山西大学附中2022届高三上学期11月期中考试数学文科试题含答案

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数 学 试 题（文）
命题人：赵博 考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）
1．若全集，，，则集合等于（ ）
A． B． C．D．
2．若复数，则（ ）
A．B．C． D．
3．函数的单调增区间为
A． B．
C．， D．
4．人类社会初期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”，当时有位母亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗（从右往左数），满七进一，那么孩子已经出生多少天？
A． B．
C． D．
5．如图是相关变量，的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性回归直线方程，相关系数为．则
A．B．
C．D．
6．若，则
A． B． C． D．
7．已知是抛物线的焦点，过焦点的直线交抛物线的准线于点，点在抛物线上且，则直线的斜率为
A．B． C．D．
8．平行四边形中，为边上的中点，连接交于点，若，则
A． B． C． D．
9．若，则
A． B． C． D．
10.在三棱锥中，底面是面积为的正三角形，若三棱锥的每个顶点都在球的球面上，且点恰好在平面内，则三棱锥体积的最大值为
A． B． C． D．
11．设，，，当取最小值时的的值为
A．2B．3 C．4 D．
12．如图，函数的图象由一条射线和抛物线的一部分构成，的零点为，若不等式对恒成立，则的取值范围是
A． B．
C．D．

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）
13．若，满足，则的最大值为 ．
14．设函数，若，则 ．
15.已知正项等比数列中，，表示数列的前项和，则的取值范围是 ．
16.已知中，角对应的边分别为，且，，，则的最大值为 ．
三、解答题 (共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. （12分）某网站推出了关于地铁开通给太原市民生活带来便利情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占．现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组，，第2组，，第3组，，第4组，，第5组，，得到的频率分布直方图如图所示．
(Ⅰ)求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；
(Ⅱ)现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组中抽到2人的概率．
18．（12分）在中，它的内角的对边分别为，且，．
(Ⅰ)若，求的面积；
(Ⅱ)试问能否成立？若能成立，求此时的周长；若不能成立，请说明理由．
19．（12分）如图，在直四棱柱中，底面四边形为梯形，点为上一点，且，，．
(Ⅰ)求证：平面；
(Ⅱ)求点到平面的距离．
20．（12分）如图，已知圆与轴相切于点，与轴的正半轴交于，两点（点在点的左侧），且．
(Ⅰ)求圆的方程；
(Ⅱ)过点任作一条直线与圆相交于，两点，连接，，求证：为定值．
21．（12分）已知函数．
(Ⅰ)当时，求函数的单调区间；
(Ⅱ)当时，若的极大值点为，求证：．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(Ⅰ)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
(Ⅱ)设直线交曲线于两点，求面积的最大值．
23.（10分）选修4-5：不等式选讲
已知，．
(Ⅰ)当时，解不等式；
(Ⅱ)若的最小值为1，求的最小值．