2022年高考数学(文数)一轮考点精选练习34《直线、平面垂直的判定与性质》(含详解)

这是一份2022年高考数学(文数)一轮考点精选练习34《直线、平面垂直的判定与性质》(含详解)，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
对于四面体ABCD，给出下列四个命题：
①若AB=AC，BD=CD，则BC⊥AD；
②若AB=CD，AC=BD，则BC⊥AD；
③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；
④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD.
其中为真命题的是( )
A.①② B.②③ C.②④ D.①④
如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，下面结论错误的是( )
A.BD∥平面CB1D1
B.异面直线AD与CB1所成的角为45°
C.AC1⊥平面CB1D1
D.AC1与平面ABCD所成的角为30°
已知两条不重合的直线m，n和两个不重合的平面α，β，m⊥α，n⊂β.给出下列四个命题：
①若α∥β，则m⊥n；
②若m⊥n，则α∥β；
③若m∥n，则α⊥β；
④若α⊥β，则m∥n.
其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )
A.AB∥m B.AC⊥m C.AB∥β D.AC⊥β
如图，在三棱锥P­ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是( )
A.AP⊥PB，AP⊥PC
B.AP⊥PB，BC⊥PB
C.平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC
D.AP⊥平面PBC
如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：
①直线BE与直线CF异面；
②直线BE与直线AF异面；
③直线EF∥平面PBC；
④平面BCE⊥平面PAD.
其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有( )
A.AH⊥平面EFH B.AG⊥平面EFH C.HF⊥平面AEF D.HG⊥平面AEF
设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A.若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
B.若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
C.若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β
D.若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列说法错误的是( )
A.若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥b
B.若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β
C.若a⊥α，a⊥b，α∥β，则b∥β
D.若α∩β=a，a∥b，则b∥α或b∥β
已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m，n，有下列四个命题：
①若m∥n，m⊥α，则n⊥α；
②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
③若m，n与α所成的角相等，则m∥n；
④若m∥α，α∩β=n，则m∥n.
其中正确命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
设α为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( )
A.若a∥α，b∥α，则a∥b
B.若a⊥α，a∥b，则b⊥α
C.若a⊥α，a⊥b，则b∥α
D.若a∥α，a⊥b，则b⊥α
已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F，G分别是线段DC，D1D和D1B上的动点.
给出下列结论：
①对于任意给定的点E，存在点F，使得AF⊥A1E；
②对于任意给定的点F，存在点E，使得AF⊥A1E；
③对于任意给定的点G，存在点F，使得AF⊥B1G；
④对于任意给定的点F，存在点G，使得AF⊥B1G.
其中正确结论的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
二、填空题
如图，∠BAC=90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC和△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________________；与AP垂直的直线有______________.
如图，已知∠BAC=90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有 ；与AP垂直的直线有 .
α，β是两平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β=EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF.现有下列条件：
①AC⊥β；
②AC与α，β所成的角相等；
③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；
④AC∥EF.
其中能成为增加条件的序号是 .
若α，β是两个相交平面，m为一条直线，则下列命题中，所有真命题的序号为________.
①若m⊥α，则在β内一定不存在与m平行的直线；
②若m⊥α，则在β内一定存在无数条直线与m垂直；
③若m⊂α，则在β内不一定存在与m垂直的直线；
④若m⊂α，则在β内一定存在与m垂直的直线.
若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的余弦值为________.
已知三棱锥S­ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB=2，SA=SB=SC=2，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离是________.
\s 0 答案解析
答案为：D
解析：①如图，
取BC的中点M，连接AM，DM，由AB=AC⇒AM⊥BC，同理DM⊥BC⇒BC⊥平面AMD，
而AD⊂平面AMD，故BC⊥AD.④设A在平面BCD内的射影为O，连接BO，CO，DO(图略)，
由AB⊥CD⇒BO⊥CD，由AC⊥BD⇒CO⊥BD⇒O为△BCD的垂心⇒DO⊥BC⇒AD⊥BC.故选D.
答案为：D.
解析：因为BD∥B1D1，所以BD∥平面CB1D1，A不符合题意；因为AD∥BC，所以异面直线AD与CB1所成的角为∠BCB1=45°，B不符合题意；因为AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，所以AC1⊥平面CB1D1，C不符合题意；AC1与平面ABCD所成的角为∠CAC1≠30°，故选D.
答案为：C；
解析：依题意，对于①，由“若一条直线与两个平行平面中的一个垂直，则该直线也垂直于另一个平面”得知，m⊥β，又n⊂β，因此m⊥n，①正确；对于②，当α⊥β时，设α∩β=n，在平面β内作直线m⊥n，则有m⊥α，因此②不正确；对于③，由m∥n，m⊥α得n⊥α，又n⊂β，因此有α⊥β，③正确；对于④，当m⊥α，α∩β=n，α⊥β时，直线m，n不平行，因此④不正确.综上所述，正确命题的个数为2，故选C.
答案为：D；
解析：因为直线m∥α，m∥β，α∩β=l，所以m∥l，所以AB∥m正确，AC⊥m正确；根据线面平行的判定定理可得AB∥β正确；当直线AC不在平面α内时，尽管AC⊥l，AC与平面β可以平行，也可以相交(不垂直)，所以AC⊥β不一定成立.故选D.
答案为：B.
解析：A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC=P，所以AP⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A能证明AP⊥BC；C中，因为平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，又AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C能证明AP⊥BC；由A知D能证明AP⊥BC；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.
答案为：B；
解析：画出该几何体，如图所示，
①因为E，F分别是PA，PD的中点，所以EF∥AD，所以EF∥BC，
直线BE与直线CF是共面直线，故①不正确；
②直线BE与直线AF满足异面直线的定义，故②正确；
③由E，F分别是PA，PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，
因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以直线EF∥平面PBC，故③正确；
④因为BE与PA的关系不能确定，所以不能判定平面BCE⊥平面PAD，故④不正确.
所以正确结论的个数是2.
答案为：A
解析：由平面图形可得AH⊥HE，AH⊥HF，又HE∩HF=H，∴AH⊥平面HEF.故选A.
答案为：B；
解析：若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n∥β，∴α⊥β，故B正确；若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β的位置关系不确定，故C错误；若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n异面，故D错误，故选B.
答案为：C；
解析：对于A，若a⊥α，α∥β，则α⊥β，又b⊥β，故a∥b，故A正确；
对于B，若a⊥α，a⊥b，则b⊂α或b∥α，∴存在直线m⊂α，使得m∥b，
又b⊥β，∴m⊥β，∴α⊥β.故B正确；
对于C，若a⊥α，a⊥b，则b⊂α或b∥α，又α∥β，∴b⊂β或b∥β，故C错误；
对于D，若α∩β=a，a∥b，则b∥α或b∥β，故D正确，故选C.
答案为：B
解析：对于①，若m∥n，m⊥α，则n⊥α，故该命题为真命题；对于②，若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故该命题为真命题；对于③，若m，n与α所成的角相等，则m与n可能平行、相交或异面，故该命题为假命题；对于④，若m∥α，α∩β=n，则m与n的位置关系不确定，故该命题为假命题.故选答案为：B.
答案为：B.
解析：若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；易知B正确；
若a⊥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α，故C错误；
若a∥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α或b与α相交，故D错误.
答案为：C；
解析：由DE⊥平面A1D，根据三垂线定理，①对于任意给定的点E，A1E在平面A1D的射影为A1D，所以存在点F，使得AF⊥A1E，所以①正确；②如果对于任意给定的点F，存在点E，使得AF⊥A1E，那么，由A1D⊥AD1，可知过A有两条直线与A1D垂直，故②错误；③只有AF垂直B1G在平面AD1的射影时，AF⊥B1G，故③正确；④只有AF⊥平面BB1D1D时，④才正确，AF与平面BB1D1D不垂直，故④错误.
答案为：AB，BC，AC AB
解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC；
∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC=C，∴AB⊥平面PAC.∴与AP垂直的直线是AB.
答案为：AB，BC，AC；AB.
解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC.
∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC=C，∴AB⊥平面PAC，
又∵AP⊂平面PAC，∴AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.
答案为：①③；
解析：由题意得，AB∥CD，∴A，B，C，D四点共面.
①中，∵AC⊥β，EF⊂β，∴AC⊥EF，
又∵AB⊥α，EF⊂α，∴AB⊥EF，
∵AB∩AC=A，∴EF⊥平面ABCD，
又∵BD⊂平面ABCD，∴BD⊥EF，故①正确；
②不能得到BD⊥EF，故②错误；
③中，由AC与CD在β内的射影在同一条直线上可知平面ABCD⊥β，
又AB⊥α，AB⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥α.
∵平面ABCD⊥α，平面ABCD⊥β，α∩β=EF，
∴EF⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，
∴BD⊥EF，故③正确；
④中，由①知，若BD⊥EF，则EF⊥平面ABCD，
则EF⊥AC，故④错误，故填①③.
答案为：②④
解析：对于①，若m⊥α，如果α，β互相垂直，则在平面β内存在与m平行的直线，故①错误；对于②，若m⊥α，则m垂直于平面α内的所有直线，故在平面β内一定存在无数条直线与m垂直，故②正确；对于③④，若m⊂α，则在平面β内一定存在与m垂直的直线，故③错误，④正确.
答案为：eq \f(1,3).
解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意πrl=3πr2，即l=3r，
母线与底面夹角为θ，则cs θ=eq \f(r,l)=eq \f(1,3).
答案为：eq \f(\r(3),3).
解析：因为三棱锥S­ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，
∴S在平面ABC内的射影为AB中点，记为H，连接CH，SH，∴SH⊥平面ABC，
∴SH上任意一点到A，B，C的距离相等，∴三棱锥的外接球的球心在线段SH上，
记为O，连接OC，设外接球的半径为R，则SO=OC=R=eq \r(3)－OH，在△OCH中，
由OH2＋HC2=OC2，得OH2=(eq \r(3)－OH)2－12，得OH=eq \f(\r(3),3)，
故外接球的球心到平面ABC的距离是eq \f(\r(3),3).