山西大学附中2022届高三上学期11月期中考试数学理科试题含答案

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高三年级数学（理科）参考答案
单选题
二、填空题
13：【答案】
14．【答案】
15．【答案】①③④
16．【答案】
三．解答题
17．下图的茎叶图记录了甲，乙两组各八位同学在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）.已知甲组数据的中位数为24，乙组数据的平均数为25.
（1）求x，y的值；
（2）计算甲、乙两组数据的方差，并比较哪一组的成绩更稳定？
【详解】
（1）由，得，
由，得．…………5分
（2）设甲、乙两组数据的方差分别为、，
甲组数据的平均数为，
，，
因为，所以乙组的成绩更稳定．…………12分
18．如图，在四棱锥中，平面平面，，，是边长为的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形.
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）利用面面垂直的性质定理可得出平面，可得出，再由已知条件结合线面垂直的判定定理可得出平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）证明出平面，，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.
【详解】
（1）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，
平面，所以.
又因为，，所以平面.
因为平面，所以平面平面；…………6分
（2）取的中点，连接、，
因为，所以.
又因为平面，平面平面，平面平面，
所以平面.
因为平面，所以.
因为，所以.
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
由题意得、、、、，
所以，，.
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，所以.
所以，，
则直线与平面所成角的正弦值为.…………12分
19．已知等比数列的前项和为，且，数列满足，其中.
（1）分别求数列和的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【详解】
（1）设等比数列的公比为，
由已知，
可得，
两式相减可得，
即，整理得，可知，
已知，令，得，
即，解得，
故等比数列的通项公式为；
由得：
，
那么，
以上个式子相乘，
可得，
，又满足上式，
所以的通项公式.…………6分
（2）若，
所以，
，
两式相减得：
，
所以.…………12分
20．如图所示，已知椭圆的两焦点分别为，，为椭圆上一点，且+.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点在第二象限，，求的面积.
【详解】
（1）设椭圆的标准方程为，焦距为，
因为椭圆的两焦点分别为，，可得，，
所以，可得，所以，
则，
所以椭圆的标准方程为．…………6分
（2）因为点在第二象限，，
在中，由．
根据余弦定理得，
即，解得，
所以．…………12分
21．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间与极值.
（3）若对任意的，都有恒成立，求a的取值范围.
【详解】
（1）当时，，，
∴，∴，
切点为，
∴曲线在点处的切线方程为，即；…………4分
（2），
①当时，恒成立，
∴函数的递增区间为，无递减区间，无极值；
②当时，令，解得或（舍）
x，，的变化情况如下表：
∴函数的递增区间为，递减区间为，.
综上：当时，函数的递增区间为，无递减区间，无极值；当时，函数的递增区间为，递减区间为，.…………8分
（3）对任意的，使恒成立，只需对任意的，.
所以由（2）的结论可知，
①当时，函数在上是增函数，
∴，∴满足题意；
②当时，，函数在上是增函数，
∴，∴满足题意；
③当时，，函数在上是减函数，在上是增函数，
∴，
∴不满足题意.
综上，a的取值范围为.…………12分
22． 在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为（t为参数） ．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是．
（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若点的极坐标为，直线经过点且与曲线相交于，两点，求，两点间的距离的值．．
【详解】
（1）由参数方程可得，消去参数可得直线的普通方程为：，即；
即，
转化为直角坐标方程可得曲线的直角坐标方程为；…………5分
（2）∵的极坐标为，∴点的直角坐标为．
∴，直线的倾斜角．
∴直线的参数方程为．
代入，得．
设，两点对应的参数为，，则，
∴．…………10分
23．已知函数.
（1）若，解不等式；
（2）若，且的最小值为，求证：.
【详解】
解：（1）当时，函数
①当时，由得，所以无解
②当时，由得，所以；
③当时，由得，所以.
综上，不等式的解集为.…………5分
（2）因为，
当时，取到最小值，
所以，即.
所以，当且仅当时等号成立.
即成立.…………10分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
D
C
C
D
A
C
D
B
D
D
A
x
－
0
＋
极小值