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2022年高考数学(文数)一轮考点精选练习29《基本不等式》(含详解)
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这是一份2022年高考数学(文数)一轮考点精选练习29《基本不等式》(含详解),共5页。试卷主要包含了选择题,填空题等内容,欢迎下载使用。
一、选择题
已知第一象限的点(a,b)在直线2x+3y-1=0上,则代数式eq \f(2,a)+eq \f(3,b)的最小值为( )
A.24 B.25 C.26 D.27
若实数a,b满足eq \f(1,a)+eq \f(2,b)=eq \r(ab),则ab的最小值为( )
A.eq \r(2) B.2 C.2eq \r(2) D.4
若正数x,y满足4x2+9y2+3xy=30,则xy的最大值是( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(5,3) C.2 D.eq \f(5,4)
已知x>0,y>0,且4x+y=xy,则x+y的最小值为( )
A.8 B.9 C.12 D.16
若a>b>1,P=eq \r(lg a·lg b),Q=eq \f(1,2)(lg a+lg b),R=lgeq \f(a+b,2),则( )
A.R<P<Q B.Q<P<R C.P<Q<R D.P<R<Q
设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且C=eq \f(π,6),a+b=12,则△ABC面积的最大值为( )
A.8 B.9 C.16 D.21
下列不等式一定成立的是( )
A.lg(x2+eq \f(1,4))>lgx(x>0)
B.sinx+eq \f(1,sinx)≥2(x≠kπ,k∈Z)
C.x2+1≥2|x|(x∈R)
D.eq \f(1,x2+1)>1(x∈R)
设x,y均为正实数,且eq \f(3,2+x)+eq \f(3,2+y)=1,则xy的最小值为( )
A.4 B.4eq \r(3) C.9 D.16
已知x>0,y>0,且3x+2y=xy,若2x+3y>t2+5t+1恒成立,则实数t取值范围是( )
A.(-∞,-8)∪(3,+∞)
B.(-8,3)
C.(-∞,-8)
D.(3,+∞)
设正项等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2 017=4 034,则eq \f(1,a9)+eq \f(9,a2 009)的最小值为 .
若对于任意的x>0,不等式eq \f(x,x2+3x+1)≤a恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.a≥eq \f(1,5) B.a>eq \f(1,5) C.a0,若关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 ≥5在(1,+∞)上恒成立,则a的最小值为( )
A.16 B.9 C.4 D.2
二、填空题
已知a>0,b>0,a+b=2,则y=eq \f(1,a)+eq \f(4,b)的最小值是________.
已知函数y=x+eq \f(m,x-2)(x>2)的最小值为6,则正数m的值为________.
已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,BC=4,若点P是边BC上的动点,且P到AB,AC的距离分别为m,n,则eq \f(4,m)+eq \f(1,n)的最小值为________.
设正项等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2 017=4 034,则eq \f(1,a9)+eq \f(9,a2 009)的最小值为 .
设x,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=2,a+eq \r(b)=4,则eq \f(2,x)+eq \f(1,y)的最大值为________.
设x,y∈R,且xy≠0,则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2+\f(1,y2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2)+4y2))的最小值为________.
\s 0 答案解析
答案为:B
解析:因为第一象限的点(a,b)在直线2x+3y-1=0上,所以2a+3b-1=0,
即2a+3b=1,所以eq \f(2,a)+eq \f(3,b)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)+\f(3,b)))(2a+3b)=4+9+eq \f(6b,a)+eq \f(6a,b)≥13+2eq \r(\f(6b,a)·\f(6a,b))=25,
当且仅当eq \f(6b,a)=eq \f(6a,b),即a=b=eq \f(1,5)时取等号,所以eq \f(2,a)+eq \f(3,b)的最小值为25.故选B.
答案为:C;
解析:由eq \f(1,a)+eq \f(2,b)=eq \r(ab)知a>0,b>0,所以eq \r(ab)=eq \f(1,a)+eq \f(2,b)≥2eq \r(\f(2,ab)),即ab≥2eq \r(2),
当且仅当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)=\f(2,b),,\f(1,a)+\f(2,b)=\r(ab))),即a=eq \r(4,2),b=2eq \r(4,2)时取“=”,所以ab的最小值为2eq \r(2).
答案为:C;
解析:由x>0,y>0,得4x2+9y2+3xy≥2·(2x)·(3y)+3xy(当且仅当2x=3y时等号成立),∴12xy+3xy≤30,即xy≤2,∴xy的最大值为2.
答案为:B;
解析:由题意可得eq \f(4,y)+eq \f(1,x)=1,则x+y=(x+y)(eq \f(4,y)+eq \f(1,x))=5+eq \f(4x,y)+eq \f(y,x)≥5+2eq \r(\f(4x,y)×\f(y,x))=9,
当且仅当eq \f(4x,y)=eq \f(y,x),即x=3,y=6时等号成立,故x+y的最小值为9.
答案为:C;
解析:∵a>b>1,∴lg a>lg b>0,eq \f(1,2)(lg a+lg b)>eq \r(lg a·lg b),
即Q>P.∵eq \f(a+b,2)>eq \r(ab),∴lgeq \f(a+b,2)>lgeq \r(ab)=eq \f(1,2)(lg a+lg b),即R>Q,∴P<Q<R.
答案为:B;
解析:由三角形的面积公式:S=eq \f(1,2)absin C=eq \f(1,4)ab≤eq \f(1,4)×(eq \f(a+b,2))2=9,
当且仅当a=b=6时等号成立.则△ABC面积的最大值为9.
答案为:C.
解析:对选项A,当x>0时,x2+eq \f(1,4)-x=(x-eq \f(1,2))2≥0,所以lg(x2+eq \f(1,4))≥lgx;
对选项B,当sinx0,且3x+2y=xy,可得eq \f(3,y)+eq \f(2,x)=1,
∴2x+3y=(2x+3y)eq \f(3,y)+eq \f(2,x)=13+eq \f(6x,y)+eq \f(6y,x)≥13+2eq \r(\f(6x,y)·\f(6y,x))=25,
当且仅当x=y=5时取等号.
∵2x+3y>t2+5t+1恒成立,
∴t2+5t+10,))即a=eq \f(2,3),b=eq \f(4,3)时取等号,即eq \f(1,a)+eq \f(4,b)的最小值是eq \f(9,2).
答案为:4
解析:∵x>2,m>0,∴y=x-2+eq \f(m,x-2)+2≥2eq \r((x-2)·\f(m,x-2))+2=2eq \r(m)+2,
当且仅当x=2+eq \r(m)时取等号,又函数y=x+eq \f(m,x-2)(x>2)的最小值为6,
∴2eq \r(m)+2=6,解得m=4.
答案为:eq \f(9,2).
解析:如图所示,根据题意,过点P作PE⊥AB,PF⊥AC,
则PE=m,PF=n,
又由AB=AC,∠BAC=120°,得∠ABC=∠ACB=30°,
则PE=eq \f(1,2)PB,PF=eq \f(1,2)PC,即m=eq \f(1,2)PB,n=eq \f(1,2)PC.
由PB+PC=BC=4,得m+n=2,则eq \f(4,m)+eq \f(1,n)=(eq \f(4,m)+eq \f(1,n))·eq \f(m+n,2)=eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5+\f(4n,m)+\f(m,n)))≥eq \f(9,2),
即eq \f(4,m)+eq \f(1,n)的最小值为eq \f(9,2),此时m=2n.
答案为:4;
解析:由等差数列的前n项和公式,
得S2 017=eq \f(2 017a1+a2 017,2)=4 034,则a1+a2 017=4.
由等差数列的性质得a9+a2 009=4,
所以eq \f(1,a9)+eq \f(9,a2 009)=eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,a9)+\f(9×4,a2 009)))=eq \f(1,4)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(a9+a2 009,a9)+\f(9a9+a2 009,a2 009)))
=eq \f(1,4)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2 009,a9)+\f(9a9,a2 009)))+10))≥eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2 \r(\f(a2 009,a9)×\f(9a9,a2 009))+10))=4,
当且仅当a2 009=3a9时等号成立,故所求最小值为4.
答案为:4.
解析:由x=lga2,y=lgb2,得eq \f(2,x)+eq \f(1,y)=eq \f(2,lga2)+eq \f(1,lgb2)=lg2a2+lg2b=lg2(a2b).
又4=a+eq \r(b)≥2eq \r(a\r(b)),所以a2b≤16,故eq \f(2,x)+eq \f(1,y)=lg2(a2b)≤4.
答案为: 9
解析:eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2+\f(1,y2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2)+4y2))=5+eq \f(1,x2y2)+4x2y2≥5+2eq \r(\f(1,x2y2)·4x2y2)=9,
当且仅当x2y2=eq \f(1,2)时等号成立.所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2+\f(1,y2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2)+4y2))的最小值为9.