2022年高考数学(文数)一轮考点精选练习20《平面向量基本定理及其坐标表示》(含详解)

这是一份2022年高考数学(文数)一轮考点精选练习20《平面向量基本定理及其坐标表示》(含详解)，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
设向量a=(1，－3)，b=(－2,4)，c=(－1，－2).若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，
d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d=( )
A.(2,6) B.(－2,6) C.(2，－6) D.(－2，－6)
已知点A(－1,5)和向量a=(2,3)，若eq \(AB,\s\up6(→))=3a，则点B的坐标为( )
A.(7,4) B.(7,14) C.(5,4) D.(5,14)
已知向量a=(x，1)，b=(1，y)，c=(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|=( )
A.eq \r(5) B.eq \r(10) C.2eq \r(5) D.10
已知角α的顶点为坐标原点O，始边为x轴正半轴，终边在第二象限，A(x，y)是其终边上一点，向量m=(3，4)，若m⊥eq \(OA,\s\up6(→))，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))=( )
A.7 B.－eq \f(1,7) C.－7 D.eq \f(1,7)
已知向量a=(5,2)，b=(－4，－3)，c=(x，y).若3a－2b＋c=0，则c=( )
A.(－23，－12) B.(23,12) C.(7,0) D.(－7,0)
若AC为平行四边形ABCD的一条对角线，eq \(AB,\s\up15(→))=(3,5)，eq \(AC,\s\up15(→))=(2,4)，则eq \(AD,\s\up15(→))=( )
A.(－1，－1) B.(5,9) C.(1,1) D.(3,5)
已知点A(－1,2)，B(2,8)，eq \(AC,\s\up6(→))=eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(DA,\s\up6(→))=－eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up6(→))，则eq \(CD,\s\up6(→))的坐标为 .
如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若eq \(DE,\s\up6(→))=λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于( )
A.eq \f(5,8) B.eq \f(1,4) C.1 D.eq \f(5,16)
已知向量a=(－1,2)，b=(3，m)，m∈R，则“m=－6”是“a∥(a＋b)”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
设向量eq \(OA,\s\up6(→))=(1，－2)，eq \(OB,\s\up6(→))=(a，－1)，eq \(OC,\s\up6(→))=(－b,0)，其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A，B，C三点共线，则eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值为( )
A.4 B.6 C.8 D.9
已知向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))满足|eq \(OA,\s\up6(→))|=|eq \(OB,\s\up6(→))|=1，eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))=λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R).若M为AB的中点，并且|eq \(MC,\s\up6(→))|=1，则λ＋μ的最大值是( )
A.1－eq \r(3) B.1＋eq \r(2) C.eq \r(5) D.1＋eq \r(3)
已知G为△ADE的重心，点P为△DEG内一点(含边界)，B，C分别为AD，AE上的三等分点(B，C均靠近点A)，若eq \(AP,\s\up6(→))=αeq \(AB,\s\up6(→))＋βeq \(AC,\s\up6(→))(α，β∈R)，则α＋eq \f(1,2)β的取值范围是( )
A.[1,2] B.[1,eq \f(3,2)] C.[eq \f(3,2),2] D.[eq \f(3,2),3]
二、填空题
若A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)三点共线，则实数a的值为________.
已知在平面直角坐标系xOy中，P1(3,1)，P2(－1,3)，P1，P2，P3三点共线且向量eq \(OP3,\s\up6(→))与向量a=(1，－1)共线，若eq \(OP3,\s\up6(→))=λeq \(OP1,\s\up6(→))＋(1－λ)eq \(OP2,\s\up6(→))，则λ= .
已知向量a=(x,2)，b=(4，y)，c=(x，y)(x>0，y>0)，若a∥b，则|c|的最小值为 .
如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近点A的四等分点，若eq \(AP,\s\up6(→))=(m+eq \f(1,10))eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,10)eq \(BC,\s\up6(→))，则m= .
P={a|a=(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q={b|b=(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是两个向量集合，
则P∩Q=________.
矩形ABCD中，AB=3，AD=2，P为矩形内部一点，且AP=1，若eq \(AP,\s\up6(→))=xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AD,\s\up6(→))，则3x＋2y的取值范围是 .
\s 0 答案解析
答案为：D
解析：设d=(x，y)，由题意知4a=4(1，－3)=(4，－12)，4b－2c=4(－2,4)－2(－1，－2)
=(－6,20)，2(a－c)=2[(1，－3)－(－1，－2)]=(4，－2).
又4a＋(4b－2c)＋2(a－c)＋d=0，
所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x，y)=(0,0)，
解得x=－2，y=－6，所以d=(－2，－6).
答案为：D.
解析：设点B的坐标为(x，y)，则eq \(AB,\s\up6(→))=(x＋1，y－5).由eq \(AB,\s\up6(→))=3a，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1＝6，,y－5＝9，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝14，))即B(5,14).
答案为：B；
解析：因为向量a=(x，1)，b=(1，y)，c=(2，－4)，且a⊥c，b∥c，
所以2x－4=0，2y=－4，解得x=2，y=－2，所以a=(2，1)，b=(1，－2)，
所以a＋b=(3，－1)，所以|a＋b|= eq \r(32＋（－1）2)=eq \r(10).
答案为：D；
解析：由m⊥eq \(OA,\s\up6(→))，得3x＋4y=0，即y=－eq \f(3,4)x，所以tan α=－eq \f(3,4)，
taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))=eq \f(tan α＋tan \f(π,4),1－tan αtan\f(π,4))=eq \f(tan α＋1,1－tan α)=eq \f(1,7).
答案为：A
解析：由题意可得3a－2b＋c=3(5,2)－2(－4，－3)＋(x，y)=(23＋x，12＋y)=(0,0)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(23＋x＝0，,12＋y＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－23，,y＝－12，))所以c=(－23，－12).
答案为：A
解析：由题意可得eq \(AD,\s\up15(→))=eq \(BC,\s\up15(→))=eq \(AC,\s\up15(→))－eq \(AB,\s\up15(→))=(2,4)－(3,5)=(－1，－1).
答案为：(－2，－4).；
解析：设点C，D的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2).
由题意得eq \(AC,\s\up6(→))=(x1＋1，y1－2)，eq \(AB,\s\up6(→))=(3,6)，
eq \(DA,\s\up6(→))=(－1－x2,2－y2)，eq \(BA,\s\up6(→))=(－3，－6).
因为eq \(AC,\s\up6(→))=eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(DA,\s\up6(→))=－eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up6(→))，
所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋1＝1，,y1－2＝2))和eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1－x2＝1，,2－y2＝2.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝0，,y1＝4)) 和eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝－2，,y2＝0.))
所以点C，D的坐标分别为(0,4)，(－2,0)，从而eq \(CD,\s\up6(→))=(－2，－4).
答案为：A；
解析：eq \(DE,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(DO,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(DB,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)(eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))=eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))，
所以λ=eq \f(1,4)，μ=－eq \f(3,4)，故λ2＋μ2=eq \f(5,8)，故选A.
答案为：A；
解析：由题意得a＋b=(2,2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)=2×2，
所以m=－6，则“m=－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件，故选A.
答案为：C；
解析：∵eq \(OA,\s\up6(→))=(1，－2)，eq \(OB,\s\up6(→))=(a，－1)，eq \(OC,\s\up6(→))=(－b,0)，
∴eq \(AB,\s\up6(→))=eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))=(a－1,1)，eq \(AC,\s\up6(→))=eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))=(－b－1,2)，
∵A，B，C三点共线，∴eq \(AB,\s\up6(→))=λeq \(AC,\s\up6(→))，即(a－1,1)=λ(－b－1,2)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－1＝λ－b－1，,1＝2λ，))可得2a＋b=1.
∵a＞0，b＞0，∴eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(2,b)))(2a＋b)=2＋2＋eq \f(b,a)＋eq \f(4a,b)≥4＋2eq \r(\f(b,a)·\f(4a,b))=8，
当且仅当eq \f(b,a)=eq \f(4a,b)，即a=eq \f(1,4)，b=eq \f(1,2)时取等号，故eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值为8，故选C.
答案为：B.
解析：因为向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))满足|eq \(OA,\s\up6(→))|=|eq \(OB,\s\up6(→))|=1，eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(OB,\s\up6(→))，
所以可以分别以eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B(0,1).
又因为M为AB的中点，所以M(eq \f(1,2)，eq \f(1,2)).因为eq \(OC,\s\up6(→))=λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，
所以eq \(OC,\s\up6(→))=λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))=λ(1,0)＋μ(0,1)=(λ，μ)，即点C(λ，μ).
所以eq \(MC,\s\up6(→))=(λ-eq \f(1,2),μ-eq \f(1,2)).因为|eq \(MC,\s\up6(→))|=1，所以(λ-eq \f(1,2))2＋(μ-eq \f(1,2))2=1，
即点C(λ，μ)在以(eq \f(1,2)，eq \f(1,2))为圆心，1为半径的圆上.令t=λ＋μ，
则直线λ＋μ－t=0与此圆有公共点，所以d=eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(1,2)－t)),\r(2))≤1，
解得－eq \r(2)＋1≤t≤eq \r(2)＋1，即λ＋μ的最大值是1＋eq \r(2).故选B.
答案为：D.
解析：由题意可知，点P位于D，E，G三点时，α＋eq \f(1,2)β取得最值.
当点P在点D处时，α=3，β=0，则α＋eq \f(1,2)β=3；
当点P在点E处时，α=0，β=3，则α＋eq \f(1,2)β=eq \f(3,2)；
当点P在点G处时，α=1，β=1，则α＋eq \f(1,2)β=eq \f(3,2).故选D.
答案为：－eq \f(5,4).
解析：eq \(AB,\s\up15(→))=(a－1,3)，eq \(AC,\s\up15(→))=(－3,4)，由题意知eq \(AB,\s\up15(→))∥eq \(AC,\s\up15(→))，
∴4(a－1)=3×(－3)，即4a=－5，∴a=－eq \f(5,4).
答案为：－1.
解析：设eq \(OP3,\s\up6(→))=(x，y)，则由eq \(OP3,\s\up6(→))∥a知x＋y=0，于是eq \(OP3,\s\up6(→))=(x，－x).
若eq \(OP3,\s\up6(→))=λeq \(OP1,\s\up6(→))＋(1－λ)eq \(OP2,\s\up6(→))，
则有(x，－x)=λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)=(4λ－1,3－2λ)，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4λ－1＝x，,3－2λ＝－x，))所以4λ－1＋3－2λ=0，解得λ=－1.
答案为：4.
解析：a∥b⇒xy=8，所以|c|=eq \r(x2＋y2)≥eq \r(2xy)=4(当且仅当x=y=2eq \r(2)时取等号).
答案为：eq \f(3,5).
解析：由已知，得eq \(AN,\s\up6(→))=eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))=eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))=4eq \(AN,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))，因为eq \(AP,\s\up6(→))=(m+eq \f(1,10))eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,10)eq \(BC,\s\up6(→))，
所以eq \(AP,\s\up6(→))=(m+eq \f(1,10))eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,10)(4eq \(AN,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))=meq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,5)eq \(AN,\s\up6(→)).
因为B，P，N三点共线，所以m＋eq \f(2,5)=1，m=eq \f(3,5).
答案为：{(－13，－23)}
解析：集合P中，a=(－1＋m,1＋2m)，集合Q中，b=(1＋2n，－2＋3n).
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1＋m＝1＋2n，,1＋2m＝－2＋3n.))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－12，,n＝－7.))此时a=b=(－13，－23).
答案为：(1，eq \r(2)].
解析：设点P在AB上的射影为Q，∠PAQ=θ，
则eq \(AP,\s\up6(→))=eq \(AQ,\s\up6(→))＋eq \(QP,\s\up6(→))，且|eq \(AQ,\s\up6(→))|=csθ，|eq \(QP,\s\up6(→))|=sinθ.
又eq \(AQ,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))共线，eq \(QP,\s\up6(→))与eq \(AD,\s\up6(→))共线，故eq \(AQ,\s\up6(→))=eq \f(csθ,3)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(QP,\s\up6(→))=eq \f(sinθ,2)eq \(AD,\s\up6(→))，
从而eq \(AP,\s\up6(→))=eq \f(csθ,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(sinθ,2)eq \(AD,\s\up6(→))，故x=eq \f(csθ,3)，y=eq \f(sinθ,2)，
因此3x＋2y=csθ＋sinθ=eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))，
又θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，故3x＋2y的取值范围是(1，eq \r(2)].