湖北省武汉市蔡甸区2021-2022学年八年级上学期期中数学【试卷+答案】
展开2021-2022学年江苏省镇江市部分学校九年级第一学期期中
数学试卷
一、填空题(每小题2分,共24分)
1.小明在解一元二次方程x2=2x时,只得到一个根x=2,则被他漏掉的一个根是x= .
2.若2是关于x的一元二次方程x2+3kx﹣10=0的一个根,则k= .
3.已知⊙O的半径为5cm,线段OP=4cm,则点P与⊙O的位置关系是 .
4.如图,在⊙O中,∠ABC=40°,则∠AOC= 度.
5.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∠A=65°,求∠BCD= °.
6.若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根,则m的值为 .
7.三角形的两边长分别为3和6,第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的解,则此三角形的周长是 .
8.如图,AB为⊙O的直径,CD为⊙O的弦,∠ACD=42°,则∠BAD= 度.
9.如图,AB是⊙O的弦,点C在过点B的切线上,且OC⊥OA,OC交AB于点P,已知∠OAB=20°,则∠OCB= .
10.一圆锥的底面半径为3,高为4,则圆锥的侧面展开图的面积等于 .
11.已知,实数a满足a(a+1)=1,则a2+﹣2021= .
12.小明同学非常喜欢数学,他在课外书上看到了一个有趣的定理“中线长定理”:在△ABC中,若O为BC边的中点,则必有:AB2+AC2=2AO2+2BO2成立,依据以上结论,解决如下问题:如图,在矩形DEFG中,已知DE=4,EF=3,点P在以DE为直径的半圆上运动,则PF2+PG2的最小值为 .
二、选择题(本大题共有6小题,每小题3分,共18分)
13.一元二次方程x2+3x+4=0的根的情况是( )
A.没有实数根 B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根
14.用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时,原方程应变形为( )
A.(x+1)2=6 B.(x﹣1)2=6 C.(x+2)2=9 D.(x﹣2)2=9
15.某口罩厂一月份的产量为50万只,由于国外市场需求量不断增大,三月份的产量提高到72万只,设该厂二、三月份的月平均增长率为x,则下列方程正确的是( )
A.50(1+x)2=72 B.50(1+2x)=72
C.72(1﹣x)2=50 D.72(1﹣2x)=50
16.如图,在⊙O中,半径r=10,弦AB=12,M是弦AB上的动点,则线段OM长的最小值是( )
A.10 B.16 C.6 D.8
17.如一把直尺,60°的直角三角板和一个量角器如图摆放,A为60°角与刻度尺交点,刻度尺上数字为4,点B为量角器与刻度尺的接触点,刻度为7,则该量角器的直径是( )
A.3 B.3 C.6 D.6
18.如图,将边长为6个单位的正方形ABCD沿其对角线BD剪开,再把△ABD沿着DC方向平移,得到△A′B′D′,当两个三角形重叠部分的面积为4个平方单位时,它移动的距离DD′等于( )
A.2 B.3± C.3+ D.3
三、解答题(本大题共有9题,共78分)
19.(20分)解下列方程:
(1)x2﹣4x+1=0(配方法).
(2)2x2=3(x+1)(公式法).
(3)(x+3)2=2x+14.
(4)(2x+1)(x﹣3)=﹣6.
20.已知关于x的方程2x2+kx﹣1=0.
(1)小明同学说:“无论k为何实数,方程总有实数根.”你认为他说的有道理吗?
(2)若方程的一个根是﹣1,求另一根及k的值.
21.已知关于x的方程x2+px+q=0(p,q为常数)有两个实数根x1,x2.
(1)若p=﹣2,q=﹣8,则p2﹣4q的值是 ,方程的解是 ;
(2)若x1=3,x2=﹣2,求p2﹣4q的值;
(3)用含x1、x2的代数式表示p2﹣4q,下列结论中正确的是 .
A.p2﹣4q=(x1+x2)2
B.p2﹣4q=(x1x2)2
C.p2﹣4q=(x1﹣x2)2
D.p2﹣4q=(x1+x2+x1x2)2
22.在⊙O中,弦CD与直径AB相交于点P.
(1)若∠ABC=62°,∠APC=100°,则∠BAD= ;∠CDB= .
(2)若的度数为m度、的度数为n度,猜想:∠APD的度数与m、n之间的数量关系,并证明你的结论.
23.如图,在平面直角坐标系中,过格点A、B、C作一圆弧.
(1)所在圆的圆心M的坐标为 ;
(2)求扇形MAC的面积.(结果保留π)
24.某学校有一长方形空地ABCD,长80米,宽40米,计划在这块空地上划出如图所示宽度相等的E形区域栽种花圃,已知栽种花圃区域的面积为1700平方米,求该花圃的宽度x.
25.如图,已知AB是⊙P的直径,点C在⊙P上,D为⊙P外一点,且∠ADC=90°,2∠B+∠DAB=180°.
(1)试说明:直线CD为⊙P的切线.
(2)若∠B=30°,AD=2,求CD的长.
26.今年10月20日,双11活动正式启动预售,在活动开始前,某商户售卖的一款商品的进价为15元,活动前销售单价为25元,平均每天能售出80件;该商户进行市场调查,发现销售单价每降低0.5元,平均每天可多售出20件.
(1)若该商户双11活动期间每件商品降价5元,则商户每天的平均销量是 件(直接填写结果);
(2)不考虑其他因素的影响,在本次双11活动期间,若商户销售这款商品的利润要平均每天达到1280元,每件商品的定价应为多少元?
(3)在(2)的前提下,若商户平均每天至少要销售200件该商品,求商品的销售单价.
27.【提出问题】
(1)如图①,已知直线l与⊙O相离,在⊙O上找一点M,使点M到直线l的距离最短.
小明给出下列解答,请你补全小明的解答.
小明的解答
过点O作ON⊥l,垂足为N.ON与⊙O的交点M即为所求,此时线段MN最短.理由:不妨在⊙O上另外任取一点P,过点P作PQ⊥l,垂足为Q,连接OP,OQ.
∵OP+PQ>OQ,OQ>ON,
∴ .
又ON=OM+MN;
∴OP+PQ>OM+MN.
又 ,
∴ .
【操作实践】
(2)如图②,已知直线l和直线外一点A,线段MN的长度为1.请用直尺和圆规作出满足条件的某一个⊙O,使⊙O经过点A,且⊙O上的点到直线l的距离的最小值为1.(不写作法,保留作图痕迹并用水笔加黑描粗)
【应用尝试】
(3)如图③,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=8,⊙O经过点A,且⊙O上的点到直线BC的距离的最小值为2,距离最小值为2时所对应的⊙O上的点记为点P,若点P在△ABC的内部(不包括边界),⊙O的半径r的取值范围是 .
参考答案
一、填空题(每小题2分,共24分)
1.小明在解一元二次方程x2=2x时,只得到一个根x=2,则被他漏掉的一个根是x= 0 .
【分析】求出方程的解即可确定出所求.
解:方程x2=2x,
移项得:x2﹣2x=0,
分解因式得:x(x﹣2)=0,
可得x=0或x﹣2=0,
解得:x1=0,x2=2,
则被他漏掉的一个根是x=0.
故答案为:0.
2.若2是关于x的一元二次方程x2+3kx﹣10=0的一个根,则k= 1 .
【分析】根据一元二次方程的解的定义,将x=2代入一元二次方程,列出关于k的方程,然后解关于k的方程即可.
解:∵2是关于x的一元二次方程x2+3kx﹣10=0的一个根,
∴x=2满足关于x的一元二次方程x2+3kx﹣10=0,
∴22+3×2k﹣10=0,即6k﹣6=0,
解得k=1.
故答案是:1.
3.已知⊙O的半径为5cm,线段OP=4cm,则点P与⊙O的位置关系是 点P在⊙O内 .
【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系,即可判断点和圆的位置关系.点到圆心的距离小于圆的半径,则点在圆内;点到圆心的距离等于圆的半径,则点在圆上;点到圆心的距离大于圆的半径,则点在圆外.
解:∵点到圆心的距离d=4<5=r,
∴该点P在⊙O内.
故答案为:点P在⊙O内.
4.如图,在⊙O中,∠ABC=40°,则∠AOC= 80 度.
【分析】根据圆周角定理有∠ABC=∠AOC=40°,即可求出∠AOC.
解:∵∠ABC=∠AOC,
∴∠AOC=2∠ABC,
而∠ABC=40°,
∴∠AOC=2×40°=80°.
故答案为:80.
5.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∠A=65°,求∠BCD= 115 °.
【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠DCB=180°,代入求出即可.
解:∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
∴∠A+∠DCB=180°,
∵∠A=65°,
∴∠DCB=115°,
故答案为:115.
6.若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根,则m的值为 ﹣1 .
【分析】由于关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根,可知其判别式为0,据此列出关于m的不等式,解答即可.
解:∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根,
∴Δ=b2﹣4ac=0,
即:22﹣4(﹣m)=0,
解得:m=﹣1,
故选答案为﹣1.
7.三角形的两边长分别为3和6,第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的解,则此三角形的周长是 13 .
【分析】求出方程的解,有两种情况:x=2时,看看是否符合三角形三边关系定理;x=4时,看看是否符合三角形三边关系定理;求出即可.
解:x2﹣6x+8=0,
(x﹣2)(x﹣4)=0,
x﹣2=0,x﹣4=0,
x1=2,x2=4,
当x=2时,2+3<6,不符合三角形的三边关系定理,所以x=2舍去,
当x=4时,符合三角形的三边关系定理,三角形的周长是3+6+4=13,
故答案为:13.
8.如图,AB为⊙O的直径,CD为⊙O的弦,∠ACD=42°,则∠BAD= 48 度.
【分析】连接BD,根据直径所对的圆周角是直角,得∠ADB=90°,根据同弧或等弧所对的圆周角相等,得∠ABD=∠ACD,从而可得到∠BAD的度数.
解:连接BD,
∵AB为⊙O的直径
∴∠ADB=90°
∵∠ABD=∠ACD=42°
∴∠BAD=48°.
9.如图,AB是⊙O的弦,点C在过点B的切线上,且OC⊥OA,OC交AB于点P,已知∠OAB=20°,则∠OCB= 40° .
【分析】连接OB,则∠OBC=90°,且OA=OB,得∠OBA=∠OAB=20°,求出∠AOB的度数,由OC⊥OA得∠AOC=90°,可求出∠COB的度数,然后在Rt△BOC中求出∠OCB的度数.
解:如图,连接OB,
∵BC与⊙O相切于点B,
∴BC⊥OB,
∴∠OBC=90°,
∵OA=OB,
∴∠OBA=∠OAB=20°,
∴∠AOB=180°﹣20°﹣20°=140°,
∵OC⊥OA,
∴∠AOC=90°,
∴∠COB=140°﹣90°=50°,
∴∠OCB=90°﹣50°=40°,
故答案为:40°.
10.一圆锥的底面半径为3,高为4,则圆锥的侧面展开图的面积等于 15π .
【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长,然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解.
解:由勾股定理得:圆锥的母线长==5,
所以圆锥侧面展开图的面积=•2π•3•5=15π.
故答案为:15π.
11.已知,实数a满足a(a+1)=1,则a2+﹣2021= ﹣2020 .
【分析】根据a(a+1)=1,可以得到a+1=,a2+a=1,然后代入所求式子化简即可.
解:∵a(a+1)=1,
∴a+1=,a2+a=1,
∴a2+﹣2021
=a2+﹣2021
=a2+a﹣2021
=1﹣2021
=﹣2020,
故答案为:﹣2020.
12.小明同学非常喜欢数学,他在课外书上看到了一个有趣的定理“中线长定理”:在△ABC中,若O为BC边的中点,则必有:AB2+AC2=2AO2+2BO2成立,依据以上结论,解决如下问题:如图,在矩形DEFG中,已知DE=4,EF=3,点P在以DE为直径的半圆上运动,则PF2+PG2的最小值为 10 .
【分析】设点M为DE的中点,点N为FG的中点,连接MN,则MN、PM的长度是定值,利用三角形的三边关系可得出NP的最小值,再利用PF2+PG2=2PN2+2FN2即可求出结论.
解:设点M为DE的中点,点N为FG的中点,连接MN交半圆于点P,此时PN取最小值.
∵DE=4,四边形DEFG为矩形,
∴GF=DE,MN=EF,
∴MP=FN=DE=2,
∴NP=MN﹣MP=EF﹣MP=1,
∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10.
∴PF2+PG2的最小值为10,
故答案为:10.
二、选择题(本大题共有6小题,每小题3分,共18分)
13.一元二次方程x2+3x+4=0的根的情况是( )
A.没有实数根 B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根
【分析】计算出根的判别式的大小,判断正负即可确定出方程根的情况.
解:方程x2+3x+4=0,
这里a=1,b=3,c=4,
∵b2﹣4ac=32﹣4×1×4=9﹣16=﹣7<0,
∴方程没有实数根.
故选:A.
14.用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时,原方程应变形为( )
A.(x+1)2=6 B.(x﹣1)2=6 C.(x+2)2=9 D.(x﹣2)2=9
【分析】方程常数项移到右边,两边加上1变形即可得到结果.
解:方程移项得:x2﹣2x=5,
配方得:x2﹣2x+1=6,
即(x﹣1)2=6.
故选:B.
15.某口罩厂一月份的产量为50万只,由于国外市场需求量不断增大,三月份的产量提高到72万只,设该厂二、三月份的月平均增长率为x,则下列方程正确的是( )
A.50(1+x)2=72 B.50(1+2x)=72
C.72(1﹣x)2=50 D.72(1﹣2x)=50
【分析】根据题意和题目中的数据,可以得到50(1+x)2=72,从而可以判断哪个选项是符合题意的.
解:由题意可得,
50(1+x)2=72,
故选:A.
16.如图,在⊙O中,半径r=10,弦AB=12,M是弦AB上的动点,则线段OM长的最小值是( )
A.10 B.16 C.6 D.8
【分析】过点O作OC⊥AB于C,连接OA,根据垂径定理的求得AC=6,由勾股定理求出OC=8,由垂线段最短得:当P与C重合时,OP最短为8即可.
解:过点O作OC⊥AB于C,连接OA,
∴AC=AB=×12=6,
∵⊙O的半径r=10,
∴OA=10,
在Rt△OAC中,由勾股定理得:OC===8,
由垂线段最短得:当P与C重合时,OP最短=OC=8,
故选:D.
17.如一把直尺,60°的直角三角板和一个量角器如图摆放,A为60°角与刻度尺交点,刻度尺上数字为4,点B为量角器与刻度尺的接触点,刻度为7,则该量角器的直径是( )
A.3 B.3 C.6 D.6
【分析】先求出AB=7﹣4=3,∠BAC=180°﹣∠CAD=120°,说明点O为量角器所在圆的圆心,连接OA、OB,则∠BAO=∠BAC=60°,∠ABO=90°,∠AOB=30°,得OA=2AB=6,根据勾股定理即可求出OB及2OB的长,即得到量角器的直径的长.
解:如图,由题意得AB=7﹣4=3,点O为量角器所在圆的圆心,连接OA、OB,
∵∠CAD=60°,
∴∠BAC=180°﹣∠CAD=120°,
∵AB与⊙O相切于点B,AC与⊙O相切于点C,
∴AO平分∠BAC,
∴∠BAO=∠BAC=60°,
∵AB⊥OB,
∴∠ABO=90°,
∴∠AOB=30°,
∴OA=2AB=6,
∴OB===,
∴2OB=,
∴量角器的直径长为,
故选:D.
18.如图,将边长为6个单位的正方形ABCD沿其对角线BD剪开,再把△ABD沿着DC方向平移,得到△A′B′D′,当两个三角形重叠部分的面积为4个平方单位时,它移动的距离DD′等于( )
A.2 B.3± C.3+ D.3
【分析】先判断重叠部分的形状,然后设DD'=x,进而表示D'C等相关的线段,最后通过重叠部分的面积列出方程求出x的值即可得到答案.
解:∵四边形ABCD是正方形,
∴△ABD和△BCD是等腰直角三角形,
如图,记A'D'与BD的交点为点E,B'D'与BC的交点为F,
由平移的性质得,△DD'E和△D'CF为等腰直角三角形,
∴重叠部分的四边形D'EBF为平行四边形,
设DD'=x,则D'C=6﹣x,D'E=x,
∴S▱D'EBF=D'E•D'C=(6﹣x)x=4,
解得:x=3+或x=3﹣,
故选:B.
三、解答题(本大题共有9题,共78分)
19.(20分)解下列方程:
(1)x2﹣4x+1=0(配方法).
(2)2x2=3(x+1)(公式法).
(3)(x+3)2=2x+14.
(4)(2x+1)(x﹣3)=﹣6.
【分析】(1)移项,配方,开方,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可.
(2)整理成一般式,利用公式法求解可得;
(3)整理后,利用因式分解法求解可得;
(4)整理后,利用因式分解法求解可得.
解:(1)x2﹣4x+1=0,
x2﹣4x=﹣1,
x2﹣4x+4=3,即(x﹣2)2=3,
∴x﹣2=,
∴x1=2+,x2=2﹣;
(2)2x2=3(x+1),
整理得2x2﹣3x﹣3=0,
∵a=2,b=﹣3,c=﹣3,
∴△=9+4×2×3=33>0,
∴x==;
∴x1=,x2=;
(3)(x+3)2=2x+14,
整理得x2﹣4x﹣5=0
(x﹣5)(x+1)=0.
∴x﹣5=0或x+1=0,
∴x1=5,x2=﹣1;
(4)(2x+1)(x﹣3)=﹣6,
整理得2x2﹣5x+3=0,
(2x﹣3)(x﹣1)=0,
∴2x﹣3=0或x﹣1=0,
∴x1=,x2=1.
20.已知关于x的方程2x2+kx﹣1=0.
(1)小明同学说:“无论k为何实数,方程总有实数根.”你认为他说的有道理吗?
(2)若方程的一个根是﹣1,求另一根及k的值.
【分析】(1)利用根的判别式代入相应的数进行判断即可;
(2)把x=﹣1代入方程,即可算出k的值,再把k的值代入方程,解方程即可算出另一个根的值.
解:(1)有道理,
Δ=k2﹣4×2×(﹣1)=k2+8,
∴k2≥0,
∴k2+8>0,
∴无论k为何实数,方程总有实数根;
(2)∵方程的一个根是﹣1,
∴2×(﹣1)2﹣k﹣1=0,
解得:k=1,
把k=1代入方程2x2+kx﹣1=0得方程2x2+x﹣1=0,
解得:x1=﹣1,x2=,
故另一根是,k的值是1.
21.已知关于x的方程x2+px+q=0(p,q为常数)有两个实数根x1,x2.
(1)若p=﹣2,q=﹣8,则p2﹣4q的值是 36 ,方程的解是 x1=﹣2,x2=4 ;
(2)若x1=3,x2=﹣2,求p2﹣4q的值;
(3)用含x1、x2的代数式表示p2﹣4q,下列结论中正确的是 C .
A.p2﹣4q=(x1+x2)2
B.p2﹣4q=(x1x2)2
C.p2﹣4q=(x1﹣x2)2
D.p2﹣4q=(x1+x2+x1x2)2
【分析】(1)将p=﹣2,q=﹣8代入p2﹣4q中可求出结论;将p=﹣2,q=﹣8代入原方程,利用因式分解法解一元二次方程可求出方程的解;
(2)利用一元二次方程的解,可得出关于p,q的二元一次方程组,解之即可得出p,q的值,再将其代入p2﹣4q中即可求出结论;
(3)利用根与系数的关系可得出x1+x2=﹣p,x1x2=q,将其代入p2﹣4q中即可找出结论.
解:(1)当p=﹣2,q=﹣8时,p2﹣4q=(﹣2)2﹣4×(﹣8)=36.
将p=﹣2,q=﹣8代入原方程,得:x2﹣2x﹣8=0,
即(x+2)(x﹣4)=0,
解得:x1=﹣2,x2=4.
故答案为:36;x1=﹣2,x2=4.
(2)∵x1=3,x2=﹣2是方程x2+px+q=0的两个根,
∴,解得:,
∴p2﹣4q=(﹣1)2﹣4×(﹣6)=25.
(3)∵x1、x2是方程x2+px+q=0的实数根,
∴x1+x2=﹣p,x1x2=q,
∴p2﹣4q=(x1+x2)2﹣4x1x2=(x1﹣x2)2.
故选:C.
22.在⊙O中,弦CD与直径AB相交于点P.
(1)若∠ABC=62°,∠APC=100°,则∠BAD= 38° ;∠CDB= 28° .
(2)若的度数为m度、的度数为n度,猜想:∠APD的度数与m、n之间的数量关系,并证明你的结论.
【分析】(1)连接AC,利用三角形的外角的性质以及圆周角定理求解即可;
(2)猜想:∠APD=(m+n)度.根据圆周角定理证明即可.
解:(1)连接AC.
∵∠APC=∠ABC+∠BCD,
∴∠BCD=100°﹣62°=38°,
∴∠BAD=∠BCD=38°,
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠CAB=90°﹣62°=28°,
∴∠CDB=∠CAB=28°,
故答案为:38°,28°;
(2)猜想:∠APD=(m+n)度.
理由:∵∠ABD=m度,∠CDB=n度,
∴∠APD=∠ABD+∠CDB=(m+n)度.
23.如图,在平面直角坐标系中,过格点A、B、C作一圆弧.
(1)所在圆的圆心M的坐标为 (2,1) ;
(2)求扇形MAC的面积.(结果保留π)
【分析】(1)根据垂径定理的推论:弦的垂直平分线必过圆心,可以作弦AB和BC的垂直平分线,交点即为圆心;
(2)根据扇形的面积即可求得.
解:(1)根据垂径定理的推论:弦的垂直平分线必过圆心,
可以作弦AB、BC的垂直平分线,交点即为圆心.
如图所示,则圆心是(2,1);
故答案为:(2,1).
(2)半径AM==.圆心角是90°,
则扇形MAC的面积是=π.
24.某学校有一长方形空地ABCD,长80米,宽40米,计划在这块空地上划出如图所示宽度相等的E形区域栽种花圃,已知栽种花圃区域的面积为1700平方米,求该花圃的宽度x.
【分析】由S矩形ABCD﹣S空白=S阴影列出方程,解方程即可求出宽度x.
解:由题意得:80×40﹣(80﹣3x)(40﹣x)=1700,
∴3x2﹣200x+1700=0,
解得:x1=10,x2=,
∵40﹣x>0,
∴x<40,
∴x2=(不符合题意,舍去),
答:花圃的宽度10米.
25.如图,已知AB是⊙P的直径,点C在⊙P上,D为⊙P外一点,且∠ADC=90°,2∠B+∠DAB=180°.
(1)试说明:直线CD为⊙P的切线.
(2)若∠B=30°,AD=2,求CD的长.
【分析】(1)连接PC,先证明∠APC=2∠B,再由2∠B+∠DAB=180°得∠APC+∠DAB=180°,则PC∥AD,得∠PCD=180°﹣∠ADC=90°,再根据切线的判定定理说明直线CD为⊙P的切线;
(2)连接AC,证明△PAC是等边三角形,则∠PCA=60°,∠ACD=30°,则AC=2AD=4,可根据勾股定理求出CD的长.
解:(1)如图,连接PC,
∵PB=PC,
∴∠PCB=∠B,
∴∠APC=∠PCB+∠B=2∠B,
∵2∠B+∠DAB=180°,
∴∠APC+∠DAB=180°.
∴PC∥AD,
∵∠ADC=90°,
∴∠PCD=180°﹣∠ADC=90°,
∵CD经过⊙P的半径PC的端点C,且CD⊥PC,
∴直线CD为⊙P的切线.
(2)如图,连接AC,
∵∠B=30°,
∴∠APC=2∠B=60°,
∵PA=PC,
∴△PAC是等边三角形,
∴∠PCA=60°,
∴∠ACD=90°﹣60°=30°,
∴AD=AC
∵AD=2,
∴AC=4,
∴CD===2,
∴CD的长为2.
26.今年10月20日,双11活动正式启动预售,在活动开始前,某商户售卖的一款商品的进价为15元,活动前销售单价为25元,平均每天能售出80件;该商户进行市场调查,发现销售单价每降低0.5元,平均每天可多售出20件.
(1)若该商户双11活动期间每件商品降价5元,则商户每天的平均销量是 280 件(直接填写结果);
(2)不考虑其他因素的影响,在本次双11活动期间,若商户销售这款商品的利润要平均每天达到1280元,每件商品的定价应为多少元?
(3)在(2)的前提下,若商户平均每天至少要销售200件该商品,求商品的销售单价.
【分析】(1)根据每天的平均销售量=80+降低的价格÷0.5×20,即可求出结论;
(2)设每件商品降价x元,则销售每件商品的利润为(25﹣15﹣x)元,平均每天可售出80+×20=(40x+80)件,根据每天的总利润=销售每件商品的利润×平均每天的销售量,即可得出关于x的一元二次方程,解之即可得出结论;
(3)由(2)的结论结合平均每天至少要销售200件该商品,可确定x的值,再将其代入(40x+80)中即可求出结论.
解:(1)80+5÷0.5×20=280(件).
故答案为:280.
(2)设每件商品降价x元,则销售每件商品的利润为(25﹣15﹣x)元,平均每天可售出80+×20=(40x+80)件,
依题意,得:(25﹣15﹣x)(40x+80)=1280,
整理,得:x2﹣8x+12=0,
解得:x1=2,x2=6,
∴25﹣x=23或19.
答:每件商品的定价应为23元或19元.
(3)当x=2时,40x+80=160<200,不合题意,舍去;
当x=6时,40x+80=320>200,符合题意,
∴25﹣x=19.
答:商品的销售单价为19元.
27.【提出问题】
(1)如图①,已知直线l与⊙O相离,在⊙O上找一点M,使点M到直线l的距离最短.
小明给出下列解答,请你补全小明的解答.
小明的解答
过点O作ON⊥l,垂足为N.ON与⊙O的交点M即为所求,此时线段MN最短.理由:不妨在⊙O上另外任取一点P,过点P作PQ⊥l,垂足为Q,连接OP,OQ.
∵OP+PQ>OQ,OQ>ON,
∴ OP+PQ>ON .
又ON=OM+MN;
∴OP+PQ>OM+MN.
又 OP=OM ,
∴ PQ>MN .
【操作实践】
(2)如图②,已知直线l和直线外一点A,线段MN的长度为1.请用直尺和圆规作出满足条件的某一个⊙O,使⊙O经过点A,且⊙O上的点到直线l的距离的最小值为1.(不写作法,保留作图痕迹并用水笔加黑描粗)
【应用尝试】
(3)如图③,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=8,⊙O经过点A,且⊙O上的点到直线BC的距离的最小值为2,距离最小值为2时所对应的⊙O上的点记为点P,若点P在△ABC的内部(不包括边界),⊙O的半径r的取值范围是 1≤r≤4 .
【分析】(1)见解题答案;
(2)过点A作l的垂直平分线AB,截取BCMN,以AC为直径作⊙O;
(3)作AC的垂直平分线,交AC于F,交AB于E,以AF为直径作圆,过点A和点E作⊙O′,使⊙O′切EF于E,求出⊙O和⊙O′的半径,从而求出半径r的范围.
解:(1)答案是OP+PQ>ON,OP=OM,PQ>MN;
(2)如图1,
⊙O是求作的图形;
(3)如图2,
取AC的中点,作EF∥BC交AE于F,以AF为直径作⊙O,作⊙O′过点A切EF于F,
∴∠FEO′=∠AFE=90°,
∴AF∥EO′,
∴∠AEO′=∠BAC=60°,
∵AO′=EO′,
∴△ADO′是等边三角形,
∴AE=AO′,
∵AB=8,∠B=30°,
∴AC=AB=4,
∴AF=2,
∴⊙O的半径是1,
作AD⊥O′E于D,
∴AE==4,
∴1≤r≤4,
故答案是:1≤r≤4.
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