2022年高考数学(文数)一轮考点精选练习21《平面向量的数量积及平面向量的应用》(含详解)

这是一份2022年高考数学(文数)一轮考点精选练习21《平面向量的数量积及平面向量的应用》(含详解)，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
已知△ABC中，AB=6，AC=3，N是边BC上的点，且eq \(BN,\s\up6(→))=2eq \(NC,\s\up6(→))，O为△ABC的外心，
则eq \(AN,\s\up6(→))·eq \(AO,\s\up6(→))的值为( )
A.8 B.10 C.18 D.9
已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)=0，
则|c|的最大值是( )
A.1 B.2 C.eq \r(2) D.eq \f(\r(2),2)
已知平面向量eq \(PA,\s\up7(―→))，eq \(PB,\s\up7(―→))满足|eq \(PA,\s\up7(―→))|=|eq \(PB,\s\up7(―→))|=1，eq \(PA,\s\up7(―→))·eq \(PB,\s\up7(―→))=－eq \f(1,2).若|eq \(BC,\s\up7(―→))|=1，
则|eq \(AC,\s\up7(―→))|的最大值为( )
A.eq \r(2)－1 B.eq \r(3)－1 C.eq \r(2)＋1 D.eq \r(3)＋1
若平面向量a=(－1,2)与b的夹角是180°，且|b|=3 eq \r(5)，则b的坐标为( )
A.(3，－6) B.(－3,6) C.(6，－3) D.(－6,3)
已知a，b，e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为eq \f(π,3)，向量b满足：
b2－4e·b＋3=0，则|a－b|的最小值是( )
A.eq \r(3)－1 B.eq \r(3)＋1 C.2 D.2－eq \r(3)
已知a=(cs α，sin α)，b=(cs(－α)，sin(－α))，那么a·b=0是α=kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
已知平面向量a，b的夹角为eq \f(π,3)，且a·(a－b)=2，|a|=2，则|b|等于( )
A.eq \r(2) B.2eq \r(3) C.4 D.2
设O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，点P是线段AB上的一个动点，eq \(AP,\s\up15(→))=λeq \(AB,\s\up15(→))，
若eq \(OP,\s\up15(→))·eq \(AB,\s\up15(→))≥eq \(PA,\s\up15(→))·eq \(PB,\s\up15(→))，则实数λ的取值范围是( )
A.eq \f(1,2)≤λ≤1 B.1－eq \f(\r(2),2)≤λ≤1
C.eq \f(1,2)≤λ≤1＋eq \f(\r(2),2) D.1－eq \f(\r(2),2)≤λ≤1＋eq \f(\r(2),2)
已知O是△ABC内一点，eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))=0，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))=2且∠BAC=60°，则△OBC面积为( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \r(3) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(2,3)
过点P(－1,1)作圆C：(x－t)2＋(y－t＋2)2=1(t∈R)的切线，切点分别为A，B，
则eq \(PA,\s\up7(―→))·eq \(PB,\s\up7(―→))的最小值为( )
A.eq \f(10,3) B.eq \f(40,3) C.eq \f(21,4) D.2eq \r(2)－3
若非零向量a、b满足|a|=2|b|=4，(a－2b)·a=0，则a在b方向上的投影为( )
A.4 B.8 C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,8)
已知两个单位向量a，b的夹角为120°，k∈R，则|a－kb|的最小值为( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(\r(3),2) C.1 D.eq \f(3,2)
二、填空题
已知|a|=2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x－a·b=0有两相等实根，则向量a与b的夹角是________.
若a，b，c是单位向量，且a·b=0，则(a－c)·(b－c)的最大值为________.
如图，在△ABC中，∠ABC=120°，BA=4，BC=2，D是AC边上一点，且eq \(DC,\s\up7(―→))=－eq \f(3,4)eq \(DA,\s\up7(―→))，
则eq \(BD,\s\up7(―→))·eq \(AC,\s\up7(―→))=________.
已知平面向量a，b满足|a|=|b|=1，a⊥(a－2b)，则|a＋b|= .
已知在直角梯形ABCD中，AB=AD=2CD=2，AB∥CD，∠ADC=90°，若点M在线段AC上，
则|eq \(MB,\s\up15(→))＋eq \(MD,\s\up15(→))|的取值范围为 .
已知△ABC是直角边长为2的等腰直角三角形，且A为直角顶点，P为平面ABC内一点，
则eq \(PA,\s\up6(→))·(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))的最小值是 .
\s 0 答案解析
答案为：D.
解析：由于eq \(BN,\s\up6(→))=2eq \(NC,\s\up6(→))，则eq \(AN,\s\up6(→))=eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，取AB的中点为E，连接OE，
由于O为△ABC的外心，则eq \(EO,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，∴eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))＋\(EO,\s\up6(→))))·eq \(AB,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))2=eq \f(1,2)×62=18，
同理可得eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AO,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))2=eq \f(1,2)×32=eq \f(9,2)，
所以eq \(AN,\s\up6(→))·eq \(AO,\s\up6(→))=(eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→)))·eq \(AO,\s\up6(→))=eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AO,\s\up6(→))=eq \f(1,3)×18＋eq \f(2,3)×eq \f(9,2)=6＋3=9，故选D.
答案为：C；
解析：设a=(1,0)，b=(0,1)，c=(x，y)，则
(a－c)·(b－c)=0，即(1－x，－y)·(－x,1－y)=0，
整理得(x－eq \f(1,2))2＋(y－eq \f(1,2))2=eq \f(1,2)，这是一个圆心坐标为(eq \f(1,2),eq \f(1,2))，半径为eq \f(\r(2),2)的圆，
所求的值等价于这个圆上的点到坐标原点的最大距离.根据图形可知，
这个最大距离是eq \r(2)，即所求的最大值为eq \r(2).
答案为：D；
解析：因为|eq \(PA,\s\up7(―→))|=|eq \(PB,\s\up7(―→))|=1，eq \(PA,\s\up7(―→))·eq \(PB,\s\up7(―→))=－eq \f(1,2)，所以cs ∠APB=－eq \f(1,2)，即∠APB=eq \f(2π,3)，
由余弦定理可得AB=eq \r(1＋1＋1)=eq \r(3).如图，建立平面直角坐标系，
则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，0))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，0))，由题设点C(x，y)在以Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，0))为圆心，
半径为1的圆上运动，结合图形可知，点C(x，y)运动到点D时，
有|AC|max=|AD|=|AB|＋1=eq \r(3)＋1.故选D.
答案为：A
解析：由题意设b=λa=(－λ，2λ)(λ＜0)，而|b|=3eq \r(5)，
则eq \r(－λ2＋2λ2)=3eq \r(5)，所以λ=－3，b=(3，－6).故选A.
答案为：A.
解析：解法1：设O为坐标原点，a=eq \(OA,\s\up6(→))，b=eq \(OB,\s\up6(→))=(x，y)，e=(1,0)，
由b2－4e·b＋3=0得x2＋y2－4x＋3=0，即(x－2)2＋y2=1，
所以点B的轨迹是以C(2,0)为圆心，1为半径的圆.

因为a与e的夹角为eq \f(π,3)，所以不妨令点A在射线y=eq \r(3)x(x>0)上，
如图，数形结合可知|a－b|min=|eq \(CA,\s\up6(→))|－|eq \(CB,\s\up6(→))|=eq \r(3)－1.故选A.
解法2：由b2－4e·b＋3=0得b2－4e·b＋3e2=(b－e)·(b－3e)=0.
设b=eq \(OB,\s\up6(→))，e=eq \(OE,\s\up6(→))，3e=eq \(OF,\s\up6(→))，所以b－e=eq \(EB,\s\up6(→))，b－3e=eq \(FB,\s\up6(→))，所以eq \(EB,\s\up6(→))·eq \(FB,\s\up6(→))=0，取EF的中点为C，
则B在以C为圆心，EF为直径的圆上，如图.设a=eq \(OA,\s\up6(→))，作射线OA，使得∠AOE=eq \f(π,3)，
所以|a－b|=|(a－2e)＋(2e－b)|≥|a－2e|－|2e－b|=|eq \(CA,\s\up6(→))|－|eq \(BC,\s\up6(→))|≥eq \r(3)－1.故选A.
答案为：B；
解析：a·b=cs α·cs(－α)＋sin α·sin(－α)=cs2α－sin2α=cs 2α，
若a·b=0，则cs 2α=0，∴2α=2kπ±eq \f(π,2)(k∈Z)，解得α=kπ±eq \f(π,4)(k∈Z).
∴a·b=0是α=kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)的必要不充分条件.故选B.
答案为：D.
解析：因为a·(a－b)=2，所以a2－a·b=2，即|a|2－|a||b|cs〈a，b〉=2，
所以4－2|b|×eq \f(1,2)=2，解得|b|=2.
答案为：B；
解析：因为eq \(AP,\s\up15(→))=λeq \(AB,\s\up15(→))，eq \(OP,\s\up15(→))=(1－λ，λ)，eq \(AP,\s\up15(→))=λeq \(AB,\s\up15(→))=(－λ，λ)，eq \(OP,\s\up15(→))·eq \(AB,\s\up15(→))≥eq \(PA,\s\up15(→))·eq \(PB,\s\up15(→))，
所以(1－λ，λ)·(－1,1)≥(λ，－λ)·(λ－1,1－λ)，
所以2λ2－4λ＋1≤0，解得1－eq \f(\r(2),2)≤λ≤1＋eq \f(\r(2),2)，
因为点P是线段AB上的一个动点，所以0≤λ≤1，
即满足条件的实数λ的取值范围是1－eq \f(\r(2),2)≤λ≤1.
答案为：A.
解析：∵eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))=0，∴O是△ABC的重心，于是S△OBC=eq \f(1,3)S△ABC.
∵eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))=2，∴|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|·cs∠BAC=2，∵∠BAC=60°，∴|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|=4.
又S△ABC=eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|sin∠BAC=eq \r(3)，∴△OBC的面积为eq \f(\r(3),3)，故选A.
答案为：C；
解析：观察圆C的方程可知，圆心C在直线y=x－2上运动，
则|PC|≥eq \f(|－1－1－2|,\r(12＋－12))=2eq \r(2).设∠CPA=θ，则eq \(PA,\s\up7(―→))·eq \(PB,\s\up7(―→))=|eq \(PA,\s\up7(―→))||eq \(PB,\s\up7(―→))|cs 2θ
=|eq \(PA,\s\up7(―→))|2(2cs2θ－1)=(|eq \(PC,\s\up7(―→))|2－1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(|eq \(PA,\s\up7(―→))|2,|eq \(PC,\s\up7(―→))|2)－1))=(|eq \(PC,\s\up7(―→))|2－1)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,|eq \(PC,\s\up7(―→))|2)))
=|eq \(PC,\s\up7(―→))|2＋eq \f(2,|eq \(PC,\s\up7(―→))|2)－3，令|eq \(PC,\s\up7(―→))|2=x，设y=x＋eq \f(2,x)－3，
则y=x＋eq \f(2,x)－3在[8，＋∞)上为增函数，故eq \(PA,\s\up7(―→))·eq \(PB,\s\up7(―→))≥8＋eq \f(2,8)－3=eq \f(21,4)，故选C.
答案为：A；
解析：由(a－2b)·a=a2－2a·b=0，得a·b=eq \f(a2,2)=eq \f(|a|2,2)=8，
从而a在b方向上的投影为eq \f(a·b,|b|)=eq \f(8,2)=4，故选A.
答案为：B.
解析：∵两个单位向量a，b的夹角为120°，∴|a|=|b|=1，a·b=－eq \f(1,2)，
∴|a－kb|=eq \r(a2－2ka·b＋k2b2)=eq \r(1＋k＋k2)=eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k＋\f(1,2)))2＋\f(3,4))，
∵k∈R，∴当k=－eq \f(1,2)时，|a－kb|取得最小值eq \f(\r(3),2)，故选B.
答案为：eq \f(2π,3).
解析：由已知可得Δ=|a|2＋4a·b=0，即4|b|2＋4×2|b|2cs θ=0，所以cs θ=－eq \f(1,2)，
又因为0≤θ≤π，所以θ=eq \f(2π,3).
答案为：1＋eq \r(2).
解析：依题意可设a=(1,0)，b=(0,1)，c=(cs θ，sin θ)，
则(a－c)·(b－c)=1－(sin θ＋cs θ)=1－eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))，
所以(a－c)·(b－c)的最大值为1＋eq \r(2).
答案为：－4.
解析：根据题意得eq \(BD,\s\up7(―→))·eq \(AC,\s\up7(―→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,7)eq \(BA,\s\up7(―→))＋\f(4,7) eq \(BC,\s\up7(―→))))·(eq \(BC,\s\up7(―→))－eq \(BA,\s\up7(―→)))
=eq \f(3,7)eq \(BA,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))－eq \f(3,7)×16＋eq \f(4,7)×4－eq \f(4,7)eq \(BA,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))=－eq \f(1,7)eq \(BA,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))－eq \f(32,7)
=－eq \f(1,7)×4×2×cs 120°－eq \f(32,7)=－4.
答案为：eq \r(3).
解析：∵a⊥(a－2b)，∴a·(a－2b)=0，解得2a·b=1，
∴|a＋b|=eq \r(|a|2＋|b|2＋2a·b)=eq \r(3).
答案为：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)，2\r(2))).
解析：建立如图所示的平面直角坐标系.
则A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，D(0,2)，
设eq \(AM,\s\up15(→))=λeq \(AC,\s\up15(→))(0≤λ≤1)，
则M(λ，2λ)，故eq \(MD,\s\up15(→))=(－λ，2－2λ)，eq \(MB,\s\up15(→))=(2－λ，－2λ)，
则eq \(MB,\s\up15(→))＋eq \(MD,\s\up15(→))=(2－2λ，2－4λ)，
|eq \(MB,\s\up15(→))＋eq \(MD,\s\up15(→))|=eq \r(2－2λ2＋2－4λ2)= eq \r(20\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－\f(3,5)))2＋\f(4,5))，
当λ=0时，|eq \(MB,\s\up15(→))＋eq \(MD,\s\up15(→))|取得最大值2eq \r(2)，
当λ=eq \f(3,5)时，|eq \(MB,\s\up15(→))＋eq \(MD,\s\up15(→))|取得最小值为eq \f(2\r(5),5)，∴|eq \(MB,\s\up15(→))＋eq \(MD,\s\up15(→))|∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)，2\r(2))).
答案为：-1.
解析：解法1：如图，以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(0,2)，
设P(x，y)，则eq \(PA,\s\up6(→))=(－x，－y)，eq \(PB,\s\up6(→))=(2－x，－y)，eq \(PC,\s\up6(→))=(－x,2－y)，
eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))=(2－2x,2－2y)，∴eq \(PA,\s\up6(→))·(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))=－x(2－2x)－y(2－2y)
=2(x－eq \f(1,2))2＋2(y－eq \f(1,2))2－1≥－1(当且仅当x=y=eq \f(1,2)时等号成立)，
∴eq \(PA,\s\up6(→))·(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))的最小值为－1.