×2 列联表：

合格品
次品
合计
甲
80
20
100
乙
95
5
100
合计
175
25
200
设 H0: 产品的合格率与技术升级无关．
由 K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ，
可得 K2=200×(80×5-95×20)2175×25×100×100=727≈10.3>7.879 ．
∴P(K2≥k0)=0.005 ，故有 99.5% 的把握认为产品的合格率与技术升级有关．
（2）解：法一：甲生产线抽检的产品中有35件 A 等级，45件 B 等级，20件 C 等级，
对于甲生产线，单件产品利润 X 的取值可能为 m-20,20,-20 ，
X 的分布列如下：
X
m-20
20
-20
P
720
920
15
则 E(X)=(m-20)×720+20×920-20×15=720m-2 ，
乙生产线抽检的产品中有65件 A 等级，30件 B 等级，5件 C 等级；
对于乙生产线，单位产品利润 Y 的取值可能为 m-20,20,-20 ，
Y 的分布列如下：
Y
m-20
20
-20
P
1320
310
120
则 E(Y)=(m-20)×1320+20×310-20×120=1320m-8 ，
依题意． E(Y)-E(X)=1320m-8-(720m-2)=6m20-6=12 ，
∴m=60 ，所以， A 等级产品的出产单价为60元．
法二：甲生产线抽检的产品中有35件 A 等级，45件 B 等级，20件 C 等级，
乙生产线抽检的产品中有65件 A 等级，30件 B 等级，5件 C 等级；
因为用样本的频率估计概率
所以对于甲生产线，单件产品的利润 x1=35×m+45×40-100×20100=720m-2
对于乙生产线，单件产品的利润 x2=65×m+30×40-100×20100=1320m-8
依题意． x2-x1=1320m-8-(720m-2)=6m20-6=12 ，
∴m=60 ，所以， A 等级产品的出产单价为60元．
【解析】（1）利用独立性检验公式可以直接计算出结果；
（2）用样本的频率估计概率，以及题中的条件，即可解出．
18.【答案】 （1）解：由频率分布直可知100名在外务工人员的平均年收入为
0.02×5×17.5+0.03×5×22.5+0.04×5×27.5+0.06×5×32.5+0.04×5×37.5
+0.01×5×42.5=30 (千元)
∴该镇外出务工人员的创收总额为 5000×20%×30=30000 (千元).
（2）解：∵概率密度函数为 f(x)=1σ2πe-(x-μ)22σ2 ，在 (-∞,μ) 上单调递增，在 (μ,+∞) 上单调递减
∴当 x=μ 时，函数 f(x) 取得最大值为 1σ2π ，
∴ 1σ2π=2π10π ，解得 σ=5 .
（3）解：∵ μ=30 ， σ=5 ，
∴样本中年收入在 [μ+σ,μ+2σ] (即 [35,40] )和 [μ+2σ,μ+3σ] (即 [40,45] )内愿意返乡创业的人数分别为 100×0.04×5×15%=3 人和 100×0.01×5×20%=1 人.
∴样本人群收入在 [μ+σ,μ+3σ]=[35,45] 内共 100×(0.04+0.01)×5= 25人，其中愿意返乡创业的共4人，
∴随机变量 X 的可能取值分别为0，1，2，3，
∴ P(X=0)=C213C253=6651150 ； P(X=1)=C41C212C253=4201150 ； P(X=2)=C42C211C253=631150 ，
P(X=3)=C43C253=21150 .
∴随机变量 X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
6651150
4201150
631150
21150
∴ E(X)=0×6651150+1×4201150+2×631150+3×21150=1225 .
【解析】（1）利用已知条件结合频率分布直方图求平均数的公式，进而求出100名在外务工人员的平均年收入，再利用已知条件估计出该镇外出务工人员的创收总额。
（2）利用该镇外出务工人员年收入服从正态分布 N(μ,σ2) ，其分布密度函数为 f(x)=1σ2πe-(x-μ)22σ2 ，其中 μ 为样本平均值，从而结合密度曲线的图象求出函数f(x)的最大值，再利用已知条件函数 f(x) 的最大值为 2π10π ， 进而求出 σ 的值 。
（3）因为 μ=30 ， σ=5 ，所以样本中年收入在 [μ+σ,μ+2σ] (即 [35,40] )和 [μ+2σ,μ+3σ] (即 [40,45] )内愿意返乡创业的人数分别为 100×0.04×5×15%=3 人和100×0.01×5×20%=1 人，所以样本人群收入在 [μ+σ,μ+3σ]=[35,45] 内共 100×(0.04+0.01)×5= 25人，其中愿意返乡创业的共4人，进而求出随机变量 X 的可能取值，再利用组合数公式结合古典概型求概率公式，进而求出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列结合数学期望公式，进而求出随机变量X的数学期望。
19.【答案】 （1）解：由题意可得：若当天只卖出20杯，则利润 ξ=20×2-15×4=-20 元；
若当天只卖出25杯，则利润 ξ=25×2-10×4=10 元；
若当天只卖出30杯，则利润 ξ=30×2-5×4=40 元；
若当天卖出35杯，则利润 ξ=35×2=70 元．
ξ 的分布列为：
ξ
-20
10
40
70
P
112
112
16
23
∴E(ξ)=-20×112+10×112+40×16+70×23=1052 （元 ) ．
（2）解：若店主每天准备40杯这款新品奶茶，
若当天需求20杯，则利润 η=20×2-20×4=-40 元， P(η=-40)=112 ；
若当天需求25杯，则利润 η=25×2-15×4=-10 元， P(η=-10)=112 ；
若当天需求30杯，则利润 η=30×2-10×4=20 元， P(η=20)=16 ；
若当天需求35杯，则利润 η=35×2-5×4=50 元， P(η=50)=14 ；
若当天需求大于等于40杯，则利润 η=40×2=80 元， P(η=80)=512 ．
η 的分布列为：
η
-40
-10
20
50
80
P
112
112
16
14
512
∴E(η)=-40×112-10×112+20×16+50×14+80×512=45 （元 ) ．
∵E(η) ∴ 不接受这个建议．
【解析】 （1）由题意可得：若当天只卖20杯，则利润 ξ=20×2-15×4=-20 元；同理可得若当天只卖出25杯、30杯、35杯的利润，即可得出 ξ 的分布列与Eζ；
（2）若店主每天准备40杯这款新品奶茶，若当天需求20杯，可得利润 η=20×2-20×4=-40 元， P(η=-40)=112；同理可得若当天只卖出25杯、30杯、35杯、 40杯的利润，即可得出 η 的分布列与Eη即可得出结论.
20.【答案】 （1）解：将2个相声节目进行捆绑，与其它3个节目形成4个元素，然后进行全排，
所以，排法种数为 A22A44=48 种；
（2）解：将2个相声节目插入其它3个节目所形成的4个空中，则排法种数为 A33A42=72 种；
（3）解：第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，则其它3个节目排在中间，进行全排，
由分步乘法计数原理可知，排法种数为 A32A33=36 种；、（4）前3个节目中要有相声节目，有多少种排法？
（要求：每小题都要有过程，且计算结果都用数字表示）
解：在5个节目进行全排的排法种数中减去前 3 个节目中没有相声节目的排法种数，
可得出前3个节目中要有相声节目的排法种数为 A55-A33A22=120-12=108 .
【解析】（1）将2个相声节目进行捆绑，与其它3个节目形成4个元素，利用捆绑法可求得排法种数；（2）将2个相声节目插入其它3个节目所形成的空中，利用插空法可求得排法种数；（3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，则3个节目排在中间，利用分步乘法计数原理可求得排法种数；（4）在5个节目进行全排的排法种数中减去前3个节目中没有相声节目的排法种数，由此可求得结果.