人教A版 (2019)选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布本章综合与测试综合训练题

2020—2021学年高二数学下学期  

第七章  随机变量及其分布

专项训练

一、单选题（共12题；共60分）

1．2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（COVID-19）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大，武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人.在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为，当时，最大，则（）

A． B． C． D．

2．设，随机变量的分布列如下：

当增大时，有（    ）

A．增大，先减小后增大 B．减小，减小

C．增大，先增大后减小 D．减小，增大

3．下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．

4．如图所示，高尔顿钉板是一个关于概率的模型，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间．小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落，当有大量的小球都滚下时，最终在钉板下面不同位置收集到小球．若一个小球从正上方落下，落到号位置的概率是（    ）

A． B． C． D．

5．已知随机变量的分布列如下表，若，则的最小值等于（    ）

A． B． C． D．

6．已知X的分布列为：

设，则Y的数学期望的值是（    ）

A． B． C．1 D．

7．已知，随机变量的分布列是

则随着的增大，（    ）

A．一直增大 B．一直减小

C．先增大后减小 D．先减小后增大

8．某地区共有高二学生5000人，该批学生某次数学考试的成绩服从正态分布，则成绩在分的人数大概是（    ）

附：，，.

A．107 B．679 C．2493 D．2386

9．下列判断错误的是（    ）

A．若随机变量服从正态分布，，则；

B．已知直线平面，直线平面，则“”是“”的必要不充分条件；

C．若随机变量服从二项分布：，则；

D．已知直线经过点，则的取值范围是

10．已知随机变量，的分布列如下表所示，其中．

若，则（    ）

A． B．

C． D．

11．盒中有5个小球，其中3个白球，2个黑球，从中任取个球，在取出的球中，黑球放回，白球涂黑后放回，此时盒中黑球的个数记为，则（    ）

A．，

B．，

C．，

D．，

12．一个盒子内装有3个红球，4个白球，从盒子中取出两个球，已知一个球是红球，则另一个也是红球的概率是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题（共4题；共20分）

13．有三个箱子，分别编号为、、.号箱装有个红球、个白球，号箱装有个红球、个白球，号箱装有个红球．某人从三个箱子中任取一箱，从中任意摸出一球，取得红球的概率为________．

14．加工某种零件需要两道工序，第一道工序出废品的概率为0.4，两道工序都出废品的概率为0.2，则在第一道工序出废品的条件下，第二道工序又出废品的概率为__________．

15．排球比赛实行“五局三胜制”．某次比赛中，中国女排和国女排相遇，统计以往数据可知，每局比赛中国女排获胜的概率为，国女排获胜的概率为，则中国女排在先输一局的情况下最终获胜的概率为________．

16．若随机变量的分布列如下表，且，则的值为________.

三、解答题（共4题；共20分）

17．某学校招聘在职教师，甲､乙两人同时应聘.应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率均为，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为，，，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为，，乙面试部分每个环节通过的概率依次为，，若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该学校的在职教师.甲､乙两人通过各个环节相互独立.

（1）求乙未能参与面试的概率；

（2）记甲本次应聘通过的环节数为，求的分布列以及数学期望；

（3）若该校仅招聘1名在职教师，试通过概率计算，判断甲､乙两人谁更有可能入职.

18．某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）．

（1）若每个元件正常工作的概率．

（i）当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和期望；

（ii）计算．

（2）已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了髙端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件髙端产品的利润是2元．请用表示出设备升级后单位时间内的利润（单位：元），在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润．

19．为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，完善学校体育“健康知识＋基本运动技能＋专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛－校级联赛－选拔性竞赛－国际交流比赛”为一体的竞赛体系，构建校、县（区）、地（市）、省、国家五级学校体育竞赛制度．某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱．其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为，乙每次踢球命中的概率为，且各次踢球互不影响．

（1）经过1轮踢球，记甲的得分为，求的数学期望；

（2）若经过轮踢球，用表示经过第轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率．

①求，，；

②规定，且有，请根据①中，，的值求出、，并求出数列的通项公式．

20．一支担负勘探任务的队伍有若干个勘探小组和两类勘探人员，甲类人员应用某种新型勘探技术的精准率为0.6，乙类人员应用这种勘探技术的精准率为.每个勘探小组配备1名甲类人员与2名乙类人员，假设在执行任务中每位人员均有一次应用这种技术的机会且互不影响，记在执行任务中每个勘探小组能精准应用这种新型技术的人员数量为.

（1）证明：在各个取值对应的概率中，概率的值最大；

（2）在特殊的勘探任务中，每次只能派一个勘探小组出发，工作时间不超过半小时，如果半小时内无法完成任务，则重新派另一组出发.现在有三个勘探小组可派出，若小组能完成特殊任务的概率t；，且各个小组能否完成任务相互独立.试分析以怎样的先后顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小.

参考答案

1．A

【详解】

解：设事件A：检测5个人确定为“感染高危户”，

事件B：检测6个人确定为“感染高危户”.

∴，.

即.

设，则

，

∴

，

当且仅当即时取等号，

即.

故选：A.

2．C

【详解】

，所以单调递增．

随机变量的分布列如下：

所以，

则．

因为，所以先增大后减小，

故选：C．

3．C

【详解】

对于A，由条件概率公式，可得，

而和不一定相等，故A不正确．

对于B，由于当为不可能事件时，，故B不正确．

对于C，由=知，，故C正确.

对于D，由，若与不互斥，则此值不等于（B），故D不正确．

故选：C.

4．C

【详解】

当小球经过第层时，第一次碰到钉子，向左或向右滚下的概率均为，所以，.

当小球经过第层时，共碰到次钉子，要使得小球经过第号通道，必须满足次向右、次向左滚下，所以，，同理可得.

要使得小球经过号位置（即第层号通道），可由第层号通道向右滚下、也可以由第层号通道向左滚下，

因此，.

故选：C.

5．A

【详解】

由分布列的性质可得，，所以，，则，

，

因此，的最小值为.

故选：A.

6．B

【详解】

由题意，根据分布列的性质，可得，解得，

所以随机变量的期望为，

又由，所以随机变量的期望为

故选：B.

7．C

【详解】

由题意可得，，则，，

所以，，

则

；

；

因为是两个相互独立的随机变量，

所以，

因为函数是开口向下，对称轴为的二次函数，且，

所以函数在上单调递增，在上单调递增，

因此随着的增大，先增大后减小.

故选：C.

8．A

【详解】

由学生某次数学考试的成绩服从正态分布N（60，82），得μ＝60，＝8，

∴成绩在76～84分的人数大概是5000×0.0214＝107．

故选：A．

9．B

【详解】

A选项：若随机变量服从正态分布，，根据正态分布曲线的对称性有，所以，A选项正确；

B选项：因为，直线平面，所以直线平面，又直线平面，所以，充分性成立，B不正确；

C选项：因为，所以，C正确；

D选项：由题意知，因为，，所以，当且仅当，时取等号，D正确，

故选：B.

10．C

【详解】

由分布列知，，

即，，即

所以，，

，

故选：

11．C

【详解】

，，

∵，∴ .

∵，，，

∴，

故选：C.

12．B

【详解】

取出两个球，设其中一个球是红球为事件，

则，

设取出的另一个球是红球为事件，则，

从盒子中取出两个球，已知一个球是红球，

则另一个也是红球的概率是．

故选：B

13．

【详解】

记事件为“球取自于号箱”，记事件为“取得红球”，

发生总是伴随着、、之一同时发生，即，

且、、两两互斥，

，，，，

所以，

.

故答案为：.

14．0.5

【详解】

分析：利用条件概率求解.

详解：设第一道工序出废品为事件 则 ，第二道工序出废品为事件，则根据题意可得，故在第一道工序出废品的条件下，第二道工序又出废品的概率

即答案为0.5

15．

【详解】

由题意可得：

（1）当中国队第4局胜了比赛，则需连胜3局，

；

（2）当中国队第5局胜了比赛，则需第5局胜，第2，3，4胜2局，

，

，

故答案为：.

16．

【详解】

解：由题意可得：，解得，

因为，所以：，解得．

．

．

故答案为：．

17．（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：；（3）甲更可能成为该校的在职教师.

【详解】

（1）若乙笔试部分三个环节一个都没有通过或只通过一个，则不能参与面试，故乙未能参与面试的概率.

（2）的可能取值为0，1，2，3，4，5，

，

，

，

，

，

.

则的分布列为

故.

（3）由（2）可知，甲成为在职教师的概率，

乙成为在职教师的概率.

因为，所以甲更可能成为该校的在职教师.

18．（1）（i）分布列见解析，数学期望为2；（ii）；（2）；分类讨论，答案见解析．

【详解】

（1）（i）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为0，1，2，3；

因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，

所以，

所以，

，

，

所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为

控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为；

（ii）由题意知：

；

（2）升级改造后单位时间内产量的分布列为

所以升级改造后单位时间内产量的期望为；

所以

设备升级后单位时间内的利润为

，即；

因为控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件，则第一类：原系统中至少有个元件正常工作，其概率为；

第二类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，其概率为

；

第三类：原系统中有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，其概率为

；

所以

，

即，

所以当时，，单调递增，

即增加元件个数设备正常工作的概率变大，

当时，，

即增加元件个数设备正常工作的概率没有变大，

又因为，

所以当时，设备可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润；

当时，设备不可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润．

19．（1）；（2）①，，；②，.

【详解】

（1）记一轮踢球，甲命中为事件，乙命中为事件，，相互独立．

由题意，，甲的得分的可能取值为，0，1．

，

．

，

∴的分布列为：

．

（2）①由（1），

．

经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得分．

∴，

②∵规定，且有，

∴代入得：，

∴，∴数列是等比数列，

公比为，首项为，∴．

∴．

20．（1）证明见解析；（2）按照完成任务概率从大到小的的先后顺序派出勘探小组.

【详解】

（1）由已知，的所有可能取值为0，1，2，3，

，

，

，

.

∵，

∴，

，

，

∴概率）的值最大.

（2）由（1）可知，当时，有的值最大，

且，

∴.

∴应当以的顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小，即优先派出完成任务概率大的小组可减少所需派出的小组个数的均值.

证明如下：

假定为的任意一个排列，即若三个小组按照某顺序派出，该顺序下三个小组能完成特殊任务的概率依次为，记在特殊勘探时所需派出的小组个数为，则，且的分布列为

∴数学期望.

下面证明成立，

∵

.

∴按照完成任务概率从大到小的的先后顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小.