人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理习题，共12页。试卷主要包含了故答案为C等内容，欢迎下载使用。

专项训练
一、单选题（共12题；共60分）
1．把5名同学分配到图书馆、食堂、学生活动中心做志愿者，每个地方至少去一个同学，不同的安排方法共有（ ）种．
A．60B．72C．96D．150
2．从5名志愿者中选出4人分别到、、、四个部门工作，其中甲、乙两名志愿者不能到、二个部门工作，其他三人能到四个部门工作，则选派方案共有（ ）
A．120种B．24种C．18种D．36种
3．现有四名高三学生准备高考后到长三角城市群（包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”）旅游，假设每名学生均从上海市、江苏省、浙江省、安徽省这四个地方中随机选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（ ）．
A．420B．180C．64D．25
5．在第二届乌镇互联网大会中, 为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在、、三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有
A．种B．种
C．种D．种
6．用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域、、、、涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（ ）
A．120种B．720种C．840种D．960种
7．从20名同学中选派3人分别参加数学、物理学科竞赛，要求每科竞赛都有人参加，而且每人只能参加一科竞赛．记不同的选派方式有n种，则n的计算式可以是（ ）
A．B．C．D．
8．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）
A．48种B．72种C．96种D．144种
9．某晚会上某歌舞节目的表演者是3个女孩和4个男孩．演出结束后，7个人合影留念（3个人站在前排，4个人站在后排），其中男孩甲、乙要求站在一起，女孩丙不能站在两边，不同站法的种数为（ ）
A．96B．240C．288D．432
10．如图所示，将四棱锥S-ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种色可供使用，则不同的染色方法种数为（ ）
A．240B．360C．420D．960
11．用6个字母编拟某种信号程序（大小写有区别），把这6个字母全部排列如图所示的表格中，每个字母必须使用且只使用一次，不同的排列方式表示不同的信号，如果恰有一对字母（同一个字母的大小写）排到同一列的上下格位置，那么称此信号为“微错号”，则不同的“微错号”的总数为
A．144B．288C．432D．576
12．如图,用6种不同的颜色把图中A,B,C,D四块区域涂色分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同涂法的种数为( )
A．400B．460C．480D．496
二、填空题（共4题；共20分）
13．已知关于的方程有且仅有一个实数根，其中互不相同的实数、、、，且，则、、、的可能取值共有________种．（请用数字作答）
14．已知当|时，有，根据以上信息，若对任意都有则______．
15．给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有___种不同的染色方案.
16．如图，甲从A到B，乙从C到D，两人每次都只能向上或者向右走一格，如果两个人的线路不相交，则称这两个人的路径为一对孤立路，那么不同的孤立路一共有________对. （用数字作答）
三、解答题（共4题；共20分）
17．有四个编有1､2､3､4的四个不同的盒子，有编有1､2､3､4的四个不同的小球，现把四个小球逐个随机放入四个盒子里.
（1）小球全部放入盒子中有多少种不同的放法？
（2）在（1）的条件下求恰有一个盒子没放球的概率？
（3）若没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？
18．三个女生和五个男生排成一排.
（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法；
（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法.
19．用0，1，2，3，4，5这六个数字，完成下面三个小题．
（1）若数字允许重复，可以组成多少个不同的五位偶数；
（2）若数字不允许重复，可以组成多少个能被5整除的且百位数字不是3的不同的五位数；
（3）若直线方程中的a，b可以从已知的六个数字中任取2个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条?
20．冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病．而今年出现的新型冠状病毒（nCV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等．在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡．应国务院要求，黑龙江某医院选派医生参加援鄂医疗，该院呼吸内科有3名男医生，2名女医生，其中李亮（男）为科室主任；该院病毒感染科有2名男医生，2名女医生，其中张雅（女）为科室主任，现在院方决定从两科室中共选4人参加援鄂医疗（最后结果用数字表达）．
（1）若至多有1名主任参加，有多少种派法？
（2）若呼吸内科至少2名医生参加，有多少种派法？
（3）若至少有1名主任参加，且有女医生参加，有多少种派法？
参考答案
1．D
【详解】
5名同学分成组，有两种情况，故共有种分组方式，再将他们分配到图书馆、食堂、学生活动中心有种方式，根据分步乘法计数原理可知，不同的安排方法共有种．
故选：D．
2．D
【详解】
解：根据题意，分两种情况讨论：
①、甲、乙中只有1人被选中，需要从甲、乙中选出1人，到，中的一个部门，其他三人到剩余的部门，有种选派方案．
②、甲、乙两人都被选中，安排到，部门，从其他三人中选出2人，到剩余的部门，有种选派方案，
综上可得，共有24+12=36中不同的选派方案，
故选D．
3．B
【详解】
四名学生从四个地方任选一个共有种选法，
恰有一个地方未被选中，即有两位学生选了同一个地方，另外两名学生各去一个地方，
考虑先分堆在排序共有种，
所以恰有一个地方未被选中的概率为.
故选：B
4．B
【详解】
由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行
区域有5种涂法，有4种涂法，
，不同色，有3种，有2种涂法，有种，
，同色，有1种涂法，有3种涂法，有种，
共有180种不同的涂色方案．
故选：B．
5．D
【详解】
根据题意，分2步进行分析：
①、五个参会国要在a、b、c三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住，
∴可以把5个国家人分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2
当按照1、1、3来分时共有C53=10种分组方法；
当按照1、2、2来分时共有 种分组方法；
则一共有 种分组方法；
②、将分好的三组对应三家酒店，有 种对应方法；
则安排方法共有 种；
故选D．
6．D
【详解】
法一：有5种颜色可选，有4种颜色可选，有3种颜色可选，
若同色，有4种颜色可选；
若同色，有4种颜色可选；
若与、都不同色，则有2种颜色可选，此时有4种颜色可选，故共有种．
法二：当使用5种颜色时，有种涂色方法；
当使用4种颜色时，必有两块区域同色，可以是，，，，，共有种涂色方法；当使用3种颜色时，只能是同色且同色，同色且同色，同色，同色，共有种涂色方法，
∴共有种涂色方法.
故选：D.
7．B
【详解】
由题意，从20名同学中选派3人，共有种不同的选法，
又由要求每科竞赛都有人参加，而且每人只能参加一科竞赛，
可分为两类：
第一类：2人参加数学，1人参加物理竞赛，共有中不同的选法；
第二类：1人参加数学，2人参加物理竞赛，共有中不同的选法，
综上可得，不同的选派方式共有.
故选：B.
8．B
【详解】
解：根据题意，如图，假设5个区域依次为，分4步分析：
①，对于 区域，有4种涂法，
②，对于区域，与 相邻，有3种涂法，
③，对于区域，与 相邻，有2种涂法，
④，对于区域，若其与 区域同色，则 有2种涂法，
若 区域与 区域不同色，则 有1种涂法，则 区域有2+1＝3种涂色方法，
则不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72种；
故选： B．
9．D
【详解】
（1）男孩甲、乙站在前排，则女孩丙站在后排，前排的站法种数为，后排的站法种数为，此种情况共有种站法．
（2）男孩甲、乙站在后排，
①若女孩丙站在前排，则此时共有种站法，
②若女孩丙站在后排，则此时共有种站法．
综上，满足题意的站法共有（种）．
故选：D.
10．C
【详解】
由题设，四棱锥S-ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有种染色方法.
设5种颜色为1，2，3，4，5，当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，
若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；
若C染4，则D可染3或5，有2种染法，若C染5，则D可染3或4，有2种染法.
可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有（种）.
故选：C
11．B
【详解】
根据题意分析，分三步进行：（1）先选定排列到同一列上下格位置的一对字母，有种情况，再将其放入表格中，有种情况，再考虑这一对字母的顺序有种不同的顺序；
（2）再分析第二对字母，假设（1）中选定的为，则剩下的两组字母中选一组有种情况，再将其放入表格中有种不同结果，再考虑这一对字母的顺序有种不同的顺序；
（3）最后一对字母放入最后两个位置有种不同的排法.
所以共有个“微错号”.
故选：B.
12．C
【解析】
分析：本题是一个分类计数问题，只用三种颜色涂色时，有种方法，用四种颜色涂色时，有种方法，根据分类计数原理得到结果.
详解：只用三种颜色涂色时，有种方法，
用四种颜色涂色时，有种方法，
根据分类计数原理得不同涂法的种数为120+360=480.故答案为C.
13．
【详解】
方程有且只有一个实根，
由绝对值三角不等式可得，
，
因为，考虑，，
因为，，
作出函数与函数如下图所示：
则有或.
若，则的可能情况有：、、；
若，则可能的情况有：、；
若，则；
若，则.
考虑、的大小，有种情况；考虑、的大小，有种情况；考虑、的位置，有种情况.
综上所述，、、、的可能取值共有种.
故答案为：.
14．910
【详解】
解：当时，有，①
当时，有，②
又对任意，
都有，
即为的系数，
可取①中的，②中的1；或①中，②中的；
或①中的，②中的；或①中的，②中的；
，
故答案为：910．
15．96
【详解】
解：要完成给图中、、、、、六个区域进行染色，染色方法可分两类，第一类是仅用三种颜色染色，
即同色，同色，同色，则从四种颜色中取三种颜色有种取法，三种颜色染三个区域有种染法，共种染法；
第二类是用四种颜色染色，即，，中有一组不同色，则有3种方案不同色或不同色或不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，共有种染法．
由分类加法原理得总的染色种数为种．
故答案为：96．
16．1750
【详解】
甲从A到B，需要向右走4步，向上走4步，共需8步，所以从A到B共有种走法，
乙从C到D，需要向右走4步，向上走4步，共需8步，所以从A到B共有种走法，
根据分步乘法计数原理可知，共有不同路径对，
甲从A到D，需要向右走6步，向上走4步，共需10步，所以从A到D共有种走法,
乙从C到B，需要向右走2步，向上走4步，共需6步，所以从C到B共有种走法,
所以相交路径共有对，
因此不同的孤立路一共有对.
故答案为：1750
17．（1）种；（2）；（3）种.
【详解】
（1）每个球都有4种方法，故有种
（2）从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有种不同的放法.概率为：
（3）每个盒子不空，共有，种．
18．（1）4320；（2）14400
【详解】
（1）由题意，女生必须全排在一起，利用捆绑法
有种不同的排法；
（2）女生必须全分开，利用插空法
有种不同的排法
19．（1）3240个（2）174个（3）20条
【详解】
（1）由题意，数字允许重复，根据分步计数原理，
可得不同的五位偶数共有：(个)．
（2）当首位数字是5，而末位数字是0时，有(个)；
当首位数字是3，而末位数字是0或5时，有(个)；
当首位数字是1或2或4，而末位数字是0或5时，有(个)；
故共有(个)．
（3）分两类：第一类：当都不取0时，有(条)；
当与重复，
当与重复，
所以此时共有18条不同的直线；
第二类：当中有一个取0时，则不同的直线仅有和，有2条；
由分类计数原理，可得共有(条)．
20．（1）105种（2）105种（3）87种．
【详解】
（1）直接法：若无主任，若只有1名主任，共105种，
间接法：．
（2）直接法：，
间接法：．
（3）张雅既是主任，也是女医生．属于特殊元素，优先考虑，所以以是否有张雅来分类．
第一类：若有张雅，
第二类：若无张雅，则李亮必定去，共87种．