黑龙江省鸡西市四校联考2021-2022学年九年级上学期期中数学【试卷+答案】

这是一份黑龙江省鸡西市四校联考2021-2022学年九年级上学期期中数学【试卷+答案】，共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年黑龙江省鸡西市四校联考九年级第一学期期中
数学试卷
一、单选题（每题3分：满分30分）
1．下列计算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．（2a）3＝6a3
C．（a+b）2＝a2+b2 D．（﹣a2）3＝﹣a6
2．下列轴对称图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，AM＝2，BM＝8，则CD的长为（　　）

A．4 B．5 C．8 D．16
4．数据3，6，4，3，8，7的众数是（　　）
A．4 B．6 C．5 D．3
5．如果二次函数y＝ax2+bx+c中，有a﹣b+c＝0，那么二次函数图象一定经过的点是（　　）
A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（0，﹣1） D．（0，1）
6．如图：点A、B是双曲线y＝上的点，分别过点A、B做x轴和y轴的垂线段，若图中阴影部分的面积为2，这两个空白矩形的面积和为（　　）

A．12 B．10 C．9 D．8
7．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，若点A恰好在ED的延长线上，∠BAC＝40°，则∠BAE的度数为（　　）

A．80° B．60° C．65° D．70°
8．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC＝10，BD＝24，则FG的长为（　　）

A．5 B．6.5 C．10 D．12
9．母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支2元，百合每支3元．小明将30元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（　　）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
10．如图，在平行四边形ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE，BF相交于H，BF与AD的延长线相交于点G，下面给出四个结论：①BD＝BE；②∠A＝∠BHE；③△BCF≌△DCE；④AB＝BH．其中正确的结论是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（每题3分，满分30分）
11．截至2021年2月3日，由中国空间技术研究院研制的“天问一号”探测器飞行里程已超过450000000公里，将数据450000000用科学记数法表示为　 　．
12．在函数y＝x+4中，自变量x的取值范围是 　 　．
13．如图，在平行四边形ABCD中，AC交BD于O，试添加一个条件使四边形ABCD成为矩形．你添加的条件是　 　．（只填一个即可）

14．点A（4，n）和点B（m，3）关于原点对称，则m+n＝　 　．
15．若二次函数顶点坐标为（2，3），且过点（1，5），则二次函数解析式为　 　．
16．如图，在△ABC中，∠A＝45°，⊙O为△ABC的外接圆，如果BC＝4，那么⊙O的半径为 　 　．

17．已知函数y＝（k﹣2）x2﹣3x+1的图象与x轴有公共点，则常数k的取值范围是 　 　．
18．如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是　 　．

19．如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A′处，如果A′恰在矩形的对称轴上，则AE的长为 　 　．

20．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2交x轴于点A，交y轴于点4，若图中阴影部分的三角形都是等腰直角三角形，则从左往右第3个阴影三角形的面积是 　 　，第2021个阴影三角形的面积是 　 　．

三、解答题（满分0分）
21．先化简，再求值：3a+（a﹣a3），其中a＝．
22．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A2B2C2．
（3）在（2）的条件下，求点A旋转到点A2所经过的路线长（结果保留π）．

23．已知抛物线y＝a2+bx+3（a≠0）交x轴于A（1，0）和B（﹣3，0），交y轴于C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）D是抛物线的顶点，P为抛物线上的一点（不与D重合），当S△PAB＝S△ABD时，求P的坐标．

24．某书店经营某出版社的同步辅导书，购进时的单价是30元，根据市场调查：销售单价是40元时，销售量是600本，而销售单价每涨1元，就会少售出10本书．
（1）设辅导书的销售单价为x元（x＞40），写出销售利润y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）若书店获得了10000元销售利润，求该辅导书的销售单价x应定为多少元？
（3）若书店想获得最大利润，应将销售价格定为多少？
25．已知A、B两地相距600米，甲、乙两人同时从A地出发前往B地，出发2分钟后，乙减慢了速度，最终比甲晚到，两人所走路程y（米）与行驶时间x（分）之间的关系如图所示，请回答下列问题：
（1）求甲的速度为多少米/分？
（2）求乙减慢速度后，路程y与行驶时间x之间的关系式？
（3）在甲到达B地前，求乙行驶多长时间时，甲、乙两人相距50米？

26．综合与实践
问题情境
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，点E是射线AB上一点，连接CE，过点B作BF⊥CE于点F，且交直线CD于点G．

（1）如图1，当点E在线段AD上时，求证：CG＝AE．
自主探究
（2）如图2，当点E在线段BD上时，其它条件不变，请猜想CG与AE之间的数量关系，并说明理由．
拓展延伸
（3）如图3，当点E在线段AB的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CG与AE之间的数量关系．
27．为庆祝建党100周年，某银行发行了A、B两种纪念币，已知3枚A型纪念币和2枚B型纪念币面值共需55元，6枚A型纪念币和5枚B型纪念币共需130元．
（1）求每枚A、B两种型号的纪念币面值各多少元？
（2）若小明准备用至少850元的金额购买两种纪念币共50枚，求A型纪念币最多能采购多少枚？
（3）在（2）的条件下，若小明至少要购买A型纪念币8枚，则共有几种购买方案，请罗列出来哪种方案最划算？
28．如图，四边形ABCO为矩形，O为坐标原点，点A的坐标为（0，6），点C的坐标为（8，0），点P是线段BC上一动点，已知点D是直线AE上位于第一象限的任意一点，直线AE与x轴交于点E（﹣3，0）．

（1）求直线AE的函数关系式；
（2）如图1，连接PD，当△APD为等腰直角三角形，∠DAP＝90°时，求线段DP的长；
（3）如图2，若将直线AE向下平移12个单位后，在该直线AE上是否存在一点D，使△APD成为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由．


参考答案
一、单选题（每题3分：满分30分）
1．下列计算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．（2a）3＝6a3
C．（a+b）2＝a2+b2 D．（﹣a2）3＝﹣a6
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方运算法则，完全平方公式逐一判断即可．
解：A、a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
B、（2a）3＝8a3，故本选项不合题意；
C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项不合题意；
D、（﹣a2）3＝﹣a6，故本选项符合题意．
故选：D．
2．下列轴对称图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义结合选项图形进行判断．
解：A、图形不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、图形既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、图形不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、图形不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，AM＝2，BM＝8，则CD的长为（　　）

A．4 B．5 C．8 D．16
【分析】根据垂径定理得出CM＝DM，再由已知条件得出圆的半径为5，在Rt△OCM中，由勾股定理得出CM即可，从而得出CD．
解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CM＝DM，
∵AM＝2，BM＝8，
∴AB＝10，
∴OA＝OC＝5，
在Rt△OCM中，OM2+CM2＝OC2，
∴CM＝＝4，
∴CD＝8．
故选：C．
4．数据3，6，4，3，8，7的众数是（　　）
A．4 B．6 C．5 D．3
【分析】根据众数的定义（一组数据中，出现次数最多的数据，叫这组数据的众数）得出即可．
解：在数据3，6，4，3，8，7中，3出现了2次，出现的次数最多，
则这组数据的众数为3．
故选：D．
5．如果二次函数y＝ax2+bx+c中，有a﹣b+c＝0，那么二次函数图象一定经过的点是（　　）
A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（0，﹣1） D．（0，1）
【分析】把（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c得到y＝a﹣b+c＝0，即过（﹣1，0）点，即可得到答案．
解：当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c，
∵a﹣b+c＝0，
∴当x＝﹣1时，y＝0，
∴图象必过点：（﹣1，0），
故选：B．
6．如图：点A、B是双曲线y＝上的点，分别过点A、B做x轴和y轴的垂线段，若图中阴影部分的面积为2，这两个空白矩形的面积和为（　　）

A．12 B．10 C．9 D．8
【分析】由A，B为双曲线上的两点，利用反比例系数k的几何意义，求出矩形ACOG与矩形BEOF面积，再由阴影DGOF面积求出空白面积之和即可．
解：∵点A、B是双曲线y＝上的点，
∴S矩形ACOG＝S矩形BEOF＝6，
∵S阴影DGOF＝2，
∴S矩形ACDF+S矩形BDGE＝6+6﹣2﹣2＝8，
故选：D．

7．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，若点A恰好在ED的延长线上，∠BAC＝40°，则∠BAE的度数为（　　）

A．80° B．60° C．65° D．70°
【分析】由旋转的性质可知△ABC≌△EDC，所以可得∠BAC＝∠CED＝40°，AC＝EC，进而可求出∠BAE的度数．
解：∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，
∴△ABC≌△EDC，
∴∠BAC＝∠CED＝40°，AC＝EC，
∴∠CAD＝∠CED＝40°．
∴∠BAE＝∠CAD+∠BAC＝80°．
故选：A．
8．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC＝10，BD＝24，则FG的长为（　　）

A．5 B．6.5 C．10 D．12
【分析】由菱形的性质得出OA＝OC＝5，OB＝OD＝12，AC⊥BD，根据勾股定理求出AD＝13，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE＝6.5，证出四边形EFOG是矩形，得到EO＝GF即可得出答案．
解：连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝5，OB＝OD＝12，AC⊥BD，
在Rt△AOD中，AD＝，
又∵E是边AD的中点，
∴，
∵EF⊥BD，EG⊥AC，AC⊥BD，
∴∠EFO＝90°，∠EGO＝90°，∠GOF＝90°，
∴四边形EFOG为矩形，
∴FG＝OE＝6.5．
故选：B．

9．母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支2元，百合每支3元．小明将30元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（　　）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【分析】设可以购买x支康乃馨，y支百合，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可得出小明有4种购买方案．
解：设可以购买x支康乃馨，y支百合，
依题意，得：2x+3y＝30，
∴y＝10﹣x．
∵x，y均为正整数，
∴，，，，
∴小明有4种购买方案．
故选：B．
10．如图，在平行四边形ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE，BF相交于H，BF与AD的延长线相交于点G，下面给出四个结论：①BD＝BE；②∠A＝∠BHE；③△BCF≌△DCE；④AB＝BH．其中正确的结论是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【分析】①根据等腰直角三角形的性质即可判断；
②通过三角形全等和平行四边形的性质即可判断；
③通过角的关系即可求得结果；
④根据平行四边形的性质和线段的等量代换即可判断；
解：∵∠DBC＝45°，DE⊥BC
∴BD＝BE，BE＝DE
∵DE⊥BC，BF⊥CD
∴∠BEH＝∠DEC＝90°
∵∠BHE＝∠DHF
∴∠EBH＝∠CDE
∴△BEH≌△DEC
∴∠BHE＝∠C，BH＝CD
∵▱ABCD中
∴∠C＝∠A，AB＝CD
∴∠A＝∠BHE，AB＝BH
∴正确的有①②④；
故选：B．
二、填空题（每题3分，满分30分）
11．截至2021年2月3日，由中国空间技术研究院研制的“天问一号”探测器飞行里程已超过450000000公里，将数据450000000用科学记数法表示为　4.5×108　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：将450000000用科学记数法表示为：4.5×108．
故答案为：4.5×108．
12．在函数y＝x+4中，自变量x的取值范围是 　全体实数　．
【分析】根据一次函数有意义的条件，可得答案．
解：在函数y＝x+4中，自变量x的取值范围是全体实数，
故答案为：全体实数．
13．如图，在平行四边形ABCD中，AC交BD于O，试添加一个条件使四边形ABCD成为矩形．你添加的条件是　AC＝BD或∠ABC＝90°　．（只填一个即可）

【分析】根据矩形的判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可得出答案．
解：若使平行四边形ABCD变为矩形，可添加的条件是：
AC＝BD；（对角线相等的平行四边形是矩形）
∠ABC＝90°．（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
故答案为：AC＝BD或∠ABC＝90°．
14．点A（4，n）和点B（m，3）关于原点对称，则m+n＝　﹣7　．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出m，n的值，进而得出答案．
解：∵点A（4，n）和点B（m，3）关于原点对称，
∴m＝﹣4，n＝﹣3，
则m+n＝﹣4﹣3＝﹣7．
故答案为：﹣7．
15．若二次函数顶点坐标为（2，3），且过点（1，5），则二次函数解析式为　y＝2（x﹣2）2+3　．
【分析】设顶点式y＝a（x﹣2）2+3，然后把（1，5）代入求出a即可．
解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+3，
把（1，5）代入得5＝a（1﹣2）2+3，解得a＝2，
所以抛物线解析式为y＝2（x﹣2）2+3．
故答案为y＝2（x﹣2）2+3．
16．如图，在△ABC中，∠A＝45°，⊙O为△ABC的外接圆，如果BC＝4，那么⊙O的半径为 　2　．

【分析】连接OC、OB，利用圆心角与圆周角的关系得出∠BOC＝90°，再利用含30°的直角三角形的性质解答即可．
解：连接OC、OB，
∵∠A＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴OB＝BC，
∵BC＝4，
∴OB＝2，
∴⊙O的半径为2，
故答案为：2．

17．已知函数y＝（k﹣2）x2﹣3x+1的图象与x轴有公共点，则常数k的取值范围是 　k≤．　．
【分析】利用二次函数图象与x轴交点个数与b2﹣4ac的关系，以及一次函数与x轴必有一个交点，进而得出答案．
解：∵函数y＝（k﹣2）x2﹣3x+1的图象与x轴有公共点，
∴b2﹣4ac≥0，
即9﹣4（k﹣2）×1＝17﹣4k≥0，
解得：k≤，
故答案为：k≤．
18．如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是　4　．

【分析】连接CC′，根据△ABC、△A′BC′均为正三角形即可得出四边形A′BCC′为菱形，进而得出点C关于BC'对称的点是A'，以此确定当点D与点B重合时，AD+CD的值最小，代入数据即可得出结论．
解：连接CC′，如图所示．
∵△ABC、△A′BC′均为正三角形，
∴∠ABC＝∠A′＝60°，A′B＝BC＝A′C′，
∴A′C′∥BC，
∴四边形A′BCC′为菱形，
∴点C关于BC'对称的点是A'，
∴当点D与点B重合时，AD+CD取最小值，
此时AD+CD＝2+2＝4．
故答案为：4．

19．如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A′处，如果A′恰在矩形的对称轴上，则AE的长为 　1或　．

【分析】分两种情况：①过A′作MN∥CD交AD于M，交BC于N，则直线MN是矩形ABCD 的对称轴，得出AM＝BN＝AD＝1，由勾股定理得到A′N＝0，求得A′M＝1，再由勾股定理解得A′E即可；
②过A′作PQ∥AD交AB于P，交CD于Q；求出∠EBA′＝30°，由三角函数求出AE＝A′E＝A′B×tan30°；即可得出结果．
解：分两种情况：
①如图1，过A′作MN∥CD交AD于M，交BC于N，
则直线MN是矩形ABCD 的对称轴，
∴AM＝BN＝AD＝1，
∵△ABE沿BE折叠得到△A′BE，
∴A′E＝AE，A′B＝AB＝1，
∴A′N＝＝0，即A′与N重合，
∴A′M＝1，
∴A′E2＝EM2+A′M2，
∴A′E2＝（1﹣A′E）2+12，
解得：A′E＝1，
∴AE＝1；
②如图2，过A′作PQ∥AD交AB于P，交CD于Q，
则直线PQ是矩形ABCD的对称轴，
∴PQ⊥AB，AP＝PB，AD∥PQ∥BC，
∴A′B＝2PB，
∴∠PA′B＝30°，
∴∠A′BC＝30°，
∴∠EBA′＝30°，
∴AE＝A′E＝A′B×tan30°＝1×＝；
综上所述：AE的长为1或；
故答案为：1或．


20．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2交x轴于点A，交y轴于点4，若图中阴影部分的三角形都是等腰直角三角形，则从左往右第3个阴影三角形的面积是 　32　，第2021个阴影三角形的面积是 　2×42020　．

【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A1的坐标，结合等腰直角三角形的性质及三角形的面积可得出点B1的坐及△A1OB1的面积，同理可求出△A2B1B2和△A3B2B3的面积，设第n个阴影三角形的面积为Sn（n为正整数），根据三角形面积的变化，即可找出变化规律“Sn＝2×4n﹣1（n为正整数）”，再代入n＝2021即可求出结论．
解：当x＝0时，y＝0+2＝2，
∴点A1的坐标为（0，2）．
∵△A1OB1为等腰直角三角形，
∴OB1＝OA1＝2，
∴点B1的坐标为（2，0），S△A1OB1＝×2×2＝2；
当x＝2时，y＝2+2＝4，
∴点A2的坐标为（2，4）．
∵△A2B1B2为等腰直角三角形，
∴点B2的坐标为（6，0），S△A2B1B2＝×4×4＝8；
当x＝6时，y＝6+2＝8，
∴点A3的坐标为（6，8），
∵△A3B2B3为等腰直角三角形，
∴点B3的坐标为（14，0），S△A3B2B3＝×8×8＝32．
设第n个阴影三角形的面积为Sn（n为正整数），则Sn＝2×4n﹣1，
∴S2021＝2×42021﹣1＝2×42020．
故答案为：32；2×42020．
三、解答题（满分0分）
21．先化简，再求值：3a+（a﹣a3），其中a＝．
【分析】先将原式变形为a（2+a）（2﹣a），再代入计算即可．
解：原式＝3a+a﹣a3
＝a（4﹣a2）
＝a（2+a）（2﹣a），
当a＝﹣3时，
原式＝（﹣3）（﹣3+2）（2﹣+3）
＝（﹣3）（﹣1）（5﹣）
＝78﹣30．
22．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A2B2C2．
（3）在（2）的条件下，求点A旋转到点A2所经过的路线长（结果保留π）．

【分析】（1）首先根据中心对称的性质，找出对应点的位置，再顺次连接即可；
（2）先根据旋转方向，旋转角度以及旋转中心，找出对应点的位置，再顺次连接即可；
（3）依据弧长计算公式，即可得到点A旋转到点A2所经过的路线长．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；

（3）由勾股定理可得，
∴弧AA2的长＝．
23．已知抛物线y＝a2+bx+3（a≠0）交x轴于A（1，0）和B（﹣3，0），交y轴于C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）D是抛物线的顶点，P为抛物线上的一点（不与D重合），当S△PAB＝S△ABD时，求P的坐标．

【分析】（1）把A和B的坐标代入抛物线解析式，得到关于a与b的二元一次方程组，求出方程组的解集得到a与b的值，进而确定出抛物线的解析式；
（2）由S△PAB＝S△ABD，根据三角形面积公式可得点P到线段AB的距离一定等于顶点D到AB的距离，而D的坐标为（﹣1，4），所以点P的纵坐标一定为﹣4．将y＝﹣4代入（1）中所求解析式，得到x2﹣2x﹣3＝4，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标．
解：（1）把点A（1，0）和点B（﹣3，0）代入抛物线解析式得：，
解得，
则所求抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）由（1）知，抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，即y＝﹣（x+1）2+4，
则D（﹣1，4），
∵S△PAB＝S△ABD，且点P在抛物线上，
∴点P到线段AB的距离一定等于顶点D到AB的距离，
∴点P的纵坐标一定为﹣4．
令y＝﹣4，则﹣x2﹣2x+3＝﹣4，
解得x1＝﹣1+2，x2＝﹣1﹣2．
∴点P的坐标为（﹣1+2，﹣4）或（﹣1﹣2，﹣4）．
24．某书店经营某出版社的同步辅导书，购进时的单价是30元，根据市场调查：销售单价是40元时，销售量是600本，而销售单价每涨1元，就会少售出10本书．
（1）设辅导书的销售单价为x元（x＞40），写出销售利润y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）若书店获得了10000元销售利润，求该辅导书的销售单价x应定为多少元？
（3）若书店想获得最大利润，应将销售价格定为多少？
【分析】（1）直接利用销量×每件利润＝总利润进而得出函数关系式；
（2）利用一元二次方程的解法进而得出x的值；
（3）利用配方法求出二次函数最值进而得出答案．
解：（1）设辅导书的销售单价为x元（x＞40），
销售利润y表示成销售单价x的函数为：
y＝（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]
＝﹣10x2+1300x﹣30000；
（2）依题意﹣10x2+1300x﹣30000＝10000，
解之得：x1＝50，x2＝80
答：辅导书的销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润；
（3）∵y＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10（x﹣65）2+12250，
∴当x＝65，y取得最大值，
∴销售价格定为65元时，可获得利润12250元．
25．已知A、B两地相距600米，甲、乙两人同时从A地出发前往B地，出发2分钟后，乙减慢了速度，最终比甲晚到，两人所走路程y（米）与行驶时间x（分）之间的关系如图所示，请回答下列问题：
（1）求甲的速度为多少米/分？
（2）求乙减慢速度后，路程y与行驶时间x之间的关系式？
（3）在甲到达B地前，求乙行驶多长时间时，甲、乙两人相距50米？

【分析】（1）由图象直接求甲的速度；
（2）先设出乙减慢速度后的函数解析式，再用待定系数法求解即可；
（3）根据题意甲、乙相距50米时有两种情况，进行分类讨论即可；
解：（1）由图象可得，
甲的速度为：600÷6＝100（米/分）；
（2）设乙减慢速度后函数关系式为y＝kx+b，
把（2，300）和（6，500）代入y＝kx+b得，
，
解得：，
∴乙减慢速度后函数关系式为y＝50x+200（x≥2）；
（3）①乙改变速度之前速度为：＝150（米/分），
∴150x﹣100x＝50，
解得：x＝1；
乙改变速度之后，y甲＝100x，y乙＝50x+200（x≥2），
当甲、乙两人相距50米时，|y甲﹣y乙|＝50，
②若y乙﹣y甲＝50，即50x+200﹣100x＝50，
解得：x＝3．
③若y甲﹣y乙＝50，即100x﹣（50x+200）＝50，
解得：x＝5，
综上所述，乙行驶1分钟3分钟或5分钟时，甲、乙两人相距50米．
26．综合与实践
问题情境
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，点E是射线AB上一点，连接CE，过点B作BF⊥CE于点F，且交直线CD于点G．

（1）如图1，当点E在线段AD上时，求证：CG＝AE．
自主探究
（2）如图2，当点E在线段BD上时，其它条件不变，请猜想CG与AE之间的数量关系，并说明理由．
拓展延伸
（3）如图3，当点E在线段AB的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CG与AE之间的数量关系．
【分析】综合与实践
（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠A＝∠ABC，根据同角的余角相等得到∠CBG＝∠ACE，根据ASA证明△ACE≌△CBG，即可得出结论；
自主探究
（2）同理即可证明△ACE≌△CBG，即可得出结论；
拓展延伸
（3）同（2）可得∠A＝∠GCB＝45°，证得∠CGB＝∠AEC，可证明△ACE≌△CBG，即可得出结论．
【解答】综合与实践
解：（1）AE＝CG，理由如下：
∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠ABC＝45°．
∵点D是AB的中点，
∴∠BCG＝∠ACB＝45°，
∴∠A＝∠BCG．
∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF＝90°．
∵∠ACE+∠BCF＝90°，
∴∠CBG＝∠ACE，
在△ACE和△CBG中，
，
∴△ACE≌△CBG（ASA），
∴AE＝CG；

自主探究
（2）AE＝CG；理由如下：
∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠ABC＝45°．
∵点D是AB的中点，
∴∠BCG＝∠ACB＝45°，
∴∠A＝∠BCG．
∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF＝90°．
∵∠ACE+∠BCF＝90°，
∴∠CBG＝∠ACE，
在△ACE和△CBG中，
，
∴△ACE≌△CBG（ASA），
∴AE＝CG；

拓展延伸
（3）CG＝AE．
证明：同（1）（2）可得∠A＝∠GCB＝45°，
∵BF⊥CE，
∴∠GDB＝∠BFE＝90°，
∵∠DBG＝∠FBE，
∴∠CGB＝∠AEC，
，
∴△ACE≌△CBG（AAS），
∴CG＝AE．
27．为庆祝建党100周年，某银行发行了A、B两种纪念币，已知3枚A型纪念币和2枚B型纪念币面值共需55元，6枚A型纪念币和5枚B型纪念币共需130元．
（1）求每枚A、B两种型号的纪念币面值各多少元？
（2）若小明准备用至少850元的金额购买两种纪念币共50枚，求A型纪念币最多能采购多少枚？
（3）在（2）的条件下，若小明至少要购买A型纪念币8枚，则共有几种购买方案，请罗列出来哪种方案最划算？
【分析】（1）设每枚A种型号的纪念币面值为x元，每枚B种型号的纪念币面值为y元，由题意：3枚A型纪念币和2枚B型纪念币面值共需55元，6枚A型纪念币和5枚B型纪念币共需130元．列出方程组，解方程组即可；
（2）设A型纪念币能采购m枚，则B型纪念币能采购（50﹣m）枚，由题意：小明准备用至少850元的金额购买两种纪念币共50枚，列出不等式，解之即可；
（3）由题意得，解得8≤m≤10，进而求解即可．
解：（1）设每枚A种型号的纪念币面值为x元，每枚B种型号的纪念币面值为y元，
由题意得：，
解得：，
答：每枚A种型号的纪念币面值为5元，每枚B种型号的纪念币面值为20元；
（2）设A型纪念币能采购m枚，则B型纪念币能采购（50﹣m）枚，
由题意得：5m+20（50﹣m）≥850，
解得：m≤10，
答：A型纪念币最多能采购10枚；
（3）由题意得：，
∴8≤m≤10，
∵m为正整数，
∴m为8或9或10，
∴共有3种购买方案：
①A型纪念币能采购8枚，B型纪念币能采购42枚，费用为：5×8+20×42＝880（元）；
②A型纪念币能采购9枚，B型纪念币能采购41枚，费用为：5×9+20×41＝865（元）；
③A型纪念币能采购10枚，B型纪念币能采购40枚，费用为：5×10+20×40＝850（元）；
∵880＞865＞850，
∴最划算的购买方案为：型纪念币能采购10枚，B型纪念币能采购40枚．
28．如图，四边形ABCO为矩形，O为坐标原点，点A的坐标为（0，6），点C的坐标为（8，0），点P是线段BC上一动点，已知点D是直线AE上位于第一象限的任意一点，直线AE与x轴交于点E（﹣3，0）．

（1）求直线AE的函数关系式；
（2）如图1，连接PD，当△APD为等腰直角三角形，∠DAP＝90°时，求线段DP的长；
（3）如图2，若将直线AE向下平移12个单位后，在该直线AE上是否存在一点D，使△APD成为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设出直线AE解析式后将点A和点E的坐标代入组成方程组，解答即可；
（2）过点D作DH⊥y轴于H，由“AAS”可证△ADH≌△APB，可得AH＝AB＝8，可求点D坐标，可得HD＝4，由勾股定理可求AD的长，即可求解；
（3）分三种情况讨论，利用全等三角形的性质和参数表示点D坐标，代入解析式可求解．
解：（1）设直线AE的函数关系式为：y＝kx+b，
由题意可得，
解得：，
∴直线AE的函数关系式为：y＝2x+6；
（2）如图1，过点D作DH⊥y轴于H，

∴∠DHA＝∠ABP＝90°，
∵点A的坐标为（0，6），点C的坐标为（8，0），
∴AO＝BC＝6，CO＝AB＝8，
∵△DAP为等腰直角三角形，
∴AD＝AP，∠DAP＝90°，DP＝AD，
∴∠HAD+∠DAB＝90°，∠DAB+∠BAP＝90°，
∴∠HAD＝∠BAP，
在△ADH和△APB中，
，
∴△ADH≌△APB（AAS），
∴AH＝AB＝8，
∴OH＝AO+AH＝14，
当y＝14时，则14＝2x+6，
∴x＝4，
∴点D坐标为（4，14），
∴HD＝4，
∴AD＝＝＝4，
∴DP＝AD＝4；
（3）∵将直线AE向下平移12个单位，
∴平移后解析式为y＝2x﹣6；
如图2所示，当∠ADP＝90°，AD＝PD时，

∵AD＝PD，
∴点D在AB的垂直平分线上，
∴点D横坐标为4，
∴y＝2×4﹣6＝2，
∴点D坐标为（4，2）；
如图3所示，当∠APD＝90°，AP＝PD时，

过点P作PH⊥y轴于，过点D作DF⊥PH，交HP的延长线于F，
同理可证△AHP≌△PFD，
∴AH＝PF，HP＝DF＝8，
设点P的坐标为（8，m），
则D点坐标为（14﹣m，m+8），由m+8＝2（14﹣m）﹣6，得m＝，
∴D点坐标为（，）；
如图4所示，当∠ADP＝90°，AD＝PD时，

同理可求得D点坐标为（，），
综上，符合条件的点D存在，坐标分别为（4，2），（，），（，）．